शूटिंग विधि

संख्यात्मक विश्लेषण में, शूटिंग विधि सीमा मूल्य समस्या को प्रारंभिक मूल्य समस्या में कम करके समाधान करने की विधि है। इसमें विभिन्न प्रारंभिक स्थितियों के लिए प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान खोज सम्मिलित है जब तक कि कोई ऐसा समाधान न मिल जाए जो सीमा मूल्य समस्या की सीमा नियमों को भी पूरा करता हो। समान्य आदमी के शब्दों में, कोई सीमा से अलग-अलग दिशाओं में प्रक्षेप पथ को तब तक "शूट" करता है जब तक कि उसे वह प्रक्षेप पथ नहीं मिल जाता जो दूसरी सीमा की स्थिति को "हिट" करता है।

गणितीय विवरण

मान लीजिए कोई सीमा-मूल्य समस्या को समाधान करना चाहता है

$$y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y(t_{1})=y_{1}.$$

मान लीजियह $y(t;a)$ प्रारंभिक-मूल्य समस्या को समाधान करें

$$y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0})=a.$$

यदि $y(t_{1};a)=y_{1}$, तब $y(t;a)$ सीमा-मूल्य समस्या का भी समाधान है।

शूटिंग विधि अनेकअलग-अलग मूल्यों के लिए प्रारंभिक मूल्य समस्या को समाधान करने की प्रक्रिया है जब तक कि कोई समाधान $y(t;a)$ नहीं मिल जाता है जो वांछित सीमा नियमों को पूरा करता है। समान्यत: कोई ऐसा संख्यात्मक रूप से करता है। समाधान(s) की जड़(s) से मेल खाते हैं

$$F(a)=y(t_{1};a)-y_{1}.$$

शूटिंग पैरामीटर $a$ को व्यवस्थित रूप से बदलने और रूट खोजने के लिए, कोई मानक रूट-खोज एल्गोरिदम जैसे द्विभाजन विधि या न्यूटन की विधि को नियोजित कर सकता है।

$F$ की मूल और सीमा मूल्य समस्या के समाधान समतुल्य हैं। यदि $a$, $F$ का मूल है, तो $y(t;a)$सीमा मान समस्या का समाधान है। इसके विपरीत, यदि सीमा मान समस्या का समाधान $y(t)$ है, तो यह प्रारंभिक मान समस्या का अद्वितीय समाधान $y(t;a)$ भी है जहां $a=y'(t_{0})$ है, इसलिए ${\displaystyle }$