शूटिंग विधि

संख्यात्मक विश्लेषण में, शूटिंग विधि एक सीमा मूल्य समस्या को प्रारंभिक मूल्य समस्या में कम करके हल करने की एक विधि है। इसमें विभिन्न प्रारंभिक स्थितियों के लिए प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान ढूंढना शामिल है जब तक कि कोई ऐसा समाधान न मिल जाए जो सीमा मूल्य समस्या की सीमा शर्तों को भी पूरा करता हो। आम आदमी के शब्दों में, कोई एक सीमा से अलग-अलग दिशाओं में प्रक्षेप पथ चलाता है जब तक कि उसे वह प्रक्षेप पथ नहीं मिल जाता जो दूसरी सीमा की स्थिति से टकराता है।

गणितीय विवरण

मान लीजिए कोई सीमा-मूल्य समस्या को हल करना चाहता है

$$y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y(t_{1})=y_{1}.$$

होने देना $y(t;a)$ प्रारंभिक-मूल्य समस्या को हल करें

$$y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0})=a.$$

अगर $y(t_{1};a)=y_{1}$, तब $y(t;a)$ सीमा-मूल्य समस्या का भी समाधान है।

शूटिंग विधि कई अलग-अलग मूल्यों के लिए प्रारंभिक मूल्य समस्या को हल करने की प्रक्रिया है $a$ जब तक कोई समाधान नहीं मिल जाता $y(t;a)$ जो वांछित सीमा शर्तों को पूरा करता है। आमतौर पर, कोई साधारण अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक तरीकों से ऐसा करता है। समाधान(ओं) की जड़(ओं) से मेल खाते हैं

$$F(a)=y(t_{1};a)-y_{1}.$$

शूटिंग पैरामीटर को व्यवस्थित रूप से बदलने के लिए $a$ और जड़ ढूंढने के लिए, कोई मानक जड़-खोज एल्गोरिदम जैसे द्विभाजन विधि या न्यूटन की विधि को नियोजित कर सकता है।

की जड़ें $F$ और सीमा मूल्य समस्या का समाधान समतुल्य है। अगर $a$ की जड़ है $F$, तब $y(t;a)$ सीमा मूल्य समस्या का समाधान है। इसके विपरीत, यदि सीमा मूल्य समस्या का कोई समाधान है $y(t)$, यह अनोखा समाधान भी है $y(t;a)$ प्रारंभिक मूल्य समस्या का कहाँ $a=y'(t_{0})$, इसलिए $a$ की जड़ है $F$.

व्युत्पत्ति और अंतर्ज्ञान

शूटिंग पद्धति शब्द की उत्पत्ति तोपखाने से हुई है। शूटिंग विधि के लिए एक सादृश्य है

• स्थान पर एक तोप रखें $y(t_{0})=y_{0}$, तब
• कोण भिन्न करें $a=y'(t_{0})$ तोप का, फिर
• तोप को तब तक फायर करें जब तक वह सीमा मान तक न पहुंच जाए $y(t_{1})=y_{1}$.

प्रत्येक शॉट के बीच, तोप की दिशा को पिछले शॉट के आधार पर समायोजित किया जाता है, इसलिए प्रत्येक शॉट पिछले शॉट की तुलना में अधिक करीब लगता है। वांछित सीमा मान तक पहुंचने वाला प्रक्षेपवक्र सीमा मान समस्या का समाधान है - इसलिए इसे शूटिंग विधि नाम दिया गया है।

रेखीय शूटिंग विधि

यदि f का रूप है तो सीमा मान समस्या रैखिक है

$$f(t,y(t),y'(t))=p(t)y'(t)+q(t)y(t)+r(t).$$

इस मामले में, सीमा मूल्य समस्या का समाधान आमतौर पर इस प्रकार दिया जाता है:

$$y(t)=$$