द्विपद वितरण

संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, n और p मापदंडों के साथ द्विपद वितरण n सांख्यिकीय स्वतंत्रता के रूप में प्रयोग किया जाता है तथा (प्रायिकता सिद्धांत) के क्रम में सफलताओं की संख्या का असतत संभाव्यता वितरण है, प्रत्येक हां-नहीं प्रश्न पूछ रहा है, और प्रत्येक अपने स्वयं के बूलियन-मूल्यवान फलन-मूल्यवान परिणाम (संभावना) के साथ: सफलता (संभावना के साथ p) या विफलता (संभाव्यता के साथ) ($q=1-p$). एकल सफलता/विफलता प्रयोग को बर्नौली परीक्षण या बर्नौली प्रयोग भी कहा जाता है, और परिणामों के अनुक्रम को बर्नौली प्रक्रिया कहा जाता है; एकल परीक्षण के लिए, अर्थात, n = 1, द्विपद वितरण बर्नौली वितरण है। तथा द्विपद वितरण सांख्यिकीय महत्व के लोकप्रिय द्विपद परीक्षण का आधार है। द्विपद वितरण का उपयोग अधिकांशतः आकार n की जनसंख्या से प्रतिस्थापन के साथ खींचे गए आकार n के नमूने में सफलताओं की संख्या को मॉडल करने के लिए किया जाता है। यदि नमूना प्रतिस्थापन के बिना किया जाता है, तब ड्रॉ स्वतंत्र नहीं होते हैं और इसलिए परिणामी वितरण एक हाइपरज्यामितीय होता है वितरण, द्विपद वितरण नहीं है। चूँकि, n से बहुत बड़े N के लिए, द्विपद वितरण एक अच्छा सन्निकटन बना हुआ है, और व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

परिभाषाएँ

संभाव्यता द्रव्यमान फलन

सामान्यतः, यदि यादृच्छिक चर X पैरामीटर n ∈ $\mathbb {N}$ प्राकृतिक संख्या के साथ द्विपद वितरण का अनुसरण करता है और p ∈ [0,1], हम X ~ B(n, p) लिखते हैं। n स्वतंत्र बर्नौली परीक्षणों में बिल्कुल k सफलताएँ प्राप्त करने की प्रायिकता संभाव्यता द्रव्यमान फलन द्वारा दी गई है:

$f(k,n,p)=\Pr(k;n,p)=\Pr(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}$

k = 0, 1, 2, ..., n , जहां के लिए

${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$

द्विपद गुणांक है, इसलिए इसका नाम द्विपद वितरण है। सूत्र को इस प्रकार समझा जा सकता है: k सफलताएँ प्रायिकता p^k के साथ होती हैं और n−k विफलताएँ संभाव्यता के साथ होती हैं $(1-p)^{n-k}$. चूँकि, k सफलताएँ n परीक्षणों के मध्य कहीं भी हो सकती हैं, और वहाँ हैं ${\tbinom {n}{k}}$ n परीक्षणों के क्रम में k सफलताओं को वितरित करने के विभिन्न विधियों ।

द्विपद वितरण संभाव्यता के लिए संदर्भ सारणी बनाने में, सामान्यतः तालिका को n/2 मानों तक भर दिया जाता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि k > n/2 के लिए, प्रायिकता की गणना इसके पूरक के रूप में की जा सकती है

$f(k,n,p)=f(n-k,n,1-p).$

अभिव्यक्ति f(k, n, p) को k के फलन के रूप में देखते हुए, k मान है जो इसे अधिकतम करता है। यह k मान गणना करके पाया जा सकता है

${\frac {f(k+1,n,p)}{f(k,n,p)}}={\frac {(n-k)p}{(k+1)(1-p)}}$

और इसकी तुलना 1 से करें। सदैव पूर्णांक M होता है जो संतुष्ट करता है

$(n+1)p-1\leq M<(n+1)p.$

f(k, n, p) k < M के लिए मोनोटोन बढ़ रहा है और k > M के लिए मोनोटोन घट रहा है, उस स्थितियोंको छोड़कर जहां (n + 1)p पूर्णांक है। इस स्थितियों में, ऐसे दो मान हैं जिनके लिए f अधिकतम है: (n + 1)p और (n + 1)p − 1। है तथा M सबसे संभावित परिणाम है (अर्थात, सबसे अधिक संभावना है, चूंकि यह अभी भी असंभव हो सकता है कुल मिलाकर) बरनौली परीक्षण और इसे मोड (सांख्यिकी) भी कहा जाता है।

उदाहरण

मान लीजिए कि एक पक्षपाती सिक्का उछालने पर प्रायिकता 0.3 के साथ शीर्ष पर आता है। और 6 बार उछालने पर ठीक 4 सिर देखने की प्रायिकता है

$f(4,6,0.3)={\binom {6}{4}}0.3^{4}(1-0.3)^{6-4}=0.059535.$

संचयी वितरण फलन

संचयी वितरण फलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)=\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i},$

जहाँ $\lfloor k\rfloor$ k के नीचे का तल है, अर्थात फर्श और छत k से कम या उसके सामान्तर फलन करता है।

इसे नियमित रूप से अपूर्ण बीटा फलन के संदर्भ में निम्नानुसार भी प्रदर्शित किया जा सकता है:

$\begin{array}{rl}F(k;n,p)& =Pr(X\le <!--\; \le \; -->k)\\ & =I_{}\end{array}$