विभाजित अंतर

गणित में, विभाजित अंतर एक एल्गोरिदम (कलन विधि) है, जिसका उपयोग ऐतिहासिक रूप से लॉगरिदम और त्रिकोणमितीय कार्य की तालिकाओं की गणना के लिए किया जाता है। चार्ल्स बैबेज का अंतर इंजन, एक प्रारंभिक यांत्रिक कैलकुलेटर, अपने संचालन में इस एल्गोरिदम का उपयोग करने के लिए डिज़ाइन किया गया था।^[1]

विभाजित अंतर एक पुनरावर्ती विभाजन प्रक्रिया है। डेटा बिंदुओं $(x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{n},y_{n})$ के अनुक्रम को देखते हुए, विधि न्यूटन फॉर्म में इन बिंदुओं के इंटरपोलेशन बहुपद के गुणांक की गणना करती है।

परिभाषा

n + 1 डेटा पॉइंट दिया गया है

(x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{n},y_{n})

जहां

x_{k}

जोड़ीवार अलग-अलग माना जाता है, आगे विभाजित मतभेदों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

{\begin{aligned}{\mathopen {[}}y_{k}]&:=y_{k},&&k\in \{0,\ldots ,n\}\\{\mathopen {[}}y_{k},\ldots ,y_{k+j}]&:={\frac {[y_{k+1},\ldots ,y_{k+j}]-[y_{k},\ldots ,y_{k+j-1}]}{x_{k+j}-x_{k}}},&&k\in \{0,\ldots ,n-j\},\ j\in \{1,\ldots ,n\}.\end{aligned}}

गणना की पुनरावर्ती प्रक्रिया को स्पष्ट करने के लिए, विभाजित अंतरों को सारणीबद्ध रूप में रखा जा सकता है, जहां कॉलम उपरोक्त j के मान के अनुरूप होते हैं, और तालिका में प्रत्येक प्रविष्टि की गणना प्रविष्टियों के अंतर से उसके तत्काल निचले बाएँ तक की जाती है और इसके ठीक ऊपरी बायीं ओर, संगत x-मानों के अंतर से विभाजित:

{\begin{matrix}x_{0}&y_{0}=[y_{0}]&&&\\&&[y_{0},y_{1}]&&\\x_{1}&y_{1}=[y_{1}]&&[y_{0},y_{1},y_{2}]&\\&&[y_{1},y_{2}]&&[y_{0},y_{1},y_{2},y_{3}]\\x_{2}&y_{2}=[y_{2}]&&[y_{1},y_{2},y_{3}]&\\&&[y_{2},y_{3}]&&\\x_{3}&y_{3}=[y_{3}]&&&\\\end{matrix}}

संकेतन

ध्यान दें कि विभाजित अंतर $[y_{k},\ldots ,y_{k+j}]$ मूल्यों पर निर्भर करता है $x_{k},\ldots ,x_{k+j}$ और $y_{k},\ldots ,y_{k+j}$ , लेकिन अंकन x-मानों पर निर्भरता को अप्रदर्शित करता है। यदि डेटा बिंदु किसी फलन ƒ द्वारा दिए गए हैं,