प्रीकंडीशनर

"Preconditioning" redirects here. For other uses, see Preconditioning (disambiguation).

गणित में, प्रीकंडीशनिंग एक परिवर्तन का अनुप्रयोग है, जिसे प्रीकंडीशनर कहा जाता है, जो किसी दी गई समस्या को ऐसे रूप में प्रस्तुत करता है जो संख्यात्मक गणित को हल करने के तरीकों के लिए अधिक उपयुक्त है। प्रीकंडीशनिंग आम तौर पर समस्या की स्थिति संख्या को कम करने से संबंधित है। पूर्वनिर्धारित समस्या को आमतौर पर पुनरावृत्तीय विधि द्वारा हल किया जाता है।

रैखिक प्रणालियों के लिए पूर्व शर्त

रैखिक बीजगणित और संख्यात्मक विश्लेषण में, एक पूर्व शर्तकर्ता $P$ एक मैट्रिक्स का $A$ एक मैट्रिक्स ऐसा है $P^{-1}A$ से छोटी शर्त संख्या है $A$. कॉल करना भी आम बात है $T=P^{-1}$ पूर्व शर्तकर्ता, के बजाय $P$, तब से $P$ स्वयं शायद ही कभी स्पष्ट रूप से उपलब्ध हो। आधुनिक प्रीकंडीशनिंग में, का अनुप्रयोग $T=P^{-1}$, यानी, एक कॉलम वेक्टर, या कॉलम वैक्टर के एक ब्लॉक का गुणन $T=P^{-1}$, आमतौर पर मैट्रिक्स-मुक्त तरीकों में किया जाता है | मैट्रिक्स-मुक्त फैशन, यानी, जहां न तो $P$, और न $T=P^{-1}$ (और अक्सर नहीं भी $A$) मैट्रिक्स रूप में स्पष्ट रूप से उपलब्ध हैं।

प्रीकंडीशनर एक रैखिक प्रणाली को हल करने के लिए पुनरावृत्त तरीकों में उपयोगी होते हैं $Ax=b$ के लिए $x$ चूंकि अधिकांश पुनरावृत्त रैखिक सॉल्वरों के लिए अभिसरण की दर बढ़ जाती है क्योंकि प्रीकंडीशनिंग के परिणामस्वरूप मैट्रिक्स की स्थिति संख्या कम हो जाती है। पूर्वनिर्धारित पुनरावृत्त सॉल्वर आम तौर पर प्रत्यक्ष सॉल्वर से बेहतर प्रदर्शन करते हैं, उदाहरण के लिए, गॉसियन उन्मूलन, बड़े के लिए, विशेष रूप से विरल मैट्रिक्स, मैट्रिसेस के लिए। पुनरावृत्त सॉल्वर का उपयोग मैट्रिक्स-मुक्त तरीकों के रूप में किया जा सकता है, यानी गुणांक मैट्रिक्स होने पर एकमात्र विकल्प बन जाता है $A$ स्पष्ट रूप से संग्रहीत नहीं है, लेकिन मैट्रिक्स-वेक्टर उत्पादों का मूल्यांकन करके इस तक पहुंचा जाता है।

विवरण

मूल रैखिक प्रणाली को हल करने के बजाय $Ax=b$ के लिए $x$, कोई सही पूर्व शर्त प्रणाली पर विचार कर सकता है

$$AP^{-1}(Px)=b$$

और हल करें

$$AP^{-1}y=b$$

के लिए $y$ और

$$Px=y$$

के लिए $x$.

वैकल्पिक रूप से, कोई बाईं पूर्व शर्त प्रणाली को हल कर सकता है

$$P^{-1}(Ax-b)=0.$$

दोनों प्रणालियाँ मूल प्रणाली के समान ही समाधान देती हैं जब तक कि प्रीकंडीशनर मैट्रिक्स $P$ बीजगणितीय वक्र#विलक्षणता है। बाईं ओर की पूर्व शर्त अधिक पारंपरिक है।

दो तरफा पूर्व शर्त प्रणाली

$$QAP^{-1}(Px)=Qb$$

फायदेमंद हो सकता है, उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स समरूपता को संरक्षित करने के लिए: यदि मूल मैट्रिक्स $A$ वास्तविक सममित और वास्तविक पूर्व शर्तकर्ता है $Q$ और $P$ संतुष्ट करना ${\displaystyle }$