विभाजित अंतर

गणित में, विभाजित अंतर एक कलन विधि है, जिसका उपयोग ऐतिहासिक रूप से लघुगणक और त्रिकोणमितीय कार्यों की तालिकाओं की गणना के लिए किया जाता है। चार्ल्स बैबेज का अंतर इंजन, एक प्रारंभिक यांत्रिक कैलकुलेटर, अपने संचालन में इस एल्गोरिदम का उपयोग करने के लिए डिज़ाइन किया गया था। विभाजित अंतर एक पुनरावर्ती विभाजन (गणित) प्रक्रिया है। डेटा बिंदुओं का एक क्रम दिया गया है $(x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{n},y_{n})$, विधि न्यूटन बहुपद में इन बिंदुओं के बहुपद प्रक्षेप के गुणांक की गणना करती है।

परिभाषा

n + 1 डेटा पॉइंट दिया गया है

$$(x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{n},y_{n})$$

जहां $x_{k}$ जोड़ीवार अलग-अलग माना जाता है, आगे विभाजित मतभेदों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$${\begin{aligned}{\mathopen {[}}y_{k}]&:=y_{k},&&k\in \{0,\ldots ,n\}\\{\mathopen {[}}y_{k},\ldots ,y_{k+j}]&:={\frac {[y_{k+1},\ldots ,y_{k+j}]-[y_{k},\ldots ,y_{k+j-1}]}{x_{k+j}-x_{k}}},&&k\in \{0,\ldots ,n-j\},\ j\in \{1,\ldots ,n\}.\end{aligned}}$$

गणना की पुनरावर्ती प्रक्रिया को स्पष्ट करने के लिए, विभाजित अंतरों को सारणीबद्ध रूप में रखा जा सकता है, जहां कॉलम उपरोक्त j के मान के अनुरूप होते हैं, और तालिका में प्रत्येक प्रविष्टि की गणना उसके तत्काल निचले बाएँ और उसके तत्काल ऊपरी बाएँ प्रविष्टियों के अंतर से की जाती है, जो संबंधित x-मानों के अंतर से विभाजित होती है:

$${\begin{matrix}x_{0}&y_{0}=[y_{0}]&&&\\&&[y_{0},y_{1}]&&\\x_{1}&y_{1}=[y_{1}]&&[y_{0},y_{1},y_{2}]&\\&&[y_{1},y_{2}]&&[y_{0},y_{1},y_{2},y_{3}]\\x_{2}&y_{2}=[y_{2}]&&[y_{1},y_{2},y_{3}]&\\&&[y_{2},y_{3}]&&\\x_{3}&y_{3}=[y_{3}]&&&\\\end{matrix}}$$

संकेतन

ध्यान दें कि विभाजित अंतर $[y_{k},\ldots ,y_{k+j}]$ मूल्यों पर निर्भर करता है $x_{k},\ldots ,x_{k+j}$ और $y_{k},\ldots ,y_{k+j}$, लेकिन अंकन x-मानों पर निर्भरता को छुपाता है। यदि डेटा बिंदु किसी फ़ंक्शन f द्वारा दिए गए हैं,

$$(x_{0},f(x_{0})),\ldots ,(x_{k},f(x_{n}))$$