अभिलक्षणिक बहुपद

This article is about एक आव्यूह या सदिश रिक्त समिष्ट के एंडोमोर्फिज्म की विशेषता बहुपद. For मैट्रोइड का अभिलक्षणिक बहुपद, see मैट्रोइड. For एक श्रेणीबद्ध पोसेट का, see ग्रेडेड पॉसेट.

रैखिक बीजगणित में, वर्ग आव्यूह का विशिष्ट बहुपद बहुपद होता है जो आव्यूह समानता के अनुसार अपरिवर्तनीय होता है और बहुपद के मूल के रूप में स्वदेशी मान होता है। इसके गुणांकों के बीच आव्यूह का निर्धारक और ट्रेस (रैखिक बीजगणित) है। परिमित-आयामी सदिश समिष्ट के एंडोमोर्फिज्म का विशेषता बहुपद किसी भी आधार पर उस एंडोमोर्फिज्म के आव्यूह का विशेषता बहुपद है (अर्थात, विशेषता बहुपद आधार (रैखिक बीजगणित) की पसंद पर निर्भर नहीं करता है)। विशेषता समीकरण, जिसे निर्धारक समीकरण के रूप में भी जाना जाता है, विशेषता बहुपद को शून्य के बराबर करके प्राप्त समीकरण है।

वर्णक्रमीय ग्राफ सिद्धांत में, ग्राफ़ (असतत गणित) का विशेषता बहुपद इसके आसन्न आव्यूह का विशेषता बहुपद है।

प्रेरणा

रैखिक बीजगणित में, ईजेनवैल्यू ​​​​और ईजेनसदिश मौलिक भूमिका निभाते हैं, क्योंकि, रैखिक परिवर्तन को देखते हुए, ईजेनसदिश सदिश होता है जिसकी दिशा परिवर्तन से नहीं बदलती है, और संबंधित ईजेनवैल्यू सदिश के परिमाण के परिणामी परिवर्तन का माप है।

अधिक स्पष्टतः, यदि परिवर्तन को वर्ग आव्यूह $A,$ द्वारा दर्शाया जाता है तो ईजेनसदिश $\mathbf {v} ,$ और संबंधित ईजेनवैल्यू $\lambda$ समीकरण को संतुष्ट करता है

$$A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,$$

या, समकक्ष,

$$(\lambda I-A)\mathbf {v} =0$$

जहां $I$ पहचान आव्यूह है, और $\mathbf {v} \neq \mathbf {0}$ (चूँकि शून्य सदिश प्रत्येक $\lambda ,$ के लिए इस समीकरण को संतुष्ट करता है, इसे आइजेनवेक्टर नहीं माना जाता है)।

यह इस प्रकार है कि आव्यूह $(\lambda I-A)$ एकवचन आव्यूह और उसका निर्धारक होना चाहिए

$$\det(\lambda I-A)=0$$

शून्य होना चाहिए.

दूसरे शब्दों में A के ईजेनवैल्यू ​​की मूल हैं

$$\det(xI-A),$$

यदि A एक n×n आव्यूह है तो x डिग्री n वाला एक बहुपद है। यह बहुपद A का अभिलाक्षणिक बहुपद है।

औपचारिक परिभाषा

एक $n\times n$ आव्यूह $A,$ पर विचार करें। $A.$ का विशेषता बहुपद, जिसे $p_{A}(t),$ द्वारा निरूपित किया जाता है,

$$p_{A}(t)=\det(tI-A)$$

जहां $I$ $n\times n$ पहचान आव्यूह को दर्शाता हूं।

कुछ लेखक विशेषता बहुपद को $\det(A-tI).$ के रूप में परिभाषित करते हैं, वह बहुपद यहां $(-1)^{n},$ चिह्न द्वारा परिभाषित बहुपद से भिन्न है, इसलिए इससे $A$ के मूल मान जैसे गुणों के लिए कोई अंतर नहीं पड़ता है; चूँकि ऊपर दी गई परिभाषा सदैव एक विशेषता बहुपद देती है, जबकि वैकल्पिक परिभाषा केवल एक विशेषता बहुपद देती है

उदाहरण

आव्यूह के विशेषता बहुपद की गणना करता है

$$A={\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}}.$$

निम्नलिखित के निर्धारक की गणना की जाती है:

$$tI-A={\begin{pmatrix}t-2&-1\\1&t-0\end{pmatrix}}$$

और $(t-2)t-1(-1)=t^{2}-2t+1\,\!,$ का विशेषता बहुपद $A.$ पाया गया एक अन्य उदाहरण अतिपरवलय कोण φ के अतिपरवलय कार्यों का उपयोग करता है। आव्यूह के लिए माना

$$A={\begin{pmatrix}\cosh(\varphi )&\sinh(\varphi )\\\sinh(\varphi )&\cosh(\varphi )\end{pmatrix}}.$$

इसका विशेषता बहुपद है

$$\det(tI-A)=(t-\cosh(\varphi ))^{2}-\sinh ^{2}(\varphi )=t^{2}-2t\ \cosh(\varphi )+1=(t-e^{\varphi })(t-e^{-\varphi }).$$

गुण

$p_{A}(t)$ आव्यूह का विशिष्ट बहुपद $n\times n$ मोनिक है (इसका अग्रणी गुणांक $1$ है) और इसकी डिग्री $n.$ है। अभिलक्षणिक बहुपद के बारे में सबसे महत्वपूर्ण तथ्य पहले से ही प्रेरक अनुच्छेद में उल्लिखित किया गया था: $A$ के स्वदेशी मान ठीक $p_{A}(t)$ की मूल हैं (यह $A,$ के न्यूनतम बहुपद (रैखिक बीजगणित) के लिए भी प्रयुक्त होता है, किन्तु इसकी डिग्री $n$ से कम हो सकती है)। विशेषता बहुपद के सभी गुणांक आव्यूह की प्रविष्टियों में बहुपद अभिव्यक्ति हैं। विशेष रूप से इसका निरंतर गुणांक $p_{A}(0)$ है, $t^{n}$ का गुणांक एक है, और $\det(-A)=(-1)^{n}\det(A),$ का गुणांक, जहां $t^{n}$$A.$ का ट्रेस (आव्यूह) है। (यहां दिए गए संकेत पिछले अनुभाग में दी गई औपचारिक परिभाषा के अनुरूप हैं; वैकल्पिक परिभाषा के लिए ये क्रमशः $\det(A)$ और (−1)^{n – 1} tr(A) होते है।)

$2\times 2$ आव्यूह $A,$ के लिए, विशेषता बहुपद इस प्रकार दिया गया है

$$t^{2}-\operatorname {tr} (A)t+\det(A).$$

बाह्य बीजगणित की भाषा का उपयोग करते हुए, $n\times n$ आव्यूह $A$ के विशिष्ट बहुपद को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

$$p_{A}(t)=\sum _{k=0}^{n}t^{n-k}(-1)^{k}\operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{k}A\right)$$

जहां ${\textstyle \operatorname {tr} \left(\bigwedge ^{k}A\right)}$ की $k$वीं बाह्य शक्ति का ट्रेस है, जिसका आयाम $A,$ है इस ट्रेस की गणना ${\textstyle {\binom {n}{k}}.}$ आकार के $A$ के सभी प्रमुख माइनरों के योग के रूप में की जा सकती है। पुनरावर्ती फ़ैडीव-लेवेरियर एल्गोरिदम इन गुणांकों की अधिक कुशलता से गणना करता है।

जब गुणांक के क्षेत्र की विशेषता $0,$ होती है, तो प्रत्येक ऐसे ट्रेस को वैकल्पिक रूप से $k\times k$ आव्यूह के एकल निर्धारक के रूप में गणना की जा सकती है,

$$\operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{k}A\right)={\frac {1}{k!}}{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&k-1&0&\cdots &0\\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&k-2&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\\operatorname {tr} A^{k-1}&\operatorname {tr} A^{k-2}&&\cdots &1\\\operatorname {tr} A^{k}&\operatorname {tr} A^{k-1}&&\cdots &\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}~.$$

केली-हैमिल्टन प्रमेय बताता है कि प्रतिस्थापित करना $t$ द्वारा $A$ विशिष्ट बहुपद में (परिणामी शक्तियों को आव्यूह शक्तियों और स्थिर पद के रूप में व्याख्या करना $c$ जैसा $c$ पहचान आव्यूह का गुणा) शून्य आव्यूह उत्पन्न करता है। अनौपचारिक रूप से कहें तो, प्रत्येक आव्यूह अपने स्वयं के विशिष्ट समीकरण को संतुष्ट करता है। यह कथन यह कहने के बराबर है कि न्यूनतम बहुपद (रैखिक बीजगणित)। $A$ के गुणधर्म बहुपद को विभाजित करता है $A.$ दो समान आव्यूहों का विशेषता बहुपद समान होता है। चूँकि, इसका विपरीत सामान्य रूप से सत्य नहीं है: समान विशेषता बहुपद वाले दो आव्यूहों का समान होना आवश्यक नहीं है।

गणित का सवाल $A$ और इसके स्थानान्तरण में समान विशेषता बहुपद है। $A$ त्रिकोणीय आव्यूह के समान है यदि और केवल तभी जब इसके विशिष्ट बहुपद को पूरी तरह से रैखिक कारकों में विभाजित किया जा सके $K$ (विशेष बहुपद के बजाय न्यूनतम बहुपद के साथ भी यही सच है)। इस मामले में $A$ जॉर्डन सामान्य रूप में आव्यूह के समान है।

दो आव्यूहों के गुणनफल का विशेषता बहुपद

अगर $A$ और $B$ दो वर्ग हैं $n\times n$ आव्यूह फिर अभिलाक्षणिक बहुपद $AB$ और $BA$ संयोग:

$$p_{AB}(t)=p_{BA}(t).\,$$

कब $A$ गैर-एकवचन आव्यूह है|गैर-एकवचन यह परिणाम इस तथ्य से निकलता है $AB$ और $BA$ समान आव्यूह हैं:

$$BA=A^{-1}(AB)A.$$

उस मामले के लिए जहां दोनों $A$ और $B$ एकवचन हैं, वांछित पहचान बहुपदों के बीच समानता है $t$ और आव्यूहों के गुणांक। इस प्रकार, इस समानता को साबित करने के लिए, यह साबित करना पर्याप्त है कि यह सभी गुणांकों के स्थान के गैर-रिक्त खुले उपसमुच्चय (सामान्य टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए, या, अधिक सामान्यतः, ज़ारिस्की टोपोलॉजी के लिए) पर सत्यापित है। चूँकि गैर-एकवचन आव्यूह सभी आव्यूहों के स्थान का खुला उपसमुच्चय बनाते हैं, यह परिणाम को सिद्ध करता है।

अधिक सामान्यतः, यदि $A$ आदेश का आव्यूह है $m\times n$ और $B$ आदेश का आव्यूह है $n\times m,$ तब $AB$ है $m\times m$ और $BA$ है $n\times n$ आव्यूह, और के पास है

$$p_{BA}(t)=t^{n-m}p_{AB}(t).\,$$

इसे साबित करने के लिए कोई मान सकता है $n>m,$ यदि आवश्यक हो तो आदान-प्रदान करके, $A$ और $B.$ फिर, बॉर्डरिंग करके $A$ द्वारा तल पर $n-m$ शून्य की पंक्तियाँ, और $B$ दाईं ओर, द्वारा, $n-m$ शून्य के स्तंभ, को दो मिलते हैं $n\times n$ आव्यूह $A^{\prime }$ और $B^{\prime }$ ऐसा है कि $B^{\prime }A^{\prime }=BA$ और $A^{\prime }B^{\prime }$ के बराबर है $AB$ द्वारा सीमाबद्ध $n-m$ शून्य की पंक्तियाँ और स्तंभ. परिणाम वर्ग आव्यूहों के मामले से, के विशिष्ट बहुपदों की तुलना करके प्राप्त होता है $A^{\prime }B^{\prime }$ और $AB.$

ए का विशेषता बहुपद^क

अगर $\lambda$ वर्ग आव्यूह का ईजेनवैल्यू है $A$ ईजेनसदिश के साथ $\mathbf {v} ,$ तब $\lambda ^{k}$ का प्रतिरूप है $A^{k}$ क्योंकि

$$A^{k}{\textbf {v}}=A^{k-1}A{\textbf {v}}=\lambda A^{k-1}{\textbf {v}}=\dots =\lambda ^{k}{\textbf {v}}.$$

बहुलताओं को सहमत होते हुए भी दिखाया जा सकता है, और यह इसके स्थान पर किसी भी बहुपद का सामान्यीकरण करता है $x^{k}$:

Theorem —  Let $A$ be a square $n\times n$ matrix and let $f(t)$ be a polynomial. If the characteristic polynomial of $A$ has a factorization

$$p_{A}(t)=(t-\lambda _{1})(t-\lambda _{2})\cdots (t-\lambda _{n})$$

then the characteristic polynomial of the matrix $f(A)$ is given by

$$p_{f(A)}(t)=(t-f(\lambda _{1}))(t-f(\lambda _{2}))\cdots (t-f(\lambda _{n})).$$

अर्थात् बीजगणितीय बहुलता $\lambda$ में $f(A)$ के बीजगणितीय गुणन के योग के बराबर है $\lambda '$ में $A$ ऊपर $\lambda '$ ऐसा है कि $f(\lambda ')=\lambda .$ विशेष रूप से, $\operatorname {tr} (f(A))=\textstyle \sum _{i=1}^{n}f(\lambda _{i})$ और $\operatorname {det} (f(A))=\textstyle \prod _{i=1}^{n}f(\lambda _{i}).$ यहाँ बहुपद है $f(t)=t^{3}+1,$ उदाहरण के लिए, आव्यूह पर मूल्यांकन किया जाता है $A$ बस के रूप में $f(A)=A^{3}+I.$ प्रमेय किसी भी क्षेत्र या क्रमविनिमेय वलय पर आव्यूहों और बहुपदों पर प्रयुक्त होता है। चूँकि, यह धारणा $p_{A}(t)$ रैखिक कारकों में गुणनखंडन हमेशा सत्य नहीं होता है, जब तक कि आव्यूह जटिल संख्याओं जैसे बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर न हो।

Proof

This proof only applies to matrices and polynomials over complex numbers (or any algebraically closed field). In that case, the characteristic polynomial of any square matrix can be always factorized as

$$p_{A}(t)=\left(t-\lambda _{1}\right)\left(t-\lambda _{2}\right)\cdots \left(t-\lambda _{n}\right)$$

where $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}$ are the eigenvalues of $A,$ possibly repeated. Moreover, the Jordan decomposition theorem guarantees that any square matrix $A$ can be decomposed as $A=S^{-1}US,$ where $S$ is an invertible matrix and $U$ is upper triangular with $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ on the diagonal (with each eigenvalue repeated according to its algebraic multiplicity). (The Jordan normal form has stronger properties, but these are sufficient; alternatively the Schur decomposition can be used, which is less popular but somewhat easier to prove).

Let ${\textstyle f(t)=\sum _{i}\alpha _{i}t^{i}.}$ Then

$$f(A)=\textstyle \sum \alpha _{i}(S^{-1}US)^{i}=\textstyle \sum \alpha _{i}S^{-1}USS^{-1}US\cdots S^{-1}US=\textstyle \sum \alpha _{i}S^{-1}U^{i}S=S^{-1}(\textstyle \sum \alpha _{i}U^{i})S=S^{-1}f(U)S.$$

For an upper triangular matrix $U$ with diagonal $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n},$ the matrix $U^{i}$ is upper triangular with diagonal $\lambda _{1}^{i},\dots ,\lambda _{n}^{i}$ in $U^{i},$ and hence $f(U)$ is upper triangular with diagonal $f\left(\lambda _{1}\right),\dots ,f\left(\lambda _{n}\right).$ Therefore, the eigenvalues of $f(U)$ are $f(\lambda _{1}),\dots ,f(\lambda _{n}).$ Since $f(A)=S^{-1}f(U)S$ is similar to $f(U),$ it has the same eigenvalues, with the same algebraic multiplicities.

धर्मनिरपेक्ष कार्य और धर्मनिरपेक्ष समीकरण

धर्मनिरपेक्ष कार्य

धर्मनिरपेक्ष फलन शब्द का प्रयोग उस चीज़ के लिए किया गया है जिसे अब विशेषता बहुपद कहा जाता है (कुछ साहित्य में धर्मनिरपेक्ष फलन शब्द अभी भी प्रयोग किया जाता है)। यह शब्द इस तथ्य से आया है कि जोसेफ लुई लैग्रेंज के दोलन सिद्धांत के अनुसार, विशेषता बहुपद का उपयोग ग्रहों की कक्षाओं की धर्मनिरपेक्ष घटनाओं (एक सदी के समय के पैमाने पर, यानी वार्षिक गति की तुलना में धीमी) की गणना करने के लिए किया गया था।

धर्मनिरपेक्ष समीकरण

धर्मनिरपेक्ष समीकरण के कई अर्थ हो सकते हैं.

• रैखिक बीजगणित में इसका प्रयोग कभी-कभी अभिलाक्षणिक समीकरण के स्थान पर किया जाता है।
• खगोल विज्ञान में यह किसी ग्रह की गति में असमानताओं के परिमाण की बीजगणितीय या संख्यात्मक अभिव्यक्ति है जो छोटी अवधि की असमानताओं की अनुमति के बाद बनी रहती है।
• इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा और उसके तरंग कार्य से संबंधित आणविक कक्षीय गणनाओं में विशेषता समीकरण के स्थान पर भी इसका उपयोग किया जाता है।

सामान्य साहचर्य बीजगणित के लिए

आव्यूह की विशेषता बहुपद की उपरोक्त परिभाषा $A\in M_{n}(F)$ किसी फ़ील्ड में प्रविष्टियों के साथ $F$ जब मामले में कोई बदलाव किए बिना सामान्यीकरण किया जाता है $F$ केवल क्रमविनिमेय वलय है। Garibaldi (2004) क्षेत्र पर मनमाना परिमित-आयामी (साहचर्य बीजगणित, किन्तु जरूरी नहीं कि क्रमविनिमेय) बीजगणित के तत्वों के लिए विशेषता बहुपद को परिभाषित करता है $F$ और इस व्यापकता में चारित्रिक बहुपद के मानक गुणों को सिद्ध करता है।

यह भी देखें

• विशेषता समीकरण (बहुविकल्पी)
• टेंसर के अपरिवर्तनीय
• सहयोगी आव्यूह
• फद्दीव-लेवेरियर एल्गोरिदम
• केली-हैमिल्टन प्रमेय
• सैमुएलसन-बर्कोविट्ज़ एल्गोरिथम

संदर्भ

• T.S. Blyth & E.F. Robertson (1998) Basic Linear Algebra, p 149, Springer ISBN 3-540-76122-5 .
• John B. Fraleigh & Raymond A. Beauregard (1990) Linear Algebra 2nd edition, p 246, Addison-Wesley ISBN 0-201-11949-8 .
• Garibaldi, Skip (2004), "The characteristic polynomial and determinant are not ad hoc constructions", American Mathematical Monthly, 111 (9): 761–778, arXiv:math/0203276, doi:10.2307/4145188, JSTOR 4145188, MR 2104048
• Werner Greub (1974) Linear Algebra 4th edition, pp 120–5, Springer, ISBN 0-387-90110-8 .
• Paul C. Shields (1980) Elementary Linear Algebra 3rd edition, p 274, Worth Publishers ISBN 0-87901-121-1 .
• Gilbert Strang (1988) Linear Algebra and Its Applications 3rd edition, p 246, Brooks/Cole ISBN 0-15-551005-3 .