Nवे मूल

This article is about वास्तविक और सम्मिश्र संख्याओं के nवें-मूल. For अन्य उपयोग, see जड़ (बहुविकल्पी) या गणित.

गणित में, nवाँ मूल लेना एक ऑपरेशन है जिसमें दो संख्याएँ, मूलांक और सूचकांक या डिग्री सम्मिलित होती हैं। n वाँ मूल लेते हुए इसे ${\sqrt[{n}]{x}}$ के रूप में लिखा जाता है, जहाँ x मूलांक है और n सूचकांक है (लगभग कभी-कभी इसे डिग्री भी कहा जाता है)। इसे "x का nवाँ मूल" के रूप में उच्चारित किया जाता है। किसी संख्या x के nवें मूल की परिभाषा एक संख्या r (मूल) है, जिसे जब एक धनात्मक पूर्णांक n की घात तक बढ़ाया जाता है, तो x प्राप्त होता है:

$r^{n}=x,$

डिग्री 2 के मूल को वर्गमूल कहा जाता है (जहाँ n के बिना इसे केवल ${\sqrt {x}}$ के रूप में लिखा जाता है) और डिग्री 3 के मूल को घनमूल ${\sqrt[{3}]{x}}$ के रूप में लिखा जाता है) कहा जाता है। उच्च डिग्री की मूलों को क्रमिक संख्याओं का उपयोग करके संदर्भित किया जाता है, जैसे कि चौथी मूल , बीसवीं मूल, आदि। n मूल की गणना एक मूल निष्कर्षण है। उदाहरण के लिए, 3, 9 का वर्गमूल है, क्योंकि 3²= 9 है,और −3 भी 9 का वर्गमूल है, क्योंकि (−3)² = 9 है.

सम्मिश्र संख्या के रूप में माना जाता है जिसमे किसी भी गैर-शून्य संख्या में, वास्तविक (अधिकतम दो) सहित विभिन्न सम्मिश्र nवें मूल होते है सभी धनात्मक पूर्णांकों n के लिए 0 का n' मूल शून्य होता है, जबसे 0ⁿ = 0. विशेष रूप से, यदि n सम है और x धनात्मक वास्तविक संख्या है, इसका n मूल वास्तविक और धनात्मक हैं, ऋणात्मक है, और अन्य (जब n > 2) अवास्तविक सम्मिश्र संख्याएँ हैं; यदि n सम है और x ऋणात्मक वास्तविक संख्या है, इनमें से कोई नहीं nवीं मूल वास्तविक हैं। यदि n विषम है और x वास्तविक है, nमूल वास्तविक है और इसका चिन्ह x के समान है , जबकि अन्य (n – 1) मूल वास्तविक नहीं हैं। अंत में, यदि x वास्तविक नहीं है, तब इसका कोई नहीं nवें मूल वास्तविक हैं।

वास्तविक संख्याओं की मूल सामान्यतः मूलांक प्रतीक या मूलांक ${\sqrt {{~^{~}}^{~}\!\!}}$ का उपयोग करके लिखी जाती हैं , यदि x धनात्मक है जिसके साथ ${\sqrt {x}}$ x के धनात्मक वर्गमूल को निरूपित करना होता है; यदि n विषम है तो ${\sqrt[{n}]{x}}$ वास्तविक n की मूल को दर्शाता है उच्च मूलों के लिए, यदि है n सम है और x धनात्मक है। और धनात्मक nवाँ मूल अन्य स्थितियों में, प्रतीक सामान्यतः अस्पष्ट होने के रूप में उपयोग नहीं किया जाता है। अभिव्यक्ति में ${\sqrt[{n}]{x}}$, पूर्णांक n को अनुक्रमणिका और कहा जाता है x रेडिकैंड कहा जाता है।

जब सम्मिश्र nवें मूलों पर विचार किया जाता है, यह अधिकांशतः मूलों में से को चुनने के लिए उपयोगी होता है, जिसे सिद्धांत मूल कहा जाता है, मुख्य मूल्य के रूप में। सामान्य पसंद सिद्धांत चुनना है कि x के रूप में nवें मूल सबसे बड़ा वास्तविक भाग n की मूल के साथ चुना जाये, और जब दो होते हैं ( x वास्तविक और नकारात्मक के लिए) हों, तो एक धनात्मक काल्पनिक भाग वाला। यह nवें मूल फलन (गणित) बनाता है जो x वास्तविक और धनात्मक के लिए वास्तविक और धनात्मक है, और x के वास्तविक और ऋणात्मक मूल्यों को छोड़कर, पूरे सम्मिश्र विमान में निरंतर कार्य करता है

इस विकल्प के साथ कठिनाई यह है कि, ऋणात्मक वास्तविक संख्या और विषम सूचकांक के लिए, मूलधन n मूल असली नहीं है। उदाहरण के लिए, $-8$ तीन घनमूल हैं, $-2$, $1+i{\sqrt {3}}$ तथा $1-i{\sqrt {3}}.$ वास्तविक घनमूल $-2$ है और मुख्य घनमूल $1+i{\sqrt {3}}$ है

एक अनसुलझी मूल , विशेष रूप से कट्टरपंथी प्रतीक का उपयोग करते हुए, कभी-कभी करणी या कट्टरपंथी के रूप में जाना जाता है। कोई भी व्यंजक जिसमें मूलांक हो, चाहे वह वर्गमूल हो, घनमूल हो, या उच्च मूल हो, को मूल व्यंजक कहा जाता है, और यदि इसमें कोई पारलौकिक कार्य या पारलौकिक संख्याएँ नहीं हैं, तब इसे बीजगणितीय व्यंजक कहा जाता है।

मूलों को घातांक के विशेष स्थितियों के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जहां प्रतिपादक अंश (गणित) है:

${\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}.$

<डिव क्लास = राइट>

मूलों का उपयोग मूल परीक्षण के साथ शक्ति श्रृंखला के अभिसरण के त्रिज्या को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। 1 के nवें मूल को एकता की मूल कहा जाता है और गणित के विभिन्न क्षेत्रों में मौलिक भूमिका निभाते हैं, जैसे संख्या सिद्धांत, समीकरणों का सिद्धांत, और फूरियर रूपांतरण निभाते है।

इतिहास

Main articles: वर्गमूल या इतिहास and घनमूल या इतिहास

nवें मूलों को लेने की संक्रिया के लिए पुरातन शब्द विकिरण है।

परिभाषा और अंकन

−1 के चार चौथे मूल,
इनमें से कोई भी वास्तविक नहीं है

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−1 के तीन तीसरे मूल,
जिनमें से ऋणात्मक वास्तविक है

किसी संख्या x का n वाँ मूल, जहाँ n धनात्मक पूर्णांक है, कोई भी n वास्तविक या सम्मिश्र संख्या r है जिसका n वीं शक्ति x है:

$r^{n}=x.$

प्रत्येक धनात्मक वास्तविक संख्या x का धनात्मक nवां मूल होता है, जिसे nवाँ मूल मान कहते हैं, जिसे ${\sqrt[{n}]{x}}$ लिखा जाता है. 2 के सामान्तर n के लिए इसे मुख्य वर्गमूल कहा जाता है और n को छोड़ दिया जाता है। nवें मूल को घातांक का उपयोग करके x^1/n के रूप में भी प्रदर्शित किया जा सकता है.

n के सम मानों के लिए, धनात्मक संख्याओं का ऋणात्मक nवां मूल भी होता है, जबकि ऋणात्मक संख्याओं का वास्तविक nवां मूल नहीं होता है। n के विषम मानों के लिए, प्रत्येक ऋणात्मक संख्या x का वास्तविक ऋणात्मक nवां मूल होता है। उदाहरण के लिए, −2 का वास्तविक 5वां मूल है, $\sqrt[5]{-<!--\; -\; -->2}=-<!--\; -\; -->1.148698354$