Nवे मूल

This article is about nth-roots of real and complex numbers. For other uses, see Root (disambiguation) § Mathematics.

गणित में, संख्या x का nवाँ मूल एक संख्या r होती है, जिसे जब घात n तक बढ़ाया जाता है, तो x प्राप्त होता है:

$r^{n}=x,$

जहाँ n एक धनात्मक पूर्णांक है, जिसे कभी-कभी मूल की घात कहा जाता है। डिग्री 2 की जड़ को वर्गमूल और डिग्री 3 की जड़ को घनमूल कहा जाता है। उच्च श्रेणी के मूलों को क्रमिक संख्याओं का उपयोग करके संदर्भित किया जाता है, जैसे कि चौथी जड़, बीसवीं जड़, आदि। एक की गणना nजड़ एक जड़ निष्कर्षण है। उदाहरण के लिए, 3, 9 का वर्गमूल है, क्योंकि 3 है² = 9, और −3 भी 9 का एक वर्गमूल है, क्योंकि (−3)² = 9.

किसी भी गैर-शून्य संख्या को एक सम्मिश्र संख्या के रूप में माना जाता है n अलग जटिल nवें मूल, वास्तविक संख्या वालों सहित (अधिकतम दो)। n'}}सभी धनात्मक पूर्णांकों के लिए 0 का मूल शून्य होता है n, जबसे 0ⁿ = 0. विशेष रूप से, अगर n सम है और x एक सकारात्मक वास्तविक संख्या है, इसका एक nजड़ें वास्तविक और सकारात्मक हैं, एक नकारात्मक है, और अन्य (जब n > 2) अवास्तविक सम्मिश्र संख्याएँ हैं; यदि n सम है और x एक ऋणात्मक वास्तविक संख्या है, इनमें से कोई नहीं nवीं जड़ें असली हैं। यदि n विषम है और x वास्तविक है, एक nमूल वास्तविक है और इसका चिन्ह समान है x, जबकि अन्य (n – 1) जड़ें वास्तविक नहीं हैं। अंत में, अगर x वास्तविक नहीं है, तो इसका कोई नहीं nवें मूल वास्तविक हैं।

वास्तविक संख्याओं की जड़ें आमतौर पर मूलांक प्रतीक या मूलांक का उपयोग करके लिखी जाती हैं ${\sqrt {{~^{~}}^{~}\!\!}}$, साथ ${\sqrt {x}}$ के धनात्मक वर्गमूल को निरूपित करना x यदि x सकारात्मक है; उच्च जड़ों के लिए, ${\sqrt[{n}]{x}}$ वास्तविक को दर्शाता है nकी जड़ें n विषम है, और धनात्मक nवाँ मूल यदि है n सम है और x सकारात्मक है। अन्य मामलों में, प्रतीक आमतौर पर अस्पष्ट होने के रूप में उपयोग नहीं किया जाता है। अभिव्यक्ति में ${\sqrt[{n}]{x}}$, पूर्णांक n को अनुक्रमणिका और कहा जाता है x रेडिकैंड कहा जाता है।

जब जटिल nवें जड़ों पर विचार किया जाता है, यह अक्सर जड़ों में से एक को चुनने के लिए उपयोगी होता है, जिसे प्रिंसिपल रूट कहा जाता है, मुख्य मूल्य के रूप में। आम पसंद प्रिंसिपल चुनना है nकी जड़ x के रूप में nवें मूल सबसे बड़ा वास्तविक भाग के साथ, और जब दो होते हैं (के लिए x वास्तविक और नकारात्मक), एक सकारात्मक काल्पनिक भाग वाला। यह बनाता है nवें रूट एक फ़ंक्शन (गणित) है जो वास्तविक और सकारात्मक है x वास्तविक और सकारात्मक, और के मूल्यों को छोड़कर, पूरे जटिल विमान में निरंतर कार्य करता है x जो वास्तविक और नकारात्मक हैं।

इस विकल्प के साथ एक कठिनाई यह है कि, एक ऋणात्मक वास्तविक संख्या और एक विषम सूचकांक के लिए, मूलधन nजड़ असली नहीं है। उदाहरण के लिए, $-8$ तीन घनमूल हैं, $-2$, $1+i{\sqrt {3}}$ तथा $1-i{\sqrt {3}}.$ वास्तविक घनमूल है $-2$ और मुख्य घनमूल है $1+i{\sqrt {3}}.$ एक अनसुलझी जड़, विशेष रूप से एक कट्टरपंथी प्रतीक का उपयोग करते हुए, कभी-कभी करणी के रूप में जाना जाता है या एक कट्टरपंथी। कोई भी व्यंजक जिसमें मूलांक हो, चाहे वह वर्गमूल हो, घनमूल हो, या उच्च मूल हो, को मूल व्यंजक कहा जाता है, और यदि इसमें कोई पारलौकिक कार्य या पारलौकिक संख्याएँ नहीं हैं, तो इसे बीजगणितीय व्यंजक कहा जाता है। ।

जड़ों को घातांक के विशेष मामलों के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जहां प्रतिपादक एक अंश (गणित) है:

${\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}.$

<डिव क्लास = राइट>

मूल परीक्षण के साथ शक्ति श्रृंखला के अभिसरण के त्रिज्या को निर्धारित करने के लिए जड़ों का उपयोग किया जाता है। nn}}1 के वें मूल को एकता की जड़ कहा जाता है और गणित के विभिन्न क्षेत्रों में मौलिक भूमिका निभाते हैं, जैसे संख्या सिद्धांत, समीकरणों का सिद्धांत, और फूरियर रूपांतरण।

इतिहास

Main articles: Square root § History, and Cube root § History

nवें मूलों को लेने की संक्रिया के लिए एक पुरातन शब्द विकिरण है।

परिभाषा और अंकन

File:NegativeOne4Root.svg

−1 के चार चौथे मूल,
इनमें से कोई भी वास्तविक नहीं है

File:NegativeOne3Root.svg

−1 के तीन तीसरे मूल,
जिनमें से एक ऋणात्मक वास्तविक है

किसी संख्या x का n वाँ मूल, जहाँ n एक धनात्मक पूर्णांक है, कोई भी n वास्तविक या सम्मिश्र संख्या r है जिसका n वीं शक्ति x है:

$r^{n}=x.$

प्रत्येक धनात्मक वास्तविक संख्या x का एक धनात्मक nवां मूल होता है, जिसे मूल मान कहते हैं, जिसे लिखा जाता है ${\sqrt[{n}]{x}}$. n बराबर 2 के लिए इसे मुख्य वर्गमूल कहा जाता है और n को छोड़ दिया जाता है। nवें मूल को x के रूप में घातांक का उपयोग करके भी प्रदर्शित किया जा सकता है^1/n.

n के सम मानों के लिए, धनात्मक संख्याओं का ऋणात्मक nवां मूल भी होता है, जबकि ऋणात्मक संख्याओं का वास्तविक nवां मूल नहीं होता है। n के विषम मानों के लिए, प्रत्येक ऋणात्मक संख्या x का वास्तविक ऋणात्मक nवां मूल होता है। उदाहरण के लिए, −2 का वास्तविक 5वां मूल है, ${\sqrt[{5}]{-2}}=-1.148698354\ldots$