रेले भागफल

गणित में, किसी दिए गए सम्मिश्र हर्मिटियन आव्यूह $M$ और अशून्य सदिश (ज्यामिति) $x$ के लिए रेले भागफल (/ˈreɪ.li/) को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$R(M,x)={x^{*}Mx \over x^{*}x}.$$

वास्तविक आव्यूहों और सदिशों के लिए, हर्मिटियन होने की स्थिति सममित होने की स्थिति में कम हो जाती है और संयुग्मी परिवर्त $x^{*}$ को सामान्य परिवर्त $x'$ में परिवर्तित कर देता है। ध्यान दें कि किसी भी अशून्य अदिश $c$ के लिए $R(M,cx)=R(M,x)$ है। स्मरण रखें कि हर्मिटियन (अथवा वास्तविक सममित) आव्यूह केवल वास्तविक आइगेन मान ​​​​के साथ विकर्ण योग्य है। यह दिखाया जा सकता है कि, किसी दिए गए आव्यूह के लिए, रेले भागफल अपने न्यूनतम मान $\lambda _{\min }$ ($M$ का सबसे छोटा आइगेन मान) तक पहुँच जाता है जब $x$, $v_{\min }$ (संबंधित आइगेनवेक्टर) होता है। इस प्रकार, $R(M,x)\leq \lambda _{\max }$ और $R(M,v_{\max })=\lambda _{\max }$ होता है।

रेले भागफल का उपयोग न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय में सभी आइगेन मानों ​​​​के त्रुटिहीन मान प्राप्त करने के लिए किया जाता है। इसका उपयोग आइजेनवेक्टर सन्निकटन से आइगेन मान सन्निकटन प्राप्त करने के लिए आइगेन मान एल्गोरिथ्म (जैसे कि रेले भागफल पुनरावृत्ति) में भी किया जाता है।

रेले भागफल की सीमा (किसी भी आव्यूह के लिए यह आवश्यक नहीं कि हर्मिटियन हो) को संख्यात्मक सीमा कहा जाता है और इसमें इसका स्पेक्ट्रम (कार्यात्मक विश्लेषण) सम्मिलित होता है। जब आव्यूह हर्मिटियन होता है, तो संख्यात्मक त्रिज्या वर्णक्रमीय मानक के समान होती है। अभी भी कार्यात्मक विश्लेषण में, $\lambda _{\max }$ को वर्णक्रमीय त्रिज्या के रूप में जाना जाता है। $C^{\star }$-बीजगणित अथवा बीजगणितीय क्वांटम यांत्रिकी के सन्दर्भ में, वह फलन जो $M$ बीजगणित के माध्यम से भिन्न होने वाले निश्चित $x$ और $M$ के लिए रेले-रिट्ज भागफल $R(M,x)$ को जोड़ता है, उसे बीजगणित की सदिश स्थिति के रूप में संदर्भित किया जाएगा।

क्वांटम यांत्रिकी में, रेले भागफल उस प्रणाली के लिए संकारक $M$ के अनुरूप अवलोकन योग्य का अपेक्षित मान देता है जिसकी स्थिति $x$ द्वारा दी गई है।

यदि हम सम्मिश्र आव्यूह $M$ को व्यवस्थित करते हैं, तो परिणामी रेले भागफल मानचित्र (जिसे $x$ के फलन के रूप में माना जाता है) ध्रुवीकरण प्रमाण के माध्यम से $M$ को पूर्ण रूप से निर्धारित करता है; वास्तव में, यह सत्य होगा यदि हम $M$ को गैर-हर्मिटियन होने की अनुमति दें। (यद्यपि, यदि हम अदिशों के क्षेत्र को वास्तविक संख्याओं तक सीमित रखते हैं, तो रेले भागफल केवल $M$ के सममित आव्यूह भाग को निर्धारित करता है।)

हर्मिटियन M के लिए सीमाएं

जिस प्रकार से परिचय में बताया गया है, किसी भी सदिश x के लिए, $R(M,x)\in \left[\lambda _{\min },\lambda _{\max }\right]$ है, जहां $\lambda _{\min },\lambda _{\max }$ क्रमशः $M$ के सबसे छोटे और सबसे बड़े आइगेन मान ​​​​हैं। यह देखने के तत्पश्चात, रेले भागफल $M$ के आइगेन मान ​​​​का भारित औसत है:

$$R(M,x)={x^{*}Mx \over x^{*}x}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}y_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}}$$

जहाँ $(\lambda _{i},v_{i})$ ऑर्थोनॉर्मलाइजेशन के पश्चात $i$-th आइगेनपेअर है और $y_{i}=v_{i}^{*}x$ आइगेन आधार में x का $i$th निर्देशांक है। इसके पश्चात यह सत्यापित करना सरल हो जाता है कि सीमा संबंधित आइजनवेक्टर $v_{\min },v_{\max }$ पर प्राप्त हो गए हैं।

तथ्य यह है कि भागफल आइगेन मान ​​​​का भारित औसत है, इसका उपयोग द्वितीय, तृतीय, ... सबसे बड़े आइगेन मान ​​​​की पहचान करने के लिए किया जा सकता है। मान लीजिए $\lambda _{\max }=\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \cdots \geq \lambda _{n}=\lambda _{\min }$ अवरोही क्रम में आइगेन मान ​​​​हैं। यदि $n=2$ और $x$ को $v_{1}$ के ओर्थोगोनल होने के लिए बाध्य किया गया है, तो उस स्थिति में $y_{1}=v_{1}^{*}x=0$, तब $R(M,x)$