लॉगिट

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0 से 1 के डोमेन में लॉगिट (x) का प्लॉट, जहां लघुगणक का आधार ई है।

आंकड़ों में, लॉगिट (/ˈloʊdʒɪt/ LOH-jit) फंक्शन मानक लॉजिस्टिक वितरण से जुड़ा क्वांटाइल(बिभाजक) फंक्शन है। डेटा विश्लेषण और मशीन लर्निंग में इसके कई उपयोग हैं, विशेष रूप से इसका उपयोग डेटा परिवर्तन (सांख्यिकी) में है |

गणितीय रूप से लॉगिट, लॉजिस्टिक फंक्शन$\sigma (x)=1/(1+e^{-x})$ का व्युत्क्रम फंक्शन है, इसलिए लॉगिट को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$\operatorname {logit} p=\sigma ^{-1}(p)=\ln {\frac {p}{1-p}}\quad {\text{for}}\quad p\in (0,1)$.

इस वजह से, लॉगिट को लॉग-ऑड्स भी कहा जाता है क्योंकि यह ऑड्स के लघुगणक ${\frac {p}{1-p}}$ के बराबर है जहां p एक प्रायिकता है। इस प्रकार लॉगिट एक प्रकार का फंक्शन है जो $(0,1)$वास्तविक संख्याओं में $(-\infty ,+\infty )$, प्रोबिट फंक्शन के समान संभावित मानों को मैप करता है।

परिभाषा

यदि p एक संभावना है, तो p/(1 − p) संगत संभावना है; लॉगिट का लघुगणक ऑड्स का लघुगणक है, अर्थात:

$\operatorname {logit} (p)=\ln \left({\frac {p}{1-p}}\right)=\ln(p)-\ln(1-p)=-\ln \left({\frac {1}{p}}-1\right)=2\operatorname {atanh} (2p-1)$

वर्तमान लेख में प्रयुक्त लघुगणक फंक्शन का आधार बहुत कम महत्व रखता है,जब तक यह 1 से अधिक है, लेकिन आधार ई के साथ प्राकृतिक लघुगणक e सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। आधार का चयन मान के लिए लघुगणकीय इकाई के चयन के सामान होता है: इसीप्रकार से आधार 2 एक शैनन (इकाई), आधारe एक "नैट (इकाई)", और आधार 10 से एक हार्टले (इकाई) के सामान होता है ; इन इकाइयों का उपयोग विशेष रूप से सूचना-सैद्धांतिक व्याख्याओं के रूप में किया जाता है। इनआधार के प्रत्येक विकल्प के लिए लॉगिट फंक्शन ऋणात्मक और धनात्मक अनंत के बीच के मान को प्राप्त करता है।

किसी भी संख्या $\alpha$ का लॉजिस्टिक फंक्शन व्युत्क्रम-logit द्वारा दिया गया है

$\operatorname {logit} ^{-1}(\alpha )=\operatorname {logistic} (\alpha )={\frac {1}{1+\operatorname {exp} (-\alpha )}}={\frac {\operatorname {exp} (\alpha )}{\operatorname {exp} (\alpha )+1}}={\frac {\tanh({\frac {\alpha }{2}})+1}{2}}$

दो संभावनाओं के लघुगणक के बीच का अंतर विषम अनुपात (R) का लघुगणक है, इस प्रकार केवल जोड़कर और घटाकर विषम अनुपातों का सही संयोजन लिखने के लिए एक संक्षिप्त लिपि प्रदान की जाती है:

$\operatorname {ln} (R)=\ln \left({\frac {{p_{1}}/(1-p_{1})}{{p_{2}}/(1-p_{2})}}\right)=\ln \left({\frac {p_{1}}{1-p_{1}}}\right)-\ln \left({\frac {p_{2}}{1-p_{2}}}\right)=\operatorname {logit} (p_{1})-\operatorname {logit} (p_{2})\,.$

इतिहास

रैखिक प्रतिगमन विधियों को ऐसे डोमेन में अनुकूलित करने के कई प्रयास किए गए हैं जहां आउटपुट एक संभाव्यता मान है, $(0,1)$, किसी वास्तविक संख्या के बजाय $(-\infty ,+\infty )$. कई मामलों में, ऐसे प्रयासों ने सीमा का मानचित्रण करके इस समस्या के मॉडलिंग पर ध्यान केंद्रित किया है $(0,1)$ को $(-\infty ,+\infty )$ और फिर इन परिवर्तित मूल्यों पर रैखिक प्रतिगमन चलाना। 1934 में चेस्टर इटनर ब्लिस ने इस मैपिंग को करने के लिए संचयी सामान्य वितरण फंक्शन का उपयोग किया और अपने मॉडल प्रोबिट को संभाव्यता इकाई का संक्षिप्त नाम कहा;। हालाँकि, यह कम्प्यूटेशनल रूप से अधिक महंगा है। 1944 में, जोसेफ बर्कसन ने ऑड्स के लॉग का उपयोग किया और इस फंक्शन को लॉगिट कहा, प्रोबिट के सादृश्य के बाद 'लॉजिस्टिक यूनिट' का संक्षिप्त नाम:

I use this term [logit] for $\ln p/q$ following Bliss, who called the analogous function which is linear on $x$ for the normal curve "probit."

लॉग ऑड्स का उपयोग चार्ल्स सैंडर्स पीयर्स (19वीं सदी के अंत में) द्वारा बड़े पैमाने पर किया गया था। 1949 में जी. ए. बरनार्ड ने आमतौर पर इस्तेमाल होने वाला शब्द लॉग-ऑड्स गढ़ा; किसी घटना का लॉग-ऑड्स घटना की संभावना का लॉगिट है। बरनार्ड ने लॉग-ऑड्स के एक अमूर्त रूप के रूप में लॉड्स शब्द भी गढ़ा, लेकिन सुझाव दिया कि व्यवहार में 'ऑड्स' शब्द का सामान्य रूप से उपयोग किया जाना चाहिए, क्योंकि यह रोजमर्रा की जिंदगी में अधिक परिचित है।

उपयोग और गुण

• संभार तन्त्र परावर्तन में लॉगिट एक सामान्यीकृत रैखिक मॉडल में एक लिंक फंक्शन का एक विशेष मामला है: यह बर्नौली वितरण के लिए कैनोनिकल लिंक फंक्शन है।
• लॉगिट फंक्शन बाइनरी एन्ट्रॉपी फंक्शन के व्युत्पन्न का नकारात्मक है।
• लॉगिट माप के लिए संभाव्य