लॉगिट

This article is about the binary logit function. For other types of logit, see discrete choice. For the basic regression technique that uses the logit function, see logistic regression. For standard magnitudes combined by multiplication, see logit (unit).

Not to be confused with log probability.

0 से 1 के डोमेन में लॉगिट (x) का प्लॉट, जहां लघुगणक का आधार ई है।

आंकड़ों में, लॉगिट (/ˈloʊdʒɪt/ LOH-jit) फ़ंक्शन मानक लॉजिस्टिक वितरण से जुड़ा मात्रात्मक कार्य है। डेटा विश्लेषण और मशीन लर्निंग में इसके कई उपयोग हैं, विशेष रूप से डेटा परिवर्तन (सांख्यिकी) में।

गणितीय रूप से, लॉगिट लॉजिस्टिक फ़ंक्शन का व्युत्क्रम फ़ंक्शन है $\sigma (x)=1/(1+e^{-x})$, इसलिए लॉगिट को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$\operatorname {logit} p=\sigma ^{-1}(p)=\ln {\frac {p}{1-p}}\quad {\text{for}}\quad p\in (0,1)$.

इस वजह से, लॉगिट को लॉग-कठिनाइयाँ भी कहा जाता है क्योंकि यह ऑड्स के लघुगणक के बराबर है ${\frac {p}{1-p}}$ कहाँ p एक संभावना है. इस प्रकार, लॉगिट एक प्रकार का फ़ंक्शन है जो संभाव्यता मानों को मैप करता है $(0,1)$ वास्तविक संख्या में $(-\infty ,+\infty )$, probit के समान।

परिभाषा

अगर p तो एक संभावना है p/(1 − p) संगत संभावना है; logitसंभावना का गुणांक बाधाओं का लघुगणक है, अर्थात:

$\operatorname {logit} (p)=\ln \left({\frac {p}{1-p}}\right)=\ln(p)-\ln(1-p)=-\ln \left({\frac {1}{p}}-1\right)=2\operatorname {atanh} (2p-1)$

उपयोग किए गए लघुगणक फ़ंक्शन का आधार वर्तमान लेख में बहुत कम महत्व रखता है, जब तक कि यह 1 से अधिक है, लेकिन आधार के साथ प्राकृतिक लघुगणक e वह है जो सबसे अधिक बार उपयोग किया जाता है। आधार का चयन मान के लिए लघुगणकीय इकाई के चयन से मेल खाता है: आधार 2 एक शैनन (इकाई) से मेल खाता है, आधारe एक "नैट (इकाई)" के लिए, और आधार 10 से एक हार्टले (इकाई); इन इकाइयों का उपयोग विशेष रूप से सूचना-सैद्धांतिक व्याख्याओं में किया जाता है। आधार के प्रत्येक विकल्प के लिए, लॉगिट फ़ंक्शन नकारात्मक और सकारात्मक अनंत के बीच मान लेता है।

लॉजिस्टिक फ़ंक्शन|किसी भी संख्या का "लॉजिस्टिक" फ़ंक्शन $\alpha$ व्युत्क्रम द्वारा दिया गया है-logit:

$\operatorname {logit} ^{-1}(\alpha )=\operatorname {logistic} (\alpha )={\frac {1}{1+\operatorname {exp} (-\alpha )}}={\frac {\operatorname {exp} (\alpha )}{\operatorname {exp} (\alpha )+1}}={\frac {\tanh({\frac {\alpha }{2}})+1}{2}}$

के बीच का अंतर logitदो संभावनाओं का अंतर अनुपात का लघुगणक है (R), इस प्रकार विषम अनुपात योगात्मक फ़ंक्शन का सही संयोजन लिखने के लिए एक आशुलिपि प्रदान करता है:

$\operatorname {ln} (R)=\ln \left({\frac {{p_{1}}/(1-p_{1})}{{p_{2}}/(1-p_{2})}}\right)=\ln \left({\frac {p_{1}}{1-p_{1}}}\right)-\ln \left({\frac {p_{2}}{1-p_{2}}}\right)=\operatorname {logit} (p_{1})-\operatorname {logit} (p_{2})\,.$

इतिहास

रैखिक प्रतिगमन विधियों को ऐसे डोमेन में अनुकूलित करने के कई प्रयास किए गए हैं जहां आउटपुट एक संभाव्यता मान है, $(0,1)$, किसी वास्तविक संख्या के बजाय $(-\infty ,+\infty )$. कई मामलों में, ऐसे प्रयासों ने सीमा का मानचित्रण करके इस समस्या के मॉडलिंग पर ध्यान केंद्रित किया है $(0,1)$ को $(-\infty ,+\infty )$ और फिर इन परिवर्तित मूल्यों पर रैखिक प्रतिगमन चलाना। 1934 में चेस्टर इटनर ब्लिस ने इस मैपिंग को करने के लिए संचयी सामान्य वितरण फ़ंक्शन का उपयोग किया और अपने मॉडल प्रोबिट को संभाव्यता इकाई का संक्षिप्त नाम कहा;। हालाँकि, यह कम्प्यूटेशनल रूप से अधिक महंगा है। 1944 में, जोसेफ बर्कसन ने ऑड्स के लॉग का उपयोग किया और इस फ़ंक्शन को लॉगिट कहा, प्रोबिट के सादृश्य के बाद 'लॉजिस्टिक यूनिट' का संक्षिप्त नाम:

I use this term [logit] for $\ln p/q$ following Bliss, who called the analogous function which is linear on $x$ for the normal curve "probit."

लॉग ऑड्स का उपयोग चार्ल्स सैंडर्स पीयर्स (19वीं सदी के अंत में) द्वारा बड़े पैमाने पर किया गया था। 1949 में जी. ए. बरनार्ड ने आमतौर पर इस्तेमाल होने वाला शब्द लॉग-ऑड्स गढ़ा; किसी घटना का लॉग-ऑड्स घटना की संभावना का लॉगिट है। बरनार्ड ने लॉग-ऑड्स के एक अमूर्त रूप के रूप में लॉड्स शब्द भी गढ़ा, लेकिन सुझाव दिया कि व्यवहार में 'ऑड्स' शब्द का सामान्य रूप से उपयोग किया जाना चाहिए, क्योंकि यह रोजमर्रा की जिंदग�