अनंतस्पर्शी

For other uses, see अनंतस्पर्शी (disambiguation).

"Asymptotic" redirects here. Not to be confused with Asymptomatic.

File:Asymptotic curve hvo1.svg

एक क्षैतिज (y = 0), ऊर्ध्वाधर (x = 0), और तिरछी अनंतस्पर्शी (बैंगनी रेखा, y = 2x द्वारा दी गई) के साथ एक फ़ंक्शन का ग्राफ़।

File:Asymptote02 vectorial.svg

एक वक्र अनंतस्पर्शी को अनंत बार प्रतिच्छेद करता है।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, एक स्पर्शोन्मुख (/ˈæsɪmptoʊt/) एक वक्र की एक रेखा है जैसे कि वक्र और रेखा के बीच की दूरी एक या दोनों x या y निर्देशांक के रूप में शून्य तक पहुंचती है एक फ़ंक्शन की सीमा # अनंत पर सीमा। प्रक्षेपी ज्यामिति और संबंधित संदर्भों में, एक वक्र का स्पर्शोन्मुख एक रेखा है जो अनंत पर एक बिंदु पर वक्र के स्पर्शरेखा है।

स्पर्शोन्मुख शब्द ग्रीक भाषा ἀσύμπτωτος (asumptōtos) से लिया गया है, जिसका अर्थ है एक साथ नहीं गिरना, ἀ प्रिवेटिव अल्फा|प्राइव से। + σύν एक साथ + πτωτ-ός गिरा हुआ । यह शब्द पेर्गा के एपोलोनियस द्वारा शंक्वाकार वर्गों पर अपने काम में पेश किया गया था, लेकिन इसके आधुनिक अर्थ के विपरीत, उन्होंने इसका उपयोग किसी भी रेखा के लिए किया था जो दिए गए वक्र को नहीं काटती है। स्पर्शोन्मुख तीन प्रकार के होते हैं: क्षैतिज, ऊर्ध्वाधर और तिरछा। किसी फ़ंक्शन के फ़ंक्शन के ग्राफ़ द्वारा दिए गए वक्रों के लिए (गणित) y = ƒ(x), क्षैतिज स्पर्शोन्मुख रेखाएँ क्षैतिज रेखाएँ हैं जो फ़ंक्शन के ग्राफ़ तक पहुँचती हैं जैसे x झुकता है +∞ or −∞. लंबवत स्पर्शोन्मुख ऊर्ध्वाधर रेखाएँ हैं जिनके पास फ़ंक्शन बिना किसी सीमा के बढ़ता है। एक तिर्यक स्पर्शोन्मुख में एक ढलान है जो गैर-शून्य लेकिन परिमित है, जैसे कि फ़ंक्शन का ग्राफ एक्स के रूप में इसके पास जाता है +∞ or −∞.

अधिक आम तौर पर, एक वक्र दूसरे का वक्रीय अनंतस्पर्शी होता है (एक रेखीय स्पर्शोन्मुख के विपरीत) यदि दो वक्रों के बीच की दूरी शून्य हो जाती है क्योंकि वे अनंत की ओर जाते हैं, हालांकि स्वयं द्वारा स्पर्शोन्मुख शब्द आमतौर पर रैखिक स्पर्शोन्मुख के लिए आरक्षित होता है।

स्पर्शोन्मुख बड़े में घटता के व्यवहार के बारे में जानकारी देते हैं, और किसी फ़ंक्शन के स्पर्शोन्मुख का निर्धारण उसके ग्राफ को स्केच करने में एक महत्वपूर्ण कदम है। कार्यों के स्पर्शोन्मुख का अध्ययन, व्यापक अर्थों में समझा जाता है, स्पर्शोन्मुख विश्लेषण के विषय का एक हिस्सा बनता है।

परिचय

File:Hyperbola one over x.svg

$f(x)={\tfrac {1}{x}}$ कार्तीय निर्देशांक पर ग्राफ। एक्स और वाई-अक्ष स्पर्शोन्मुख हैं।

यह विचार कि एक वक्र मनमाने ढंग से एक रेखा के करीब आ सकता है, वास्तव में वही नहीं बन सकता है, ऐसा लग सकता है कि यह रोजमर्रा के अनुभव का मुकाबला करता है। कागज के एक टुकड़े पर निशान के रूप में या कंप्यूटर स्क्रीन पर पिक्सेल के रूप में एक रेखा और एक वक्र का प्रतिनिधित्व एक सकारात्मक चौड़ाई है। इसलिए यदि उन्हें काफी दूर तक बढ़ाया जाए तो वे विलीन होते प्रतीत होंगे, कम से कम जहाँ तक आँख देख सकती है। लेकिन ये संबंधित गणितीय संस्थाओं के भौतिक निरूपण हैं; रेखा और वक्र आदर्श अवधारणाएँ हैं जिनकी चौड़ाई 0 है (देखें रेखा (ज्यामिति))। इसलिए, स्पर्शोन्मुख के विचार को समझने के लिए अनुभव के बजाय कारण के प्रयास की आवश्यकता होती है।

फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर विचार करें $f(x)={\frac {1}{x}}$ इस खंड में दिखाया गया है। वक्र पर बिंदुओं के निर्देशांक रूप के होते हैं $\left(x,{\frac {1}{x}}\right)$ जहाँ x 0 के अलावा कोई संख्या है। उदाहरण के लिए, ग्राफ़ में बिंदु (1, 1), (2, 0.5), (5, 0.2), (10, 0.1), ... के मान हैं। $x$ बड़ा और बड़ा होता जाता है, कहते हैं 100, 1,000, 10,000 ..., उन्हें दृष्टांत के दाईं ओर दूर रखते हुए, के संगत मान $y$, .01, .001, .0001, ..., दिखाए गए पैमाने के सापेक्ष अत्यल्प हो जाते हैं। लेकिन कितना भी बड़ा क्यों न हो $x$ हो जाता है, इसका पारस्परिक ${\frac {1}{x}}$ कभी भी 0 नहीं होता है, इसलिए वक्र वास्तव में कभी भी x-अक्ष को स्पर्श नहीं करता है। इसी प्रकार, के मूल्यों के रूप में $x$ छोटे और छोटे हो जाते हैं, कहते हैं .01, .001, .0001, ..., दिखाए गए पैमाने के सापेक्ष उन्हें अत्यल्प बनाते हुए, के संगत मान $y$, 100, 1,000, 10,000 ..., बड़ा और बड़ा होता जाता है। इसलिए वक्र आगे और आगे ऊपर की ओर बढ़ता है क्योंकि यह y-अक्ष के करीब और करीब आता है। इस प्रकार, x और y-अक्ष दोनों ही वक्र की अनन्तस्पर्शी रेखाएँ हैं। ये विचार गणित में एक फलन की सीमा की अवधारणा के आधार का हिस्सा हैं, और इस संबंध को नीचे पूरी तरह से समझाया गया है।

कार्यों के स्पर्शोन्मुख

गणना के अध्ययन में सबसे अधिक सामना किए जाने वाले स्पर्शोन्मुख रूप के वक्र होते हैं y = ƒ(x). इनकी गणना सीमा (गणित) का उपयोग करके की जा सकती है और उनके अभिविन्यास के आधार पर क्षैतिज, ऊर्ध्वाधर और तिरछी स्पर्शोन्मुख में वर्गीकृत की जा सकती है। क्षैतिज स्पर्शोन्मुख रेखाएँ क्षैतिज रेखाएँ हैं जो फ़ंक्शन के ग्राफ़ तक पहुँचती हैं जैसे x +∞ या -∞ की ओर जाता है। जैसा कि नाम से संकेत मिलता है कि वे एक्स-अक्ष के समानांतर हैं। लंबवत स्पर्शोन्मुख ऊर्ध्वाधर रेखाएँ हैं (x-अक्ष के लंबवत) जिसके पास फ़ंक्शन बिना किसी सीमा के बढ़ता है। तिर्यक स्पर्शोन्मुख विकर्ण रेखाएँ हैं जैसे कि वक्र और रेखा के बीच का अंतर 0 तक पहुँचता है क्योंकि x +∞ या -∞ की ओर झुकता है।

लंबवत स्पर्शोन्मुख

रेखा x = a फ़ंक्शन के ग्राफ़ का एक लंबवत स्पर्शोन्मुख है y = ƒ(x) यदि निम्न में से कम से कम एक कथन सत्य है:

1. $\lim _{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty ,$
2. $\lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty ,$

कहाँ $\lim _{x\to a^{-}}$ वह सीमा है जब x बाईं ओर से मान a तक पहुंचता है (कम मानों से), और $\lim _{x\to a^{+}}$ वह सीमा है जब x दाईं ओर से a की ओर अग्रसर होता है।

उदाहरण के लिए, यदि ƒ(x) = x/(x-1), अंश 1 की ओर अग्रसर होता है और हर 0 की ओर अग्रसर होता है, जब x 1 की ओर अग्रसर होता है।

$\lim _{x\to 1^{+}}{\frac {x}{x-1}}=+\infty$

$\lim _{x\to 1^{-}}{\frac {x}{x-1}}=-\infty$

और वक्र में एक ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख x = 1 है।

फ़ंक्शन ƒ(x) को a पर परिभाषित किया जा सकता है या नहीं भी किया जा सकता है, और बिंदु x = a पर इसका सटीक मान स्पर्शोन्मुख को प्रभावित नहीं करता है। उदाहरण के लिए, समारोह के लिए

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}&{\text{if }}x>0,\\5&{\text{if }}x\leq 0.\end{cases}}$

+∞ की सीमा है x → 0⁺, ƒ(x) में लंबवत स्पर्शोन्मुख है x = 0, भले ही ƒ(0) = 5। इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ वर्टिकल एसिम्प्टोट को एक बार (0, 5) पर काटता है। एक फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए एक से अधिक बिंदुओं में एक ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख (या ऊर्ध्वाधर रेखा परीक्षण) को काटना असंभव है। इसके अलावा, यदि कोई फ़ंक्शन प्रत्येक बिंदु पर निरंतर कार्य करता है जहां इसे परिभाषित किया गया है, तो यह असंभव है कि इसका ग्राफ़ किसी ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख को प्रतिच्छेद करता है।

एक ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख का एक सामान्य उदाहरण एक बिंदु x पर एक परिमेय फलन का मामला है जैसे कि भाजक शून्य है और अंश गैर-शून्य है।

यदि किसी फ़ंक्शन में लंबवत स्पर्शोन्मुख है, तो यह जरूरी नहीं है कि फ़ंक्शन के व्युत्पन्न में एक ही स्थान पर लंबवत अनंतस्पर्शी हो। एक उदाहरण है

$f(x)={\tfrac {1}{x}}+\sin({\tfrac {1}{x}})\quad$ पर $\quad x=0$.

इस फ़ंक्शन में एक ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख है $x=0,$ क्योंकि

$\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=\lim _{x\to 0^{+}}\left({\tfrac {1}{x}}+\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right)=+\infty ,$

और

$\lim _{x\to 0^{-}}f(x)=\lim _{x\to 0^{-}}\left({\tfrac {1}{x}}+\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right)=-\infty$.

का व्युत्पन्न $f$ कार्य है

$f'(x)={\frac {-(\cos({\tfrac {1}{x}})+1)}{x^{2}}}$.

अंकों के क्रम के लिए

$x_{n}={\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)\pi }},\quad$ के लिए $\quad n=0,1,2,\ldots$

वह निकट आता है $x=0$ दोनों बाएँ और दाएँ से, मान $f'(x_{n})$ लगातार हैं $0$. इसलिए, दोनों की एकतरफा सीमाएं $f'$ पर $0$ न तो हो सकता है $+\infty$ और न $-\infty$. इस तरह $f'(x)$ पर कोई लंबवत अनंतस्पर्शी रेखा नहीं है $x=0$.

क्षैतिज स्पर्शोन्मुख

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स्पर्शरेखा फ़ंक्शन में दो अलग-अलग स्पर्शोन्मुख होते हैं

क्षैतिज स्पर्शोन्मुख रेखाएँ क्षैतिज रेखाएँ होती हैं जो फ़ंक्शन के ग्राफ़ तक पहुँचती हैं x → ±∞. क्षैतिज रेखा y = c फ़ंक्शन y = ƒ(x) का एक क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है यदि

$\lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)=c$ या $\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)=c$.

पहले मामले में, ƒ(x) में y = c स्पर्शोन्मुख के रूप में होता है जब x की ओर जाता है −∞, और दूसरे ƒ(x) में y = c स्पर्शोन्मुख के रूप में है क्योंकि x की प्रवृत्ति है +∞.

उदाहरण के लिए, आर्कटैंजेंट फ़ंक्शन संतुष्ट करता है

$\lim _{x\rightarrow -\infty }\arctan(x)=-{\frac {\pi }{2}}$ और $\lim _{x\rightarrow +\infty }\arctan(x)={\frac {\pi }{2}}.$

तो रेखा y = –π/2 चापस्पर्शज्या के लिए एक क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है जब x झुकता है –∞, और y = π/2 चापस्पर्शज्या के लिए एक क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है जब x झुकता है +∞.

कार्यों में किसी भी या दोनों तरफ क्षैतिज स्पर्शोन्मुखता का अभाव हो सकता है, या एक क्षैतिज स्पर्शोन्मुख हो सकता है जो दोनों दिशाओं में समान है। उदाहरण के लिए, समारोह ƒ(x) = 1/(x²+1) में y = 0 पर एक क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है जब x दोनों की ओर झुकता है −∞ और +∞ क्योंकि, क्रमशः,

$\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}=0.$

एक या दो क्षैतिज स्पर्शोन्मुख वाले अन्य सामान्य कार्यों में शामिल हैं x ↦ 1/x (जिसके ग्राफ के रूप में अतिशयोक्ति है), गाऊसी समारोह $x\mapsto \exp(-x^{2}),$ त्रुटि समारोह, और रसद समारोह।

तिर्यक स्पर्शोन्मुख

File:1-over-x-plus-x.svg

के ग्राफ में $f(x)=x+{\tfrac {1}{x}}$, y-अक्ष (x = 0) और रेखा y = x दोनों अनंतस्पर्शी हैं।

जब एक रेखीय अनंतस्पर्शी रेखा x- या y-अक्ष के समानांतर नहीं होती है, तो इसे तिर्यक अनंतस्पर्शी या तिर्यक स्पर्शोन्मुख कहा जाता है। एक फ़ंक्शन ƒ(x) सीधी रेखा के लिए स्पर्शोन्मुख है y = mx + n (एम ≠ 0) अगर

$\lim _{x\to +\infty }\left[f(x)-(mx+n)\right]=0\,{\mbox{ or }}\lim _{x\to -\infty }\left[f(x)-(mx+n)\right]=0.$

पहले मामले में लाइन y = mx + n ƒ(x) का तिरछा स्पर्शोन्मुख है जब x +∞ की ओर जाता है, और दूसरे मामले में रेखा y = mx + n ƒ(x) का तिर्यक स्पर्शोन्मुख है जब x -∞ की ओर जाता है।

एक उदाहरण ƒ(x) = x + 1/x है, जिसकी तिरछी स्पर्शरेखा y = x है (यानी m = 1, n = 0) जैसा कि सीमाओं में देखा गया है

$\lim _{x\to \pm \infty }\left[f(x)-x\right]$

$=\lim _{x\to \pm \infty }\left[\left(x+{\frac {1}{x}}\right)-x\right]$

$=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {1}{x}}=0.$

स्पर्शोन्मुखों की पहचान करने के लिए प्राथमिक तरीके

सीमा के स्पष्ट उपयोग के बिना कई प्राथमिक कार्यों के स्पर्शोन्मुख पाए जा सकते हैं (हालांकि ऐसी विधियों की व्युत्पत्ति आमतौर पर सीमा का उपयोग करती है)।

कार्यों के लिए तिरछे स्पर्शोन्मुख की सामान्य गणना

फलन f(x) के लिए तिर्यक अनंतस्पर्शी समीकरण y = mx + n द्वारा दिया जाएगा। m का मान पहले परिकलित किया जाता है और इसके द्वारा दिया जाता है

$m\;{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\lim _{x\rightarrow a}f(x)/x$

जहां ए या तो है $-\infty$ या $+\infty$ अध्ययन किए जा रहे मामले के आधार पर। दो मामलों को अलग-अलग व्यवहार करना अच्छा अभ्यास है। यदि यह सीमा मौजूद नहीं है तो उस दिशा में कोई तिरछी स्पर्शरेखा नहीं है।

m होने पर n के मान की गणना किसके द्वारा की जा सकती है

$n\;{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\lim _{x\rightarrow a}(f(x)-mx)$

जहां a वही मान होना चाहिए जो पहले इस्तेमाल किया गया था। यदि यह सीमा अस्तित्व में नहीं आती है तो उस दिशा में कोई तिरछी अनन्तस्पर्शी रेखा नहीं है, भले ही m को परिभाषित करने वाली सीमा मौजूद हो। अन्यथा y = mx + n ƒ(x) का तिरछा स्पर्शोन्मुख है क्योंकि x a की ओर जाता है।

उदाहरण के लिए, समारोह ƒ(x) = (2x² + 3x + 1)/x है

$m=\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)/x=\lim _{x\rightarrow +\infty }{\frac {2x^{2}+3x+1}{x^{2}}}=2$ और तब

$n=\lim _{x\rightarrow +\infty }(f(x)-mx)=\lim _{x\rightarrow +\infty }\left({\frac {2x^{2}+3x+1}{x}}-2x\right)=3$

ताकि y = 2x + 3 ƒ(x) का स्पर्शोन्मुख है जब x +∞ की ओर जाता है।

कार्यक्रम ƒ(x) = ln x है

$m=\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)/x=\lim _{x\rightarrow +\infty }{\frac {\ln x}{x}}=0$ और तब

$n=\lim _{x\rightarrow +\infty }(f(x)-mx)=\lim _{x\rightarrow +\infty }\ln x$, जो मौजूद नहीं है।

इसलिए {{nowrap|1=y = ln x}जब x +∞ की ओर प्रवृत्त होता है तो } के पास स्पर्शोन्मुख नहीं होता है।

तर्कसंगत कार्यों के लिए स्पर्शोन्मुख

एक परिमेय फलन में अधिक से अधिक एक क्षैतिज स्पर्शोन्मुख या तिरछा (तिरछा) स्पर्शोन्मुख होता है, और संभवतः कई ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख होते हैं।

अंश के बहुपद की डिग्री और भाजक की डिग्री निर्धारित करती है कि कोई क्षैतिज या तिरछी अनंतस्पर्शी है या नहीं। मामलों को नीचे सारणीबद्ध किया गया है, जहां deg(अंश) अंश की डिग्री है, और deg(भाजक) भाजक की डिग्री है।

The cases of horizontal and oblique asymptotes for rational functions

deg(numerator)−deg(denominator)	Asymptotes in general	Example	Asymptote for example
< 0	$y=0$	$f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}$	$y=0$
= 0	y = the ratio of leading coefficients	$f(x)={\frac {2x^{2}+7}{3x^{2}+x+12}}$	$y={\frac {2}{3}}$
= 1	y = the quotient of the Euclidean division of the numerator by the denominator	$f(x)={\frac {2x^{2}+3x+5}{x}}=2x+3+{\frac {5}{x}}$	$y=2x+3$
> 1	none	$f(x)={\frac {2x^{4}}{3x^{2}+1}}$	no linear asymptote, but a curvilinear asymptote exists

ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख केवल तभी होते हैं जब भाजक शून्य होता है (यदि अंश और भाजक दोनों शून्य हैं, तो शून्य की गुणकों की तुलना की जाती है)। उदाहरण के लिए, निम्न फ़ंक्शन में x = 0, और x = 1 पर ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख हैं, लेकिन x = 2 पर नहीं।

$f(x)={\frac {x^{2}-5x+6}{x^{3}-3x^{2}+2x}}={\frac {(x-2)(x-3)}{x(x-1)(x-2)}}$

तर्कसंगत कार्यों के तिरछे अनंतस्पर्शी

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काला: का ग्राफ $f(x)=(x^{2}+x+1)/(x+1)$. लाल: स्पर्शोन्मुख $y=x$. हरा: ग्राफ और इसके स्पर्शोन्मुख के बीच का अंतर $x=1,2,3,4,5,6$

जब एक परिमेय फलन के अंश की डिग्री हर से ठीक एक अधिक होती है, तो फलन में तिरछा (तिरछा) स्पर्शोन्मुख होता है। अनंतस्पर्शी अंश और हर के बहुपद लंबे विभाजन के बाद बहुपद शब्द है। यह घटना इसलिए होती है क्योंकि अंश को विभाजित करते समय एक रैखिक शब्द और शेषफल होगा। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन पर विचार करें

$f(x)={\frac {x^{2}+x+1}{x+1}}=x+{\frac {1}{x+1}}$

दाईं ओर दिखाया गया। जैसे-जैसे x का मान बढ़ता है, f स्पर्शोन्मुख y = x की ओर बढ़ता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि अन्य पद, 1/(x+1), 0 की ओर अग्रसर होता है।

यदि अंश की डिग्री हर की डिग्री से 1 से अधिक है, और भाजक अंश को विभाजित नहीं करता है, तो एक शून्येतर शेषफल होगा जो x बढ़ने पर शून्य हो जाता है, लेकिन भागफल रैखिक नहीं होगा, और समारोह में एक तिरछा स्पर्शोन्मुख नहीं है।

ज्ञात कार्यों का परिवर्तन

यदि किसी ज्ञात फ़ंक्शन में एक स्पर्शोन्मुख है (जैसे कि y=0 f(x)=e^x), तो इसके अनुवाद में भी एक स्पर्शोन्मुख है।

• अगर x=a f(x) का एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है, तो x=a+h f(x-h) का एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है
• अगर y=c f(x) का एक क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है, तो y=c+k f(x)+k का एक क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है

यदि किसी ज्ञात फ़ंक्शन में एक स्पर्शोन्मुख है, तो फ़ंक्शन के होमोथेटिक परिवर्तन में भी एक स्पर्शोन्मुख है।

• अगर y=ax+b f(x) का अनंतस्पर्शी है, तो y=cax+cb cf(x) का अनंतस्पर्शी है

उदाहरण के लिए, f(x)=e^x-1+2 में क्षैतिज अनंतस्पर्शी y=0+2=2 है, और कोई लंबवत या तिर्यक स्पर्शोन्मुख नहीं है।

सामान्य परिभाषा

File:Graph of sect csct.svg

(सेकंड (टी), कोसेक (टी)), या एक्स² + और² = (xy)², 2 क्षैतिज और 2 लंबवत अनंत स्पर्शी रेखाओं के साथ।

होने देना A : (a,b) → R² निर्देशांक A(t) = (x(t),y(t)) में पैरामीट्रिक वक्र समतल वक्र हो। मान लीजिए कि वक्र अनंत तक जाता है, वह है:

$\lim _{t\rightarrow b}(x^{2}(t)+y^{2}(t))=\infty .$

एक रेखा ℓ A की अनंतस्पर्शी है यदि बिंदु A(t) से ℓ तक की दूरी t → b के रूप में शून्य हो जाती है। परिभाषा से, केवल खुले वक्र जिनमें कुछ अनंत शाखाएँ होती हैं, में एक स्पर्शोन्मुख हो सकता है। किसी बंद वक्र में स्पर्शोन्मुख नहीं हो सकता।

उदाहरण के लिए, वक्र y = 1/x की ऊपरी दाहिनी शाखा को पैरामीट्रिक रूप से x = t, y = 1/t (जहाँ t > 0) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। सबसे पहले, x → ∞ को t → ∞ के रूप में और वक्र से x-अक्ष की दूरी 1/t है जो t → ∞ के रूप में 0 तक पहुंचता है। इसलिए, x-अक्ष वक्र की अनंतस्पर्शी है। इसके अलावा, y → ∞ दायें से t → 0 के रूप में, और वक्र और y-अक्ष के बीच की दूरी t है जो t → 0 के रूप में 0 तक पहुंचता है। इसलिए y-अक्ष भी एक स्पर्शोन्मुख है। इसी तरह के एक तर्क से पता चलता है कि वक्र की निचली बाईं शाखा में भी स्पर्शोन्मुख के समान दो रेखाएँ होती हैं।

हालांकि यहां की परिभाषा वक्र के पैरामीटराइजेशन का उपयोग करती है, एसिम्पटोट की धारणा पैरामीटराइजेशन पर निर्भर नहीं करती है। वास्तव में, यदि रेखा का समीकरण है $ax+by+c=0$ फिर बिंदु A(t) = (x(t),y(t)) से रेखा तक की दूरी इस प्रकार दी गई है

${\frac {|ax(t)+by(t)+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

अगर γ(t) पैरामीटराइजेशन का बदलाव है तो दूरी बन जाती है

${\frac {|ax(\gamma (t))+by(\gamma (t))+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

जो पिछली अभिव्यक्ति के साथ-साथ शून्य हो जाता है।

एक महत्वपूर्ण मामला तब होता है जब वक्र एक वास्तविक फ़ंक्शन के फ़ंक्शन का ग्राफ़ होता है (एक वास्तविक चर का फ़ंक्शन और वास्तविक मान लौटाता है)। फ़ंक्शन y = ƒ(x) का ग्राफ़ निर्देशांक (x,ƒ(x)) वाले समतल के बिंदुओं का समूह है। इसके लिए एक Parameterization है

$t\mapsto (t,f(t)).$

इस पैरामीटराइजेशन को खुले अंतराल (ए, बी) पर विचार किया जाना है, जहां ए -∞ हो सकता है और बी +∞ हो सकता है।

एक स्पर्शोन्मुख या तो ऊर्ध्वाधर या गैर-ऊर्ध्वाधर (तिरछा या क्षैतिज) हो सकता है। पहले मामले में इसका समीकरण x = c है, कुछ वास्तविक संख्या c के लिए। गैर-ऊर्ध्वाधर मामले में समीकरण होता है y = mx + n, जहां एम और $n$ वास्तविक संख्याएँ हैं। विशिष्ट उदाहरणों में तीनों प्रकार के स्पर्शोन्मुख एक ही समय में मौजूद हो सकते हैं। वक्रों के अनंतस्पर्शियों के विपरीत, जो कार्यों के ग्राफ हैं, एक सामान्य वक्र में दो से अधिक गैर-ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख हो सकते हैं, और इसके ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख को एक से अधिक बार पार कर सकते हैं।

वक्रीय स्पर्शोन्मुख

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x²+2x+3 (x³+2x²+3x+4)/x

होने देना A : (a,b) → R² एक पैरामीट्रिक समतल वक्र हो, निर्देशांक A(t) = (x(t),y(t)) में हो, और B दूसरा (अपैरामीटरीकृत) वक्र हो। मान लीजिए, पहले की तरह, वक्र A अनंत की ओर जाता है। वक्र B, A का एक वक्रीय स्पर्शोन्मुख है यदि बिंदु A(t) से B पर एक बिंदु तक की सबसे छोटी दूरी t → b के रूप में शून्य हो जाती है। कभी-कभी बी को केवल ए के अनंतस्पर्शी के रूप में संदर्भित किया जाता है, जब रैखिक स्पर्शोन्मुख के साथ भ्रम का कोई खतरा नहीं होता है।

उदाहरण के लिए, समारोह

$y={\frac {x^{3}+2x^{2}+3x+4}{x}}$

एक वक्रीय स्पर्शोन्मुख है y = x² + 2x + 3, जिसे एक परवलयिक स्पर्शोन्मुख के रूप में जाना जाता है क्योंकि यह एक सीधी रेखा के बजाय एक परवलय है।

स्पर्शोन्मुख और वक्र रेखाचित्र

Asymptotes का उपयोग कर्व स्केचिंग की प्रक्रियाओं में किया जाता है। स्पर्शोन्मुख अनंत की ओर वक्र के व्यवहार को दिखाने के लिए एक गाइड लाइन के रूप में कार्य करता है। वक्र के बेहतर सन्निकटन प्राप्त करने के लिए, वक्रीय अनंतस्पर्शी चिन्हों का भी उपयोग किया गया है हालांकि स्पर्शोन्मुख वक्र शब्द को प्राथमिकता दी जाती है।

बीजगणितीय वक्र

File:Folium Of Descartes.svg

एक घन वक्र, Folium of descartes (ठोस) एक वास्तविक स्पर्शोन्मुख (धराशायी) के साथ।

affine अंतरिक्ष में एक बीजगणितीय वक्र के स्पर्शोन्मुख वे रेखाएँ हैं जो अनंत पर एक बिंदु के माध्यम से बीजगणितीय वक्र#प्रोजेक्टिव वक्र की स्पर्शरेखा हैं। उदाहरण के लिए, कोई इस तरीके से यूनिट हाइपरबोला#एसिम्पटोट्स की पहचान कर सकता है। स्पर्शोन्मुख को अक्सर वास्तविक वक्रों के लिए ही माना जाता है, हालांकि वे भी समझ में आता है जब एक मनमाने क्षेत्र (गणित) पर घटता के लिए इस तरह से परिभाषित किया जाता है।

बेज़ाउट प्रमेय के अनुसार, डिग्री n का एक समतल वक्र अपने स्पर्शोन्मुख को n−2 अन्य बिंदुओं पर सबसे अधिक काटता है, क्योंकि अनंत पर प्रतिच्छेदन कम से कम दो की बहुलता है। एक शंकु के लिए, रेखाओं की एक जोड़ी होती है जो शंकु को किसी भी जटिल बिंदु पर नहीं काटती है: ये शंकु के दो स्पर्शोन्मुख हैं।

एक समतल बीजगणितीय वक्र को P(x,y) = 0 के रूप के समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहां P डिग्री n का एक बहुपद है

$P(x,y)=P_{n}(x,y)+P_{n-1}(x,y)+\cdots +P_{1}(x,y)+P_{0}$

जहां पी_k डिग्री k का सजातीय बहुपद है। उच्चतम डिग्री अवधि पी के रैखिक कारकों का गायब होना_n वक्र के asymptotes को परिभाषित करता है: सेटिंग Q = P_n, अगर P_n(x, y) = (ax − by) Q_n−1(x, y), फिर लाइन

$Q'_{x}(b,a)x+Q'_{y}(b,a)y+P_{n-1}(b,a)=0$

एक स्पर्शोन्मुख है अगर $Q'_{x}(b,a)$ और $Q'_{y}(b,a)$ दोनों शून्य नहीं हैं। अगर $Q'_{x}(b,a)=Q'_{y}(b,a)=0$ और $P_{n-1}(b,a)\neq 0$, कोई स्पर्शोन्मुख नहीं है, लेकिन वक्र की एक शाखा है जो परवलय की शाखा की तरह दिखती है। ऐसी शाखा कहलाती हैparabolic branch, तब भी जब इसमें कोई परवलय न हो जो एक वक्रीय स्पर्शोन्मुख है। अगर $Q'_{x}(b,a)=Q'_{y}(b,a)=P_{n-1}(b,a)=0,$ वक्र में अनंत पर एक विलक्षण बिंदु होता है जिसमें कई स्पर्शोन्मुख या परवलयिक शाखाएँ हो सकती हैं।

जटिल संख्याओं पर, पी_n रैखिक कारकों में विभाजित होता है, जिनमें से प्रत्येक एक स्पर्शोन्मुख (या कई कारकों के लिए कई) को परिभाषित करता है। ओवर द रियल, पी_n उन कारकों में विभाजन जो रैखिक या द्विघात कारक हैं। केवल रैखिक कारक वक्र की अनंत (वास्तविक) शाखाओं के अनुरूप होते हैं, लेकिन यदि एक रैखिक कारक की बहुलता एक से अधिक है, तो वक्र में कई स्पर्शोन्मुख या परवलयिक शाखाएँ हो सकती हैं। यह भी हो सकता है कि इस तरह के एक बहु रैखिक कारक दो जटिल संयुग्मित शाखाओं से मेल खाता है, और वास्तविक वक्र की किसी भी अनंत शाखा से मेल नहीं खाता है। उदाहरण के लिए, वक्र x⁴ + y² - 1 = 0 का वर्ग के बाहर कोई वास्तविक बिंदु नहीं है $|x|\leq 1,|y|\leq 1$, लेकिन इसका उच्चतम क्रम शब्द बहुलता 4 के साथ रैखिक कारक x देता है, जिससे अद्वितीय स्पर्शोन्मुख x = 0 होता है।

स्पर्शोन्मुख शंकु

File:Conic section hyperbola.gif

हाइपरबोलस, एक समतल और उनके स्पर्शोन्मुख के साथ समान समवृत्तीय शंकु को काटकर प्राप्त किया गया।

अतिपरवलय

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

दो स्पर्शोन्मुख हैं

$y=\pm {\frac {b}{a}}x.$

इन दो रेखाओं के मिलन का समीकरण है

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0.$

इसी प्रकार, hyperboloid

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$

कहा जाता है कि स्पर्शोन्मुख शंकु है

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0.$

हाइपरबोलॉइड और शंकु के बीच की दूरी 0 तक पहुंचती है क्योंकि उत्पत्ति से दूरी अनंत तक पहुंचती है।

अधिक आम तौर पर, एक ऐसी सतह पर विचार करें जिसमें एक अंतर्निहित समीकरण हो $P_{d}(x,y,z)+P_{d-2}(x,y,z)+\cdots P_{0}=0,$ जहां $P_{i}$ डिग्री के सजातीय बहुपद हैं $i$ और $P_{d-1}=0$. फिर समीकरण $P_{d}(x,y,z)=0$ एक शंकु को परिभाषित करता है जो मूल पर केंद्रित है। इसे एक स्पर्शोन्मुख शंकु कहा जाता है, क्योंकि सतह के एक बिंदु के शंकु की दूरी शून्य हो जाती है जब सतह पर बिंदु अनंत हो जाता है।

यह भी देखें

• बिग ओ नोटेशन

संदर्भ

General references

• Kuptsov, L.P. (2001) [1994], "Asymptote", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

Specific references

बाहरी संबंध

• Asymptote at PlanetMath.
• Hyperboloid and Asymptotic Cone, string surface model, 1872 from the Science Museum