आदिम समीकरण

आदिम समीकरण गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरणों का एक ऐसा समूह है जिसका उपयोग वैश्विक वातावरण का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है और अधिकांश वैश्विक जलवायु मॉडल में उपयोग किया जाता है। इस प्रकार से इनमें संतुलन समीकरणों के तीन मुख्य समूह सम्मिलित हैं:

एक निरंतरता समीकरण: द्रव्यमान के संरक्षण का प्रतिनिधित्व करता है।
संवेग का संरक्षण: नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के रूप से मिलकर, जो इस धारणा के अंतर्गत गोले की सतह पर द्रव गतिक प्रवाह का वर्णन करता है कि ऊर्ध्वाधर गति क्षैतिज गति (हाइड्रोस्टैसिस) से बहुत छोटी है और द्रव परत की गहराई गोले की त्रिज्या की तुलना में छोटी है
ऊर्जा का संरक्षण: प्रणाली के समग्र तापमान को ताप स्रोतों और सिंक से संबंधित करना

लाप्लास के ज्वारीय समीकरण प्राप्त करने के लिए आदिम समीकरणों को रैखिककृत किया जा सकता है, आइगेन सदिश समस्या जिससे प्रवाह की अक्षांशीय संरचना का विश्लेषणात्मक हल निर्धारित किया जा सकता है।

सामान्यतः, आदिम समीकरणों के लगभग सभी रूप पांच चर u, v, ω, T, W, और समष्टि और समय पर उनके विकास से संबंधित होते हैं।

इस प्रकार से समीकरण सबसे पहले विल्हेम बर्कनेस द्वारा लिखे गए थे।^[1]

परिभाषाएँ

$u$ क्षेत्रीय और मध्याह्न वेग है (गोले के स्पर्शरेखा पूर्व-पश्चिम दिशा में वेग)।
$v$ मेरिडियनल वेग है (गोले के स्पर्शरेखा उत्तर-दक्षिण दिशा में वेग)।
$\omega$ समदाब रेखीय निर्देशांक में ऊर्ध्वाधर वेग है।
$T$ तापमान है।
$\Phi$ भू-क्षमता है।
$f$ कोरिओलिस बल के अनुरूप शब्द है, और $2\Omega \sin(\phi )$ के बराबर है, जहाँ $\Omega$ पृथ्वी की कोणीय घूर्णन दर ( $2\pi /24$ रेडियन प्रति नाक्षत्र घंटे) है, और $\phi$ अक्षांश है।
$R$ गैस स्थिरांक है।
$p$ दाब है।
$\rho$ घनत्व है।
$c_{p}$ स्थिर दाब वाली सतह पर विशिष्ट ऊष्मा है।
$J$ प्रति इकाई द्रव्यमान प्रति इकाई समय ऊष्मा प्रवाह है।
$W$ अवक्षेपणीय जल है।
$\Pi$ एक्सनर फलन है।
$\theta$ संभावित तापमान है।
$\eta$ निरपेक्ष भ्रमिलता है।

वे बल जो वायुमंडलीय गति का कारण बनते हैं

अतः वायुमंडलीय गति का कारण बनने वाले बलों में दाब प्रवणता बल, गुरुत्वाकर्षण और श्यान घर्षण सम्मिलित हैं। एक साथ मिलकर, वे ऐसे बल का निर्माण करते हैं जो हमारे वातावरण को गति प्रदान करती हैं।

इस प्रकार से दाब प्रवणता बल त्वरण का कारण बनता है जो वायु को उच्च दाब वाले क्षेत्रों से कम दाब वाले क्षेत्रों की ओर बलित करता है। गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

{\frac {f}{m}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {dp}{dx}}.

गुरुत्वाकर्षण बल वस्तुओं को प्रत्यक्षतः पृथ्वी के केंद्र की ओर लगभग 9.8 m/s² की गति से गति देता है।

इस प्रकार से श्यान घर्षण के कारण लगने वाले बल का अनुमान इस प्रकार लगाया जा सकता है:

f_{r}={f \over a}{1 \over \rho }\mu \left(\nabla \cdot (\mu \nabla v)+\nabla (\lambda \nabla \cdot v)\right).

अतः न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए, इन बलों (उपरोक्त समीकरणों में इन बलों के कारण त्वरण के रूप में संदर्भित) को गति के समीकरण का निर्माण करने के लिए सारांशित किया जा सकता है जो इस प्रणाली का वर्णन करता है। इस समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

{\frac {dv}{dt}}=-({\frac {1}{\rho }})\nabla p-g({\frac {r}{r}})+f_{r}

g=g_{e}.\,

इसलिए, समीकरणों की प्रणाली को पूर्ण करने और 6 समीकरण और 6 चर प्राप्त करने के लिए:

${\frac {dv}{dt}}=-({\frac {1}{\rho }})\nabla p-g({\frac {r}{r}})+({\frac {1}{\rho }})\left[\nabla \cdot (\mu \nabla v)+\nabla (\lambda \nabla \cdot v)\right]$
$c_{v}{\frac {dT}{dt}}+p{\frac {d\alpha }{dt}}=q+f$
${\frac {d\rho }{dt}}+\rho \nabla \cdot v=0$
$p=nT.$

जहां n मोल में संख्या घनत्व है, और T:=RT जूल/मोल में तापमान समतुल्य मान है।