ल्यपुनोव फलन

साधारण अंतर समीकरणों (ओडीई) के सिद्धांत में, ल्यपुनोव फ़ंक्शन, जिसका नाम अलेक्जेंडर ल्यपुनोव के नाम पर रखा गया है, अदिश कार्य हैं जिनका उपयोग ओडीई के संतुलन बिंदु की स्थिरता को साबित करने के लिए किया जा सकता है। ल्यपुनोव फ़ंक्शंस (जिन्हें स्थिरता के लिए ल्यपुनोव की दूसरी विधि भी कहा जाता है) गतिशील प्रणालियों और नियंत्रण सिद्धांत के स्थिरता सिद्धांत के लिए महत्वपूर्ण हैं। समान अवधारणा मार्कोव श्रृंखलाओं के सामान्य राज्य स्थान के सिद्धांत में दिखाई देती है, आमतौर पर फोस्टर-लायपुनोव फ़ंक्शन नाम के तहत।

ओडीई के कुछ वर्गों के लिए, ल्यपुनोव कार्यों का अस्तित्व स्थिरता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त है। ओडीई के लिए ल्यपुनोव कार्यों के निर्माण के लिए कोई सामान्य तकनीक नहीं है, हालांकि, फॉर्मूलेशन प्रकार के आधार पर, स्वायत्त मामलों में उनके सबसे सामान्य रूप का उपयोग करके सामान्य अंतर समीकरणों के लिए ल्यपुनोव कार्यों के निर्माण की व्यवस्थित विधि प्रोफेसर केम सिवेलेक द्वारा दी गई थी। हालाँकि, कई विशिष्ट मामलों में ल्यपुनोव फ़ंक्शंस का निर्माण ज्ञात है। उदाहरण के लिए, बहुत से व्यावहारिक गणितज्ञों के अनुसार, विघटनकारी जाइरोस्कोपिक प्रणाली के लिए ल्यपुनोव फ़ंक्शन का निर्माण नहीं किया जा सका। हालाँकि, उपरोक्त प्रकाशन में व्यक्त विधि का उपयोग करते हुए, ऐसी प्रणाली के लिए भी सी. सिवेलेक और ओ द्वारा संबंधित लेख के अनुसार ल्यपुनोव फ़ंक्शन का निर्माण किया जा सकता है। सिहानबेगेंडी. इसके अलावा, अवस्था वाले सिस्टम के लिए द्विघात फ़ंक्शन फ़ंक्शन पर्याप्त हैं; विशेष रैखिक मैट्रिक्स असमानता का समाधान रैखिक प्रणालियों के लिए ल्यपुनोव फ़ंक्शन प्रदान करता है, और संरक्षण कानून (भौतिकी) का उपयोग अक्सर भौतिक प्रणालियों के लिए ल्यपुनोव कार्यों के निर्माण के लिए किया जा सकता है।

परिभाषा

स्वायत्त गतिशील प्रणाली के लिए ल्यपुनोव फ़ंक्शन

{\begin{cases}g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}&\\{\dot {y}}=g(y)\end{cases}}

संतुलन बिंदु के साथ $y=0$ अदिश फलन है $V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ जो सतत है, उसका सतत प्रथम अवकलज है, उसके लिए पूर्णतः सकारात्मक है $y\neq 0$ , और जिसके लिए समय व्युत्पन्न है ${\dot {V}}=\nabla {V}\cdot g$ गैर सकारात्मक है (ये शर्तें मूल वाले कुछ क्षेत्र पर आवश्यक हैं)। वह (मजबूत) स्थिति $-\nabla {V}\cdot g$ के लिए पूर्णतः सकारात्मक है $y\neq 0$ कभी-कभी इस प्रकार कहा जाता है $-\nabla {V}\cdot g$ स्थानीय रूप से सकारात्मक निश्चित है, या $\nabla {V}\cdot g$ स्थानीय रूप से नकारात्मक निश्चित है.

परिभाषा में आने वाले शब्दों की आगे चर्चा

ल्यपुनोव फ़ंक्शन गतिशील प्रणालियों के संतुलन बिंदुओं के अध्ययन में उत्पन्न होते हैं। में $\mathbb {R} ^{n},$ मनमाना स्वायत्त गतिशील प्रणाली के रूप में लिखा जा सकता है

{\dot {y}}=g(y)

कुछ चिकनी के लिए $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}.$ संतुलन बिंदु बिंदु है $y^{*}$ ऐसा है कि $g\left(y^{*}\right)=0.$ संतुलन बिंदु दिया गया है, $y^{*},$ वहाँ सदैव समन्वयात्मक परिवर्तन विद्यमान रहता है $x=y-y^{*},$ ऐसा है कि:

{\begin{cases}{\dot {x}}={\dot {y}}=g(y)=g\left(x+y^{*}\right)=f(x)\\f(0)=0\end{cases}}

इस प्रकार, संतुलन बिंदुओं का अध्ययन करने में, यह मान लेना पर्याप्त है कि संतुलन बिंदु घटित होता है $0$ .

श्रृंखला नियम के अनुसार, किसी भी कार्य के लिए, $H:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,$ गतिशील प्रणाली के समाधान के साथ मूल्यांकन किए गए फ़ंक्शन का समय व्युत्पन्न है

{\dot {H}}={\frac {d}{dt}}H(x(t))={\frac {\partial H}{\partial x}}\cdot {\frac {dx}{dt}}=\nabla H\cdot {\dot {x}}=\nabla H\cdot f(x).

समारोह $H$ यदि दोनों हों तो इसे स्थानीय रूप से सकारात्मक-निश्चित फ़ंक्शन (गतिशील प्रणालियों के अर्थ में) के रूप में परिभाषित किया गया है $H(0)=0$ और मूल का पड़ोस है, ${\mathcal {B}}$ , ऐसा है कि: