डिराक समीकरण

कण भौतिकी में, डिराक समीकरण 1928 में ब्रिटिश भौतिक विज्ञानी पॉल डिराक द्वारा प्राप्त सापेक्षतावादी तरंग समीकरण है। अपने स्वतंत्र रूप या विद्युत चुम्बकीय अंतःक्रियाओं सहित, यह सभी प्रचक्रण-½ बड़े कणों का वर्णन करता है, जिन्हें "डायराक कण" कहा जाता है, जैसे इलेक्ट्रॉन और क्वार्क जिनके लिए समता (भौतिकी) समरूपता (भौतिकी) है। यह क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांतों और विशेष सापेक्षता के सिद्धांत दोनों के अनुरूप है, और क्वांटम यांत्रिकी के संदर्भ में विशेष सापेक्षता को पूरी तरह से ध्यान में रखने वाला पहला सिद्धांत था। इसे पूरी तरह से दृढ़ तरीके से हाइड्रोजन वर्णक्रमीय श्रृंखला की बारीक संरचना का लेखा-जोखा करके मान्य किया गया था।

समीकरण ने पदार्थ के एक नए रूप, प्रतिद्रव्य के अस्तित्व को भी दर्शाया, जो पहले से संदेहास्पद और अवलोकित था और जिसकी कई वर्षों बाद प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की गई थी। इसने वोल्फगैंग पाउली के संवृतिशास्त्र (कण भौतिकी) प्रचक्रण (भौतिकी) सिद्धांत में कई घटक तरंग फलन के आरम्भ के लिए सैद्धांतिक औचित्य भी प्रदान किया। डिराक सिद्धांत में तरंग फलन चार सम्मिश्र संख्याओं (बिस्पिनोर के रूप में जाना जाता है) के सदिश हैं, जिनमें से दो गैर-सापेक्षतावादी सीमा में पाउली समीकरण से मिलते जुलते हैं, श्रोडिंगर समीकरण के विपरीत जो केवल सम्मिश्र मान के तरंग फलन का वर्णन करता है। इसके अतिरिक्त, शून्य द्रव्यमान की सीमा में, डिराक समीकरण वेइल समीकरण में कम हो जाता है।

हालाँकि डिराक ने पहले तो अपने परिणामों के महत्व को पूरी तरह से नहीं समझा, क्वांटम यांत्रिकी और सापेक्षता के मिलन के परिणामस्वरूप प्रचक्रण की विस्तृत व्याख्या - और पोजीट्रान की अंतिम खोज - सैद्धांतिक भौतिकी की महान अभिभूत में से एक का प्रतिनिधित्व करती है। इस उपलब्धि को उनसे पहले आइजैक न्यूटन, जेम्स क्लर्क मैक्सवेल और अल्बर्ट आइंस्टीन के फलन के बराबर बताया गया है। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में, प्रचक्रण-1⁄2 कण के अनुरूप क्वांटम क्षेत्रों का वर्णन करने के लिए डिराक समीकरण की पुनर्व्याख्या की गई है।

डिराक समीकरण वेस्टमिन्स्टर ऐबी के पृष्ठ पर पट्टिका पर अंकित है। 13 नवंबर 1995 को अनावरण किया गया, यह पट्टिका पॉल डिराक के जीवन का स्मरण कराती है।

गणितीय सूत्रीकरण

क्षेत्र सिद्धांत के लिए अपने आधुनिक सूत्रीकरण में, डिराक समीकरण को डिराक स्पिनर क्षेत्र के संदर्भ में लिखा गया है $\psi$ सम्मिश्र सदिश समष्टि में मान ले रहा है जिसे ठोस रूप से $\mathbb {C} ^{4}$ वर्णित किया गया है, समतल स्पेसटाइम (मिन्कोवस्की समष्टि) $\mathbb {R} ^{1,3}$ पर परिभाषित किया गया है। इसकी अभिव्यक्ति में गामा आव्यूह और पैरामीटर $m>0$ भी सम्मिलित है जिसे द्रव्यमान के साथ-साथ अन्य भौतिक स्थिरांक के रूप में व्याख्या किया गया है।

क्षेत्र $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {C} ^{4}$के संदर्भ में, डिराक समीकरण तब है

डिराक समीकरण

$(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc)\psi (x)=0$

और प्राकृतिक इकाइयों में, फेनमैन स्लैश अंकन के साथ,

डिराक समीकरण (प्राकृतिक इकाइयाँ)

$(i\partial \!\!\!/-m)\psi (x)=0$

गामा आव्यूह चार $4\times 4$ सम्मिश्र आव्यूह (तत्व) का समुच्चय है (${\text{Mat}}_{4\times 4}(\mathbb {C} )$ के तत्व) जो परिभाषित विरोधी-कम्यूटेशन संबंधों को संतुष्ट करते हैं:

$$\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}$$

जहाँ $\eta ^{\mu \nu }$ मिन्कोव्स्की मीट्रिक तत्व और सूचकांक $\mu ,\nu$ 0,1,2 और 3 पर ज़ारी है। इन आव्यूह को प्रतिनिधित्व के विकल्प के अनुसार स्पष्ट रूप से महसूस किया जा सकता है। दो सामान्य विकल्प डिराक प्रतिनिधित्व हैं

$$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{i}\\-\sigma ^{i}&0\end{pmatrix}},$$

जहाँ $\sigma ^{i}$ पॉल के आव्यूह और चिरल प्रतिनिधित्व हैं: $\gamma ^{i}$ वही हैं, लेकिन

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}.$

स्लैश अंकन कॉम्पैक्ट अंकन है

$$A\!\!\!/:=\gamma ^{\mu }A_{\mu }$$

जहाँ $A$ चार-सदिश है (अधिकांशतः यह चार-सदिश अंतर ऑपरेटर $\partial _{\mu }$होता है), सूचकांक पर योग $\mu$ निहित है।

डिराक संलग्न और संलग्न समीकरण

स्पिनर क्षेत्र का डायराक संलग्न $\psi (x)$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$${\bar {\psi }}(x)=\psi (x)^{\dagger }\gamma ^{0}.$$

गामा आव्यूह की गुणों का उपयोग करना (जो सीधे तौर पर