डिराक समीकरण

Not to be confused with Dirac delta function.

{{Quantum mechanics|cTopic=Equations}कण भौतिकी में, डिराक समीकरण 1928 में ब्रिटिश भौतिक विज्ञानी पॉल डिराक द्वारा प्राप्त एक सापेक्षतावादी तरंग समीकरण है। इसके डिराक समीकरण #सहसंयोजक रूप और सापेक्षतावादी अपरिवर्तन, या डिराक समीकरण #पॉली सिद्धांत के साथ तुलना सहित, यह सभी स्पिन-½|स्पिन का वर्णन करता है।1⁄2 बड़े कण, जिन्हें डिराक कण कहा जाता है, जैसे इलेक्ट्रॉन और क्वार्क जिनके लिए समता (भौतिकी) एक समरूपता (भौतिकी) है। यह क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांतों और विशेष सापेक्षता के सिद्धांत दोनों के अनुरूप है, और क्वांटम यांत्रिकी के संदर्भ में विशेष सापेक्षता को पूरी तरह से ध्यान में रखने वाला पहला सिद्धांत था। इसे पूरी तरह से कठोर तरीके से हाइड्रोजन वर्णक्रमीय श्रृंखला की बारीक संरचना का लेखा-जोखा करके मान्य किया गया था।

समीकरण ने पदार्थ के एक नए रूप, antimatter के अस्तित्व को भी दर्शाया, जो पहले से संदेहास्पद और अवलोकित था और जिसकी कई वर्षों बाद प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की गई थी। इसने वोल्फगैंग पाउली के फेनोमेनोलॉजी (कण भौतिकी) स्पिन (भौतिकी) सिद्धांत में कई घटक तरंग कार्यों की शुरूआत के लिए एक सैद्धांतिक औचित्य भी प्रदान किया। डिराक सिद्धांत में तरंग फ़ंक्शन चार जटिल संख्याओं (बिस्पिनोर के रूप में जाना जाता है) के वैक्टर हैं, जिनमें से दो गैर-सापेक्षतावादी सीमा में पाउली समीकरण से मिलते जुलते हैं, श्रोडिंगर समीकरण के विपरीत जो केवल एक जटिल मूल्य के तरंग कार्यों का वर्णन करता है। इसके अलावा, शून्य द्रव्यमान की सीमा में, डिराक समीकरण वेइल समीकरण में कम हो जाता है।

हालाँकि डिराक ने पहले तो अपने परिणामों के महत्व को पूरी तरह से नहीं समझा, क्वांटम यांत्रिकी और सापेक्षता के मिलन के परिणामस्वरूप स्पिन की विस्तृत व्याख्या - और पोजीट्रान की अंतिम खोज - सैद्धांतिक भौतिकी की महान विजयों में से एक का प्रतिनिधित्व करती है। इस उपलब्धि को उनसे पहले आइजैक न्यूटन, जेम्स क्लर्क मैक्सवेल और अल्बर्ट आइंस्टीन के कार्यों के बराबर बताया गया है। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में, स्पिन के अनुरूप क्वांटम क्षेत्रों का वर्णन करने के लिए डिराक समीकरण की पुनर्व्याख्या की गई है-1⁄2 कण.

डिराक समीकरण वेस्टमिन्स्टर ऐबी के फर्श पर एक पट्टिका पर अंकित है। 13 नवंबर 1995 को अनावरण किया गया, यह पट्टिका पॉल डिराक के जीवन का स्मरण कराती है।

गणितीय सूत्रीकरण

क्षेत्र सिद्धांत के लिए अपने आधुनिक सूत्रीकरण में, डिराक समीकरण को डिराक स्पिनर क्षेत्र के संदर्भ में लिखा गया है $\psi$ एक जटिल वेक्टर स्थान में मान लेना, जिसे ठोस रूप से वर्णित किया गया है $\mathbb {C} ^{4}$, समतल स्पेसटाइम (मिन्कोवस्की स्थान) पर परिभाषित $\mathbb {R} ^{1,3}$. इसकी अभिव्यक्ति में गामा मैट्रिक्स और एक पैरामीटर भी शामिल है $m>0$ द्रव्यमान के साथ-साथ अन्य भौतिक स्थिरांकों के रूप में व्याख्या की गई।

एक क्षेत्र के संदर्भ में $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {C} ^{4}$, डिराक समीकरण तब है

Dirac equation

$(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc)\psi (x)=0$

और प्राकृतिक इकाइयों में, फेनमैन स्लैश नोटेशन के साथ,

Dirac equation (natural units)

$(i\partial \!\!\!/-m)\psi (x)=0$

गामा मैट्रिक्स चार का एक सेट है $4\times 4$ जटिल आव्यूह (तत्व) ${\text{Mat}}_{4\times 4}(\mathbb {C} )$) जो परिभाषित विरोधी कम्यूटेशन संबंधों को संतुष्ट करते हैं:

$$\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}$$

कहाँ $\eta ^{\mu \nu }$ मिन्कोव्स्की मीट्रिक तत्व और सूचकांक है $\mu ,\nu$ 0,1,2 और 3 पर चलाएँ। इन मैट्रिक्स को प्रतिनिधित्व के विकल्प के तहत स्पष्ट रूप से महसूस किया जा सकता है। दो सामान्य विकल्प डिराक प्रतिनिधित्व हैं

$$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{i}\\-\sigma ^{i}&0\end{pmatrix}},$$

कहाँ $\sigma ^{i}$ पॉल के मैट्रिक्स और चिरल प्रतिनिधित्व हैं: द $\gamma ^{i}$ वही हैं, लेकिन

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}.$

स्लैश नोटेशन एक कॉम्पैक्ट नोटेशन है

$$A\!\!\!/:=\gamma ^{\mu }A_{\mu }$$

कहाँ $A$ एक चार-वेक्टर है (अक्सर यह चार-वेक्टर अंतर ऑपरेटर होता है $\partial _{\mu }$). सूचकांक पर योग $\mu$ निहित है.

डिराक एडजॉइंट और एडजॉइंट समीकरण

स्पिनर क्षेत्र का डायराक जोड़ $\psi (x)$ परिभाषित किया जाता है

$$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}(x)=\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$