गम्बेल वितरण

Gumbel

Probability density function
Cumulative distribution function
Notation	${\text{Gumbel}}(\mu ,\beta )$
Parameters	$\mu ,$ location (real) $\beta >0,$ scale (real)
Support	$x\in \mathbb {R}$
PDF	${\frac {1}{\beta }}e^{-(z+e^{-z})}$ where $z={\frac {x-\mu }{\beta }}$
CDF	$e^{-e^{-(x-\mu )/\beta }}$
Mean	$\mu +\beta \gamma$ where $\gamma$ is the Euler–Mascheroni constant
Median	$\mu -\beta \ln(\ln 2)$
Mode	$\mu$
Variance	${\frac {\pi ^{2}}{6}}\beta ^{2}$
Skewness	${\frac {12{\sqrt {6}}\,\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\approx 1.14$
Ex. kurtosis	${\frac {12}{5}}$
Entropy	$\ln(\beta )+\gamma +1$
MGF	$\Gamma (1-\beta t)e^{\mu t}$
CF	$\Gamma (1-i\beta t)e^{i\mu t}$

संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, गम्बेल वितरण (जिसे टाइप-I सामान्यीकृत चरम मूल्य वितरण के रूप में भी जाना जाता है) का उपयोग विभिन्न वितरणों के कई नमूनों के अधिकतम (या न्यूनतम) वितरण को मॉडल करने के लिए किया जाता है।

इस वितरण का उपयोग किसी विशेष वर्ष में नदी के अधिकतम स्तर के वितरण को दर्शाने के लिए किया जा सकता है यदि पिछले दस वर्षों के लिए अधिकतम मूल्यों की सूची हो। यह भीषण भूकंप, बाढ़ या अन्य प्राकृतिक आपदा घटित होने की संभावना का पूर्वानुमान लगाने में उपयोगी है। मैक्सिमा के वितरण का प्रतिनिधित्व करने के लिए गम्बेल वितरण की संभावित प्रयोज्यता चरम मूल्य सिद्धांत से संबंधित है, जो इंगित करता है कि यदि अंतर्निहित नमूना डेटा का वितरण सामान्य या घातीय प्रकार का है तो यह उपयोगी होने की संभावना है। यह लेख अधिकतम मूल्य के वितरण को मॉडल करने के लिए गम्बेल वितरण का उपयोग करता है। न्यूनतम मान को मॉडल करने के लिए, मूल मानों के ऋणात्मक का उपयोग करें।

गम्बेल वितरण सामान्यीकृत चरम मूल्य वितरण (जिसे फिशर-टिपेट वितरण के रूप में भी जाना जाता है) का एक विशेष मामला है। इसे वेइबुल वितरण और डबल एक्सपोनेंशियल डिस्ट्रीब्यूशन के रूप में भी जाना जाता है (एक शब्द जिसे वैकल्पिक रूप से कभी-कभी लाप्लास वितरण को संदर्भित करने के लिए उपयोग किया जाता है)। यह गोम्पर्ट्ज़ वितरण से संबंधित है: जब इसका घनत्व पहले मूल के बारे में परिलक्षित होता है और फिर सकारात्मक आधी रेखा तक सीमित होता है, तो एक गोम्पर्ट्ज़ फ़ंक्शन प्राप्त होता है।

बहुपद लॉगिट मॉडल के अव्यक्त चर सूत्रीकरण में - असतत विकल्प सिद्धांत में आम - अव्यक्त चर की त्रुटियां एक गमबेल वितरण का पालन करती हैं। यह उपयोगी है क्योंकि दो गम्बेल-वितरित यादृच्छिक चर के अंतर में एक लॉजिस्टिक वितरण होता है।

गंबेल वितरण का नाम एमिल जूलियस गम्बेल (1891-1966) के नाम पर रखा गया है, जो वितरण का वर्णन करने वाले उनके मूल पत्रों पर आधारित है।

परिभाषाएँ

गम्बेल वितरण का संचयी वितरण कार्य है

$F(x;\mu ,\beta )=e^{-e^{-(x-\mu )/\beta }}.\,$

मानक गम्बल वितरण

मानक गम्बेल वितरण वह मामला है जहां $\mu =0$ और $\beta =1$ संचयी वितरण फ़ंक्शन के साथ

$F(x)=e^{-e^{(-x)}}\,$

और संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन

$f(x)=e^{-(x+e^{-x})}.$

इस स्थिति में बहुलक 0 है, माध्यिका है $-\ln(\ln(2))\approx 0.3665$, माध्य है $\gamma \approx 0.5772$ (यूलर-माशेरोनी स्थिरांक), और मानक विचलन है $\pi /{\sqrt {6}}\approx 1.2825.$ n > 1 के लिए संचयी , द्वारा दिया गया है

$\kappa _{n}=(n-1)!\zeta (n).$