वेइल बीजगणित

अमूर्त बीजगणित में, वेइल बीजगणित बहुपद गुणांक (एक चर में) के साथ अंतर ऑपरेटरों की अंगूठी (गणित) है, अर्थात् फॉर्म की अभिव्यक्तियां

$f_{m}(X)\partial _{X}^{m}+f_{m-1}(X)\partial _{X}^{m-1}+\cdots +f_{1}(X)\partial _{X}+f_{0}(X).$

अधिक सटीक रूप से, F को अंतर्निहित क्षेत्र (गणित) होने दें, और F[X] को एक चर, X में बहुपद रिंग होने दें, F में गुणांक के साथ। फिर प्रत्येक f_iएफ[एक्स] में स्थित है।

∂_XX के संबंध में व्युत्पन्न है। बीजगणित X और ∂ द्वारा उत्पन्न होता है_X.

वेइल बीजगणित एक साधारण रिंग का एक उदाहरण है जो एक विभाजन की अंगूठी के ऊपर मैट्रिक्स रिंग नहीं है। यह एक डोमेन (रिंग सिद्धांत) का एक गैर-अनुवांशिक उदाहरण और अयस्क विस्तार का एक उदाहरण भी है।

तत्व द्वारा उत्पन्न आदर्श (रिंग सिद्धांत) द्वारा, वेइल बीजगणित दो जनरेटर, एक्स और वाई पर मुक्त बीजगणित की भागफल अंगूठी के लिए आइसोमोर्फिक है।

$YX-XY=1~.$

वेइल बीजगणित, बीजगणित के अनंत परिवार में पहला है, जिसे वेइल बीजगणित के नाम से भी जाना जाता है। एन-वें वेइल बीजगणित, ए_n, n चरों में बहुपद गुणांक वाले विभेदक संचालकों का वलय है। यह एक्स द्वारा उत्पन्न होता है_iऔर ∂_Xi</उप>, i = 1, ..., n.

वेइल बीजगणित का नाम हरमन वेइल के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने उन्हें क्वांटम यांत्रिकी में वर्नर हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत का अध्ययन करने के लिए पेश किया था। यह हाइजेनबर्ग बीजगणित के सार्वभौमिक आवरण बीजगणित, हाइजेनबर्ग समूह के ली बीजगणित का एक भागफल वलय है, जो हेइजेनबर्ग बीजगणित के केंद्रीय तत्व (अर्थात् [एक्स, वाई]) को सार्वभौमिक आवरण बीजगणित की इकाई के बराबर सेट करके ( ऊपर 1 कहा गया है)।

वेइल बीजगणित को 'सिम्प्लेक्टिक क्लिफ़ोर्ड बीजगणित' के रूप में भी जाना जाता है। वेइल बीजगणित सहानुभूतिपूर्ण द्विरेखीय रूपों के लिए उसी संरचना का प्रतिनिधित्व करते हैं जो क्लिफोर्ड बीजगणित गैर-पतित सममित द्विरेखीय रूपों के लिए प्रस्तुत करते हैं।

जेनरेटर और संबंध

कोई बीजगणित ए का एक अमूर्त निर्माण दे सकता है_nजनरेटर और संबंधों के संदर्भ में. एक अमूर्त सदिश स्थल V (आयाम 2n का) से शुरू करें जो एक सहानुभूतिपूर्ण रूप ω से सुसज्जित है। वेइल बीजगणित W(V) को परिभाषित करें

$W(V):=T(V)/(\!(v\otimes u-u\otimes v-\omega (v,u),{\text{ for }}v,u\in V)\!),$

जहां T(V) V पर टेंसर बीजगणित और अंकन है $(\!()\!)$ का अर्थ है द्वारा उत्पन्न आदर्श (रिंग सिद्धांत)।

दूसरे शब्दों में, W(V) केवल संबंध के अधीन V द्वारा उत्पन्न बीजगणित है vu − uv = ω(v, u). फिर, W(V) A का समरूपी है_nडार्बौक्स आधार के चयन के माध्यम से ω.

परिमाणीकरण

बीजगणित W(V) सममित बीजगणित Sym(V) का एक परिमाणीकरण (भौतिकी) है। यदि V विशेषता शून्य के क्षेत्र पर है, तो W(V) स्वाभाविक रूप से सममित बीजगणित Sym(V) के अंतर्निहित वेक्टर स्थान के लिए आइसोमोर्फिक है जो एक विकृत उत्पाद से सुसज्जित है - जिसे ग्रोएनवॉल्ड-मोयल उत्पाद कहा जाता है (सममित बीजगणित को ध्यान में रखते हुए) V पर बहुपद फलन^∗, जहां चर वेक्टर स्पेस V को फैलाते हैं, और मोयल उत्पाद सूत्र में iħ को 1 से प्रतिस्थापित करते हैं)।

समरूपता Sym(V) से W(V) तक समरूपता मानचित्र द्वारा दी गई है

$a_{1}\cdots a_{n}\mapsto {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}a_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes a_{\sigma (n)}~.$

यदि कोई iħ को प्राथमिकता देता है और जटिल संख्याओं पर काम करता है, तो वह इसके बजाय X द्वारा उत्पन्न वेइल बीजगणित को परिभाषित कर सकता है।_i और मैं∂_Xi (क्वांटम यांत्रिकी उपयोग के अनुसार)।

इस प्रकार, वेइल बीजगणित सममित बीजगणित का एक परिमाणीकरण है, जो अनिवार्य रूप से मोयल उत्पाद के समान है (यदि बाद वाले के लिए बहुपद कार्यों तक सीमित है), लेकिन पूर्व जनरेटर और संबंधों के संदर्भ में है (अंतर ऑपरेटर माना जाता है) ) और बाद वाला विकृत गुणन के संदर्भ में है।

बाहरी बीजगणित के मामले में, वेइल एक के अनुरूप परिमाणीकरण क्लिफोर्ड बीजगणित है, जिसे ऑर्थोगोनल क्लिफोर्ड बीजगणित के रूप में भी जाना जाता है।

वेइल बीजगणित के गुण

Further information: Stone–von Neumann theorem

इस मामले में कि जमीनी क्षेत्र F विशेषता शून्य है, एनवां वेइल बीजगणित एक साधारण रिंग नोथेरियन अंगूठी डोमेन (रिंग सिद्धांत) है। इसका वैश्विक आयाम n है, इसके द्वारा विकृत रिंग के विपरीत, Sym(V), जिसका वैश्विक आयाम 2n है।

इसका कोई परिमित-आयामी निरूपण नहीं है। यद्यपि यह सरलता से अनुसरण करता है, इसे कुछ परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व के लिए σ(X) और σ(Y) का ट्रेस लेकर अधिक सीधे दिखाया जा सकता है (जहां [X,Y] = 1).

$\mathrm {tr} ([\sigma (X),\sigma (Y)])=\mathrm {tr} (1)~.$

चूँकि कम्यूटेटर का ट्रेस शून्य है, और पहचान का ट्रेस प्रतिनिधित्व का आयाम है, प्रतिनिधित्व शून्य आयामी होना चाहिए।

वास्तव में, परिमित-आयामी अभ्यावेदन की अनुपस्थिति की तुलना में अधिक मजबूत कथन हैं। किसी भी अंतिम रूप से उत्पन्न ए के लिए_n-मॉड्यूल एम, की एक संगत उपविविधता चार (एम) है V × V^∗ 'विशेष विविधता' कहा जाता है जिसका आकार मोटे तौर पर आकार से मेल खाता हैएम का (एक परिमित-आयामी मॉड्यूल में शून्य-आयामी विशेषता विविधता होगी)। फिर बर्नस्टीन की असमानता (गणितीय विश्लेषण)|बर्नस्टीन की असमानता बताती है कि एम गैर-शून्य के लिए,

$\dim(\operatorname {char} (M))\geq n$

एक और भी मजबूत कथन गब्बर का प्रमेय है, जो बताता है कि चार (एम) एक लैग्रेंजियन सबमैनिफोल्ड|सह-आइसोट्रोपिक उपविविधता है V × V^∗ प्राकृतिक सहानुभूति रूप के लिए।

सकारात्मक विशेषता

विशेषता के क्षेत्र (बीजगणित) पर वेइल बीजगणित के मामले में स्थिति काफी भिन्न है p > 0.

इस मामले में, वेइल बीजगणित के किसी भी तत्व डी के लिए, तत्व डी^पीकेंद्रीय है, और इसलिए वेइल बीजगणित का केंद्र बहुत बड़ा है। वास्तव में, यह अपने केंद्र पर एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल है; इससे भी अधिक, यह अपने केंद्र पर एक अज़ुमाया बीजगणित है। परिणामस्वरूप, कई परिमित-आयामी निरूपण हैं जो सभी आयाम पी के सरल निरूपण से निर्मित हैं।

स्थिर केंद्र

वेइल बीजगणित का केंद्र स्थिरांक का क्षेत्र है। किसी भी तत्व के लिए $h=f_{m}(X)\partial _{X}^{m}+f_{m-1}(X)\partial _{X}^{m-1}+\cdots +f_{1}(X)\partial _{X}+f_{0}(X)$ केंद्र में, $h\partial _{X}=\partial _{X}h$ तात्पर्य ${\displaystyle }$