सीव सिद्धांत

छलनी सिद्धांत संख्या सिद्धांत में सामान्य तकनीकों का एक सेट है, जिसे पूर्णांकों के छने हुए सेटों की गणना करने, या अधिक यथार्थवादी रूप से आकार का अनुमान लगाने के लिए डिज़ाइन किया गया है। छने हुए सेट का प्रोटोटाइपिक उदाहरण कुछ निर्धारित सीमा X तक अभाज्य संख्याओं का सेट है। इसके अनुरूप, छलनी का प्रोटोटाइपिक उदाहरण एराटोस्थनीज की छलनी, या अधिक सामान्य पौराणिक छलनी है। इन तरीकों का उपयोग करके अभाज्य संख्याओं पर सीधा हमला जल्द ही त्रुटि शब्दों के संचय के रास्ते में स्पष्ट रूप से दुर्गम बाधाओं तक पहुँच जाता है।बीसवीं शताब्दी में संख्या सिद्धांत के प्रमुख पहलुओं में से एक में, छलनी क्या होनी चाहिए, इसके एक भोले विचार के साथ सामने वाले हमले की कुछ कठिनाइयों से बचने के तरीके खोजे गए थे।

एक सफल तरीका संख्याओं के एक विशिष्ट छने हुए सेट (जैसे कि का सेट) का अनुमान लगाना है अभाज्य संख्याएँ) दूसरे, सरल सेट (उदाहरण के लिए लगभग अभाज्य संख्याओं का सेट) द्वारा, जो आम तौर पर मूल सेट से कुछ बड़ा होता है, और विश्लेषण करने में आसान होता है। अधिक परिष्कृत छलनी भी सीधे सेटों के साथ काम नहीं करती हैं, बल्कि इन सेटों पर सावधानीपूर्वक चुने गए वजन कार्यों के अनुसार उनकी गिनती करती हैं (इन सेटों के कुछ तत्वों को दूसरों की तुलना में अधिक वजन देने के विकल्प)। इसके अलावा, कुछ आधुनिक अनुप्रयोगों में, छलनी का उपयोग छलनी के आकार का अनुमान लगाने के लिए नहीं किया जाता है सेट, लेकिन एक ऐसा फ़ंक्शन तैयार करना जो सेट पर बड़ा हो और उसके बाहर अधिकतर छोटा हो, जबकि विश्लेषण करना आसान हो सेट का संकेतक फ़ंक्शन।

मूल छलनी सिद्धांत

अंकन की जानकारी के लिए अंत में देखें।

हम गैर-ऋणात्मक संख्याओं के कुछ गणनीय अनुक्रम से प्रारंभ करते हैं ${\mathcal {A}}=(a_{n})$. सबसे बुनियादी मामले में यह क्रम सिर्फ संकेतक फ़ंक्शन है $a_{n}=1_{A}(n)$ कुछ सेट का $A=\{s:s\leq x\}$ हम छानना चाहते हैं. हालाँकि यह अमूर्तन अधिक सामान्य स्थितियों की अनुमति देता है। इसके बाद हम अभाज्य संख्याओं का एक सामान्य सेट पेश करते हैं जिसे सिफ्टिंग रेंज कहा जाता है ${\mathcal {P}}\subseteq \mathbb {P}$ और उनके उत्पाद तक $z$ एक समारोह के रूप में $P(z)=\prod \limits _{p\in {\mathcal {P}},p<z}p$.

छलनी सिद्धांत का लक्ष्य छनाई कार्य का अनुमान लगाना है

$S({\mathcal {A}},{\mathcal {P}},z)=\sum \limits _{n\leq x,(n,P(z))=1}a_{n}.$

के मामले में $a_{n}=1_{A}(n)$ यह केवल एक उपसमुच्चय की प्रमुखता को गिनता है $A_{\operatorname {sift} }\subseteq A$ संख्याओं का, जो कि अभाज्य गुणनखंडों के सहअभाज्य हैं $P(z)$.

लीजेंड्रे की पहचान

हम लिजेंड्रे की पहचान के साथ छानने के कार्य को फिर से लिख सकते हैं

$S({\mathcal {A}},{\mathcal {P}},z)=\sum \limits _{d\mid P(z)}\mu (d)A_{d}(x)$

मोबियस फ़ंक्शन और कुछ फ़ंक्शन का उपयोग करके $A_{d}(x)$ के तत्वों से प्रेरित है ${\mathcal {P}}$

$A_{d}(x)=\sum \limits _{n\leq x,n\equiv 0{\pmod {d}}}a_{n}.$

उदाहरण

होने देना $z=7$ और ${\mathcal {P}}=\mathbb {P}$. मोबियस फ़ंक्शन प्रत्येक प्राइम के लिए नकारात्मक है, इसलिए हमें मिलता है

${\begin{aligned}S({\mathcal {A}},\mathbb {P} ,7)&=A_{1}(x)-A_{2}(x)-A_{3}(x)-A_{5}(x)+A_{6}+A_{10}+A_{15}-A_{30}.\end{aligned}}$

सर्वांगसमता योग का अनुमान

तब कोई यह मान लेता है $A_{d}(x)$ के रूप में लिखा जा सकता है

$A_{d}(x)=g(d)X+r_{d}(x)$

कहाँ $g(d)$ एक घनत्व है, जिसका अर्थ है एक गुणात्मक कार्य

$g(1)=1,$