बेथ संख्या

गणित में, विशेष रूप से समुच्चय सिद्धांत में, 'बेथ संख्याएँ' अनंत गणनांक संख्याओं का एक निश्चित क्रम हैं, परंपरागत रूप से लिखा गया $\beth _{0},\beth _{1},\beth _{2},\beth _{3},\dots$, जहाँ $\beth$ दूसरे हिब्रू वर्णमाला के द्वितीय अक्षर ('बेथ') को प्रतिनिधित्व करता है। बेथ संख्याएँ अलेफ संख्याओं ($\aleph _{0},\aleph _{1},\dots$) से संबंधित हैं, परंतु जब तक सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना सत्य नहीं होती तब तक संख्या $\aleph$ को अनुक्रमित किया जाता है और 'सामान्यरूपी प्रतिधारा का सिद्धांत' सत्य न हो, तो ऐसे संख्या $\beth$ को अनुक्रमित नहीं किया जाता है

परिभाष

बेथ संख्याओं को ट्रांसफ़िनिट रिकर्सन द्वारा परिभाषित किया गया है:

• $\beth _{0}=\aleph _{0},$
• $\beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }},$
• $\beth _{\lambda }=\sup {\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda },$

यहाँ $\alpha$ एक क्रमसूचक और $\lambda$ एक सीमा क्रमसूचक हैं।

गणित में, $\beth _{0}=\aleph _{0}$ किसी भी गणनीय अनंत समुच्चय का आकार है, जैसे कि प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय $\mathbb {N}$ इसीलिए $\beth _{0}=|\mathbb {N} |$है।

यदि $\alpha$ एक क्रमसूचक हो, और $A_{\alpha }$गणनांक के साथ एक समुच्चय $\beth _{\alpha }=|A_{\alpha }|$ हो तो, निम्नलिखित संबंध होते हैं:

• ${\mathcal {P}}(A_{\alpha })$ के ऊर्जा समुच्चय $A_{\alpha }$ को दर्शाता है, अर्थात, सभी उपसमुच्चयों का $A_{\alpha }$समुच्चय ,
• यहां, हम एक समुच्चय $2^{A_{\alpha }}\subset {\mathcal {P}}(A_{\alpha }\times 2)$ को दर्शाते हैं जो सभी फलन समुच्चय $A_{\alpha }$से {0,1} के मध्य ,
• गणन $2^{\beth _{\alpha }}$ गणन घातांक का परिणाम है, और
• $\beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }}=|2^{A_{\alpha }}|=|{\mathcal {P}}(A_{\alpha })|$ के ऊर्जा समुच्चय $A_{\alpha }$का गणनांक है।

इस परिभाषा को देखते हुए,

$\beth _{0},\ \beth _{1},\ \beth _{2},\ \beth _{3},\ \dots$

क्रमशः की गणनात्मकताएं हैं

$\mathbb {N} ,\ {\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),\ {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} )),\ {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))),\ \dots .$

समुच्चय सिद्धांत में, बेथ संख्या $\beth _{1}$ दूसरी बेथ संख्या है और यह ${\mathfrak {c}}$, के बराबर है, जो संख्या प्रकार की व्याप्ति की परिमाणता है। और इसके अतिरिक्त , तीसरी बेथ संख्या $\beth _{2}$ व्याप्ति की शक्ति समुच्चय की परिमाणता है।

कैंटर के सिद्धांत के कारण, पिछले अनुक्रम में प्रत्येक समुच्चय की परिमाणता पूर्व वाले समुच्चय से स्पष्ट रूप से अधिक होती है। यहाँ, प्रत्येक समुच्चय की परिमाणता बेथ संख्या होती है अनंत सीमा λ के लिए, संबंधित बेथ संख्या, λ को उस सभी क्रमसूचक से अधिक सभी बेथ संख्याओं का उच्चतम सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है:

$\beth _{\lambda }=\sup\{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \}.$

वॉन नेमन विश्व $V_{\omega +\alpha }$की परिमाणता बेथ संख्या $\beth _{\alpha }$ के बराबर होती है।

एलेफ़ संख्याओं से संबंध

चयन के अभिगृहीत को ध्यान में रखते हुए, अनंत परिमाणताएँ रेखांकित होती हैं; कोई भी दो परिमाणताएँ पूर्वानुमानित नहीं हो सकती हैं। इसलिए, परिभाषा के अनुसार, कोई भी अनंत परिमाणता $\aleph _{1}$और $\aleph _{0}$के बीच नहीं हो सकती है,

इससे निम्नलिखित परिणाम होता है:

$\beth _{1}\geq \aleph _{1}.$

इस तर्क को पुनरावृत्ति करते हुए