अर्धउत्तल फलन

For विविधताओं के कैलकुलस में उत्तलता के असंबंधित सामान्यीकरण का उपयोग किया जाता है।, see क्वासिकोनवेक्सिटी (विविधताओं का कैलकुलस).

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एक क्वासिकोनवेक्स फ़ंक्शन जो उत्तल नहीं है

एक फ़ंक्शन जो क्वासिकोनवेक्स नहीं है: फ़ंक्शन के डोमेन में बिंदुओं का सेट जिसके लिए फ़ंक्शन मान धराशायी लाल रेखा के नीचे हैं, दो लाल अंतरालों का मिलन है, जो उत्तल सेट नहीं है।

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सामान्य वितरण की संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन क्वासिकोनकेव है लेकिन अवतल नहीं है।

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द्विचर सामान्य संयुक्त संभाव्यता वितरण#घनत्व फलन या द्रव्यमान फलन क्वासिकोनकेव है।

गणित में, एक क्वासिकोनवेक्स फ़ंक्शन एक वास्तविक संख्या-मूल्य वाला फ़ंक्शन (गणित) है जो एक अंतराल (गणित) पर या वास्तविक सदिश स्थल के उत्तल सेट पर परिभाषित होता है, जैसे कि फॉर्म के किसी भी सेट की व्युत्क्रम छवि $(-\infty ,a)$ एक उत्तल समुच्चय है। एकल चर के एक फ़ंक्शन के लिए, वक्र के किसी भी विस्तार के साथ उच्चतम बिंदु समापन बिंदुओं में से एक है। क्वासिकोनवेक्स फ़ंक्शन के नकारात्मक को क्वासिकोनकेव कहा जाता है।

सभी उत्तल फलन भी अर्ध-उत्तल होते हैं, लेकिन सभी अर्ध-उत्तल फलन उत्तल नहीं होते हैं, इसलिए अर्ध-उत्तलता उत्तलता का एक सामान्यीकरण है। यूनिवेरेट यूनिमोडल फ़ंक्शन क्वासिकोनवेक्स या क्वासिकोनकेव हैं, हालांकि किसी फ़ंक्शन के एकाधिक तर्क वाले फ़ंक्शन के लिए यह जरूरी नहीं है। उदाहरण के लिए, 2-आयामी रोसेनब्रॉक फ़ंक्शन यूनिमॉडल है, लेकिन क्वासिकोनवेक्स नहीं है और स्टार-उत्तल उप-स्तर सेट सेट वाले फ़ंक्शन क्वासिकोनवेक्स के बिना यूनिमॉडल हो सकते हैं।

परिभाषा और गुण

एक समारोह $f:S\to \mathbb {R}$ उत्तल उपसमुच्चय पर परिभाषित $S$ यदि सभी के लिए एक वास्तविक सदिश समष्टि अर्धउत्तल है $x,y\in S$ और $\lambda \in [0,1]$ अपने पास

$f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \max {\big \{}f(x),f(y){\big \}}.$

शब्दों में, यदि $f$ ऐसा है कि यह हमेशा सत्य है कि दो अन्य बिंदुओं के बीच सीधे एक बिंदु अन्य दोनों बिंदुओं की तुलना में फ़ंक्शन का उच्च मूल्य नहीं देता है, तो $f$ क्वासिकोनवेक्स है। ध्यान दें कि बिंदु $x$ और $y$, और सीधे उनके बीच का बिंदु, एक रेखा पर बिंदु हो सकता है या अधिक सामान्यतः एन-आयामी स्थान में बिंदु हो सकता है।

File:Monotonicity example2.png

एक क्वासिलिनियर फ़ंक्शन क्वासिकोनवेक्स और क्वासिकोनकेव दोनों है।

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एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ जो गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याओं पर अवतल और अर्ध-उत्तल दोनों है।

अर्ध-उत्तल फ़ंक्शन को परिभाषित करने का एक वैकल्पिक तरीका (परिचय देखें)। $f(x)$ प्रत्येक उपस्तर सेट की आवश्यकता होती है

$S_{\alpha }(f)=\{x\mid f(x)\leq \alpha \}$ एक उत्तल समुच्चय है.

यदि इसके अलावा

$f(\lambda x+(1-\lambda )y)<\max {\big \{}f(x),f(y){\big \}}$

सभी के लिए $x\neq y$ और $\lambda \in (0,1)$, तब $f$ सख्ती से अर्धकोनवेक्स है। अर्थात्, सख्त क्वासिकोनवेक्सिटी के लिए आवश्यक है कि दो अन्य बिंदुओं के बीच सीधे एक बिंदु को अन्य बिंदुओं में से एक की तुलना में फ़ंक्शन का कम मूल्य देना चाहिए।

एक क्वासिकोनकेव फ़ंक्शन एक फ़ंक्शन है जिसका नकारात्मक क्वासिकोनवेक्स है, और एक सख्ती से क्वासिकोनकेव फ़ंक्शन एक फ़ंक्शन है जिसका नकारात्मक सख्ती से क्वासिकोनवेक्स है। समान रूप से एक फ़ंक्शन $f$ यदि क्वासिकोनकेव है

$f(\lambda x+(1-\lambda )y)\geq \min {\big \{}f(x),f(y){\big \}}.$

और सख्ती से quasiconcave यदि

$f(\lambda x+(1-\lambda )y)>\min {\big \{}f(x),f(y){\big \}}$

ए (सख्ती से) क्वासिकोनवेक्स फ़ंक्शन में (सख्ती से) उत्तल निचले समोच्च सेट होते हैं, जबकि (सख्ती से) क्वासिकोनवेक्स फ़ंक्शन में (सख्ती से) उत्तल ऊपरी समोच्च सेट होते हैं।

एक फ़ंक्शन जो क्वासिकोनवेक्स और क्वासिकोनकेव दोनों है, क्वासिलिनियर है।

अर्ध-अवतलता का एक विशेष मामला, यदि $S\subset \mathbb {R}$, Unimodality#Unimodal फ़ंक्शन है, जिसमें स्थानीय रूप से अधिकतम मान होता है।

अनुप्रयोग

क्वासिकोनवेक्स फ़ंक्शंस का गणितीय विश्लेषण, गणितीय अनुकूलन और गेम सिद्धांत और अर्थशास्त्र में अनुप्रयोग होता है।

गणितीय अनुकूलन

अरेखीय प्रोग्रामिंग में, क्वासिकोनवेक्स प्रोग्रामिंग पुनरावृत्त तरीकों का अध्ययन करती है जो क्वासिकोनवेक्स कार्यों के लिए न्यूनतम (यदि कोई मौजूद है) में परिवर्तित होती है। क्वासिकोनवेक्स प्रोग्रामिंग उत्तल प्रोग्रामिंग का एक सामान्यीकरण है। क्वासिकोनवेक्स प्रोग्रामिंग का उपयोग सरोगेट दोहरी समस्याओं के समाधान में किया जाता है, जिनके बिडुअल प्रारंभिक समस्या के क्वासिकोनवेक्स क्लोजर प्रदान करते हैं, जो इसलिए लैग्रेंजियन लैग्रेंज द्वैत द्वारा प्रदान किए गए उत्तल क्लोजर की तुलना में सख्त सीमा प्रदान करते हैं। कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत में, क्वासिकोनवेक्स प्रोग्रामिंग और उत्तल प्रोग्रामिंग समस्याओं को उचित समय में हल किया जा सकता है, जहां समस्या के आयाम में पुनरावृत्तियों की संख्या बहुपद की तरह बढ़ती है (और सन्निकटन त्रुटि के पारस्परिक रूप से सहन की जाती है); हालाँकि, ऐसी सैद्धांतिक रूप से कुशल विधियाँ डायवर्जेंट-सीरीज़ ग्रेडिएंट डीसेंट#स्टेप्साइज़ नियमों का उपयोग करती हैं, जिन्हें पहली बार शास्त्रीय सबग्रेडिएंट विधियों के लिए विकसित किया गया था। अपसारी-श्रृंखला नियमों का उपयोग करने वाली शास्त्रीय सबग्रेडिएंट विधियां उत्तल न्यूनतमकरण के आधुनिक तरीकों की तुलना में बहुत धीमी हैं, जैसे कि सबग्रेडिएंट प्रक्षेपण विधियां, वंश के बंडल तरीके, और नॉनस्मूथ फ़िल्टर विधियां।

अर्थशास्त्र और आंशिक अंतर समीकरण: मिनिमैक्स प्रमेय

सूक्ष्मअर्थशास्त्र में, क्वासिकोनकेव उपयोगिता कार्यों का अर्थ है कि उपभोक्ताओं की उत्तल प्राथमिकताएँ हैं। क्वासिकोन्वेक्स फ़ंक्शन महत्वपूर्ण हैं खेल सिद्धांत, औद्योगिक संगठन और सामान्य संतुलन सिद्धांत में भी, विशेष रूप से सायन के मिनिमैक्स प्रमेय के अनुप्रयोगों के लिए। जॉन वॉन न्यूमैन के मिनिमैक्स प्रमेय को सामान्यीकृत करते हुए, सायन के प्रमेय का उपयोग आंशिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत में भी किया जाता है।

क्वासिकोनवेक्सिटी का संरक्षण

क्वासिकोनवेक्सिटी को संरक्षित करने वाले ऑपरेशन

• अधिकतम क्वासिकोनवेक्स फ़ंक्शंस (अर्थात्) $f=max\{f_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{}_{}$