क्लासेन फलन

क्लॉज़ेन फ़ंक्शन का ग्राफ़ Cl₂(θ)

गणित में, थॉमस क्लाजेंन (1832) द्वारा प्रस्तुत क्लॉजेन फंक्शन, एकल चर का एक विशेष फंक्शन है। इसे विभिन्न प्रकार से एक निश्चित अभिन्न, एक त्रिकोणमितीय श्रृंखला और विभिन्न प्रकारों में व्यक्त किया जा सकता है। यह पॉलीलॉगरिदम, व्युत्क्रम स्पर्शरेखा इंटीग्रल, पॉलीगामा फंक्शन,रीमैन जेटा फंक्शन, डिरिचलेट एटा फंक्शन और डिरिचलेट बीटा फंक्शन के साथ जुड़ा हुआ है।

क्रम 2 का क्लॉजेन फंक्शन - कई वर्गों में से एक होने के अतिरिक्त भी इसे अक्सर क्लॉजेन फंक्शन के रूप में संदर्भित किया जाता है - इंटीग्रल द्वारा दिया जाता है:

$\operatorname {Cl} _{2}(\varphi )=-\int _{0}^{\varphi }\log \left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx:$

सीमा में $0<\varphi <2\pi \,$ निरपेक्ष मान चिह्न के अंदर साइन फंक्शन धनात्मक रहता है, इसलिए निरपेक्ष मान चिह्न छोड़ा जा सकता है। क्लॉजेन फंक्शन में फूरियर श्रृंखला का प्रतिनिधित्व भी है:

$\operatorname {Cl} _{2}(\varphi )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\varphi }{k^{2}}}=\sin \varphi +{\frac {\sin 2\varphi }{2^{2}}}+{\frac {\sin 3\varphi }{3^{2}}}+{\frac {\sin 4\varphi }{4^{2}}}+\cdots$

विशेष रूप से निश्चित और अनिश्चित दोनों, लॉगरिदमिक और पॉलीलॉगरिदमिक इंटीग्रल्स के कई वर्गों के मूल्यांकन के संबंध में क्लॉजेन फंक्शन, फंक्शन के एक वर्ग के रूप में, आधुनिक गणितीय अनुसंधान के कई क्षेत्रों में व्यापक रूप से प्रदर्शित होते हैं। उनके पास हाइपरज्यामितीय श्रृंखला के योग, केंद्रीय द्विपद गुणांक के व्युत्क्रम से जुड़े योग, पॉलीगामा फंक्शन के योग और डिरिचलेट एल-श्रृंखला के संबंध में भी कई अनुप्रयोग हैं।

बुनियादी गुण

क्लॉज़ेन फ़ंक्शन (क्रम 2 के) में $\pi ,\,$सभी (पूर्णांक) गुणकों में सरल शून्य होते हैं यदि $k\in \mathbb {Z} \,$ एक पूर्णांक है, तो $\sin k\pi =0$

$\operatorname {Cl} _{2}(m\pi )=0,\quad m=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\pm 3,\,\cdots$

इसमें मैक्सिमा है $\theta ={\frac {\pi }{3}}+2m\pi \quad [m\in \mathbb {Z} ]$

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}+2m\pi \right)=1.01494160\ldots$

और मिनिमा पर $\theta =-{\frac {\pi }{3}}+2m\pi \quad [m\in \mathbb {Z} ]$

$\operatorname {Cl} _{2}\left(-{\frac {\pi }{3}}+2m\pi \right)=-1.01494160\ldots$

निम्नलिखित गुण श्रृंखला परिभाषा के तत्काल परिणाम हैं:

$\operatorname {Cl} _{2}(\theta +2m\pi )=\operatorname {Cl} _{2}(\theta )$

$\operatorname {Cl} _{2}(-\theta )=-\operatorname {Cl} _{2}(\theta )$

देखना Lu & Perez (1992).

सामान्य परिभाषा

Standard Clausen functions

Glaisher–Clausen functions

सामान्यतः कोई दो सामान्यीकृत क्लॉजेन फंक्शन को परिभाषित करता है:

$\operatorname {S} _{z}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{z}}}$

${\mathrm{C}}_z<!--\; \; -->($