समनिरंतरता

गणितीय विश्लेषण में, यदि सभी फ़ंक्शन निरंतर फ़ंक्शन हैं और यहां वर्णित सटीक अर्थ में, किसी दिए गए पड़ोस (गणित) पर उनमें समान भिन्नता है, तो कार्यों का एक परिवार समविभाजक होता है। विशेष रूप से, यह अवधारणा गणनीय सेट परिवारों और इस प्रकार कार्यों के अनुक्रम पर लागू होती है।

समसंगति एस्कोली के प्रमेय के निर्माण में प्रकट होती है, जिसमें कहा गया है कि सी(एक्स) का एक उपसमुच्चय, एक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस एक्स पर निरंतर कार्यों का स्थान, कॉम्पैक्ट है यदि और केवल यदि यह बंद है, बिंदुवार घिरा हुआ है और समविराम है। एक परिणाम के रूप में, सी(एक्स) में एक अनुक्रम समान रूप से अभिसरण होता है यदि और केवल यदि यह समविराम है और बिंदुवार एक फ़ंक्शन में अभिसरण करता है (जरूरी नहीं कि निरंतर ए-प्राथमिकता हो)। विशेष रूप से, निरंतर कार्यों के एक समविराम बिंदुवार अभिसरण अनुक्रम की सीमा एफ_nया तो मीट्रिक स्थान पर या स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान पर सतत है. यदि, इसके अतिरिक्त, एफ_nहोलोमार्फिक हैं, तो सीमा भी होलोमोर्फिक है।

एकसमान सीमाबद्धता सिद्धांत बताता है कि बानाच स्थानों के बीच निरंतर रैखिक ऑपरेटरों का एक बिंदुवार बंधा हुआ परिवार समविराम है।

मीट्रिक स्थानों के बीच समसामयिकता

मान लीजिए कि

परिवार F 'एक बिंदु पर समसंतत' x है₀∈ X यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए, एक δ > 0 मौजूद है जैसे कि d(ƒ(x)₀), उंचा (x)) < ε सभी उंचा ∈ F और सभी x के लिए जैसे कि d(x)₀, x) < δ. यदि परिवार X के प्रत्येक बिंदु पर समसंतत है, तो वह 'बिंदुवार समसंतत' है। परिवार F 'समान रूप से समविभाजक' है यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए, एक δ > 0 मौजूद है जैसे कि d(ƒ(x)₁), (x₂)) < ε सभी ƒ ∈ F और सभी x के लिए₁, एक्स₂∈ X ऐसे कि d(x₁, एक्स₂) <डी. तुलना के लिए, कथन 'एफ में सभी फ़ंक्शन निरंतर हैं' का अर्थ है कि प्रत्येक ε > 0, प्रत्येक ∈ F, और प्रत्येक x के लिए₀∈ X, वहाँ एक δ > 0 मौजूद है जैसे कि d(ƒ(x₀), ƒ(x)) < ε सभी x ∈X के लिए जैसे कि d(x₀, x) < δ.

• सतत कार्य के लिए, δ, ε, , और x पर निर्भर हो सकता है₀.
• एकसमान निरंतरता के लिए, δ ε और ƒ पर निर्भर हो सकता है।
• बिंदुवार समसामयिकता के लिए, δ ε और x पर निर्भर हो सकता है₀.
• एकसमान समसामयिकता के लिए, δ केवल ε पर निर्भर हो सकता है।

अधिक आम तौर पर, जब_xऐसा है कि

$d_{Y}(f(y),f(x))<\epsilon$

सभी के लिए y ∈ U_x और ∈F. यह परिभाषा आमतौर पर टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस के संदर्भ में दिखाई देती है।

जब अपने आप में इस्तेमाल किया जाने वाला, संदर्भ के आधार पर, समरूपता शब्द या तो बिंदुवार या एकसमान धारणा को संदर्भित कर सकता है। एक सघन स्थान पर, ये धारणाएँ मेल खाती हैं।

कुछ बुनियादी गुण परिभाषा से तुरंत अनुसरण करते हैं। सतत कार्यों का प्रत्येक परिमित समुच्चय समसतत् है। एक समविराम समुच्चय का समापन पुनः समविराम है। कार्यों के समान रूप से समविराम सेट का प्रत्येक सदस्य समान रूप से निरंतर है, और समान रूप से निरंतर कार्यों का प्रत्येक परिमित सेट समान रूप से समविभाजक है।

उदाहरण

• एक सामान्य लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक के साथ कार्यों का एक सेट (समान रूप से) समविराम है। विशेष रूप से, यह मामला है यदि सेट में समान स्थिरांक से घिरे डेरिवेटिव वाले फ़ंक्शन होते हैं।
• समान सीमाबद्धता सिद्धांत निरंतर रैखिक ऑपरेटरों के एक सेट के लिए समविरंतर होने के लिए पर्याप्त शर्त देता है।
• विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन के पुनरावृत्तों का एक परिवार फ़तौ सेट पर समतुल्य है।

प्रतिउदाहरण

• कार्यों का क्रम f_n(x) = arctan(nx), समविरंतर नहीं है क्योंकि x पर परिभाषा का उल्लंघन होता है₀=0.

टोपोलॉजिकल समूहों में मूल्यवान मानचित्रों की समरूपता

लगता है कि T एक टोपोलॉजिकल स्पेस है और Y एक योगात्मक टोपोलॉजिकल समूह है (यानी एक समूह (बीजगणित) एक टोपोलॉजी से संपन्न है जो इसके संचालन को निरंतर बनाता है)। टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस टोपोलॉजिकल समूहों के प्रमुख उदाहरण हैं और प्रत्येक टोपोलॉजिकल समूह में एक संबद्ध कैनोनिकल एकसमान स्थान होता है।

परिभाषा: एक परिवार H से मानचित्रों का T में Y को समसतत् कहा जाता है t ∈ T यदि प्रत्येक पड़ोस के लिए V का 0 में Y, वहां कुछ पड़ोस मौजूद है U का t में T ऐसा है कि h(U) ⊆ h(t) + V हरएक के लिए h ∈ H. हम ऐसा कहते हैं H समसतत् है यदि यह प्रत्येक बिंदु पर समसतत् है T.

ध्यान दें कि यदि H प्रत्येक मानचित्र की तुलना में एक बिंदु पर समसतत् है H बिंदु पर निरंतर है। स्पष्ट रूप से, सतत मानचित्रों का प्रत्येक परिमित सेट T में Y समविराम है.

समसंतुलित रैखिक मानचित्र

क्योंकि प्रत्येक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) एक टोपोलॉजिकल समूह है, इसलिए टोपोलॉजिकल समूहों के लिए दिए गए मानचित्रों के एक समविराम परिवार की परिभाषा बिना किसी बदलाव के टीवीएस में स्थानांतरित हो जाती है।

समसतत् रैखिक मानचित्रों का लक्षण वर्णन

एक परिवार $H$ प्रपत्र के मानचित्रों का $X\to Y$ दो टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस के बीच कहा जाता है equicontinuous at a point $x\in X$ यदि प्रत्येक पड़ोस के लिए $V$ में उत्पत्ति का $Y$ वहाँ कुछ पड़ोस मौजूद है $U$ में उत्पत्ति का $X$ ऐसा है कि $h(x+U)\subseteq h(x)+V$ सभी के लिए $h\in H.$ अगर $H$ मानचित्रों का एक परिवार है और $U$ एक समुच्चय है तो चलो $H(U):=\bigcup _{h\in H}h(U).$ अंकन के साथ, यदि $U$ और $V$ तो सेट हैं $h(U)\subseteq V$ सभी के लिए $h\in H$ अगर और केवल अगर $H(U)\subseteq V.$ होने देना $X$ और $Y$ टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) बनें और $H$ से रैखिक ऑपरेटरों का एक परिवार बनें $X$ में $Y.$ उसके बाद निम्न बराबर हैं:

<ली>$H$ समविराम है; <ली>$H$ के प्रत्येक बिन्दु पर समसतत् है $X.$ <ली>$H$ किसी बिंदु पर समविराम है $X.$ <ली>$H$ मूल पर समसतत् है।
• अर्थात् प्रत्येक मोहल्ले के लिए $V$ में उत्पत्ति का $Y,$ वहाँ एक पड़ोस मौजूद है $U$ में उत्पत्ति का $X$ ऐसा है कि $H(U)\subseteq V$ (या समकक्ष, $h(U)\subseteq V$हरएक के लिए $h\in H$).
1. प्रत्येक पड़ोस के लिए $V$ में उत्पत्ति का $Y,$ $\bigcap _{h\in H}h^{-1}(V)$ में मूल का पड़ोस है $X.$
2. का समापन $H$ में $L_{\sigma }(X;Y)$ समविराम है.
   • $L_{\sigma }(X;Y)$ अर्थ है $L(X;Y)$बिंदु-वार अभिसरण की टोपोलॉजी से संपन्न।
3. का संतुलित सेट $H$ समसतत् है.

जबकि यदि $Y$ स्थानीय रूप से उत्तल है तो इस सूची को शामिल करने के लिए बढ़ाया जा सकता है:

1. का उत्तल पतवार $H$ समविराम है.
2. बिल्कुल उत्तल सेट $H$ समविराम है.

जबकि यदि $X$ और $Y$ स्थानीय रूप से उत्तल हैं तो इस सूची को शामिल करने के लिए बढ़ाया जा सकता है:

1. प्रत्येक सतत सेमिनोर्म के लिए $q$ पर $Y,$ वहाँ एक सतत सेमिनोर्म मौजूद है $p$ पर $X$ ऐसा है कि $q\circ h\leq p$ सभी के लिए $h\in H.$
   • यहाँ, $q\circ h\leq p$ मतलब कि $q(h(x))\leq p(x)$ सभी के लिए $x\in X.$

जबकि यदि $X$ बैरल वाली जगह है और $Y$ स्थानीय रूप से उत्तल है तो इस सूची को शामिल करने के लिए बढ़ाया जा सकता है:

<ली>$H$ में घिरा हुआ है $L_{\sigma }(X;Y)$; <ली>$H$ में घिरा हुआ है $L_{b}(X;Y).$
• $L_{b}(X;Y)$ अर्थ है $L(X;Y)$परिबद्ध अभिसरण की टोपोलॉजी से संपन्न (अर्थात, परिबद्ध उपसमुच्चय पर एकसमान अभिसरण) $X.$

जबकि यदि $X$ और $Y$ यदि बानाच स्थान हैं तो इस सूची को इसमें शामिल करने के लिए बढ़ाया जा सकता है:

<ली>$\sup\{\|T\|:T\in H\}<\infty$ (वह है, $H$ ऑपरेटर मानदंड में समान रूप से बंधा हुआ है)।

समविराम रैखिक कार्यात्मकताओं का लक्षण वर्णन

होने देना $X$ क्षेत्र के ऊपर एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) बनें $\mathbb {F}$ निरंतर दोहरे स्थान के साथ $X^{\prime }.$ एक परिवार $H$ रैखिक कार्यात्मकताओं पर $X$ बताया गया equicontinuous at a point $x\in X$ यदि प्रत्येक पड़ोस के लिए $V$ में उत्पत्ति का $\mathbb {F}$ वहाँ कुछ पड़ोस मौजूद है $U$ में उत्पत्ति का $X$ ऐसा है कि $h(x+U)\subseteq h(x)+V$ सभी के लिए $h\in H.$ किसी भी उपसमुच्चय के लिए $H\subseteq X^{\prime },$ निम्नलिखित समतुल्य हैं: <द>

<ली>$H$ समसतत् है. <ली>$H$ मूल पर समसतत् है। <ली>$H$ किसी बिंदु पर समविराम है $X.$ <ली>$H$ मूल के कुछ पड़ोस के ध्रुवीय सेट में समाहित है $X$

ध्रुवीय सेट|(पूर्व)ध्रुवीय का $H$ में मूल का पड़ोस है $X.$

कमजोर-* टोपोलॉजी|कमजोर* का बंद होना $H$ में $X^{\prime }$ समसतत् है.

का संतुलित सेट $H$ समसतत् है.

का उत्तल पतवार $H$ समसतत् है.

बिल्कुल उत्तल सेट $H$ समविराम है.

जबकि यदि $X$ सामान्य स्थान है तो इस सूची को इसमें शामिल करने के लिए बढ़ाया जा सकता है:

<ली>$H$ का एक दृढ़ता से घिरा हुआ उपसमुच्चय है $X^{\prime }.$

जबकि यदि $X$ यदि यह एक बैरल वाली जगह है तो इस सूची को इसमें शामिल करने के लिए बढ़ाया जा सकता है:

<ली>$H$ कमजोरकमज़ोर* टोपोलॉजी में अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट है $X^{\prime }.$ <ली>$H$ कमजोर* टोपोलॉजी है| कमजोर* घिरा हुआ है (अर्थात्, $H$ है $\sigma \left(X^{\prime },X\right)-$में घिरा हुआ $X^{\prime }$). <ली>$H$ परिबद्ध अभिसरण की टोपोलॉजी में बंधा हुआ है (अर्थात्, $H$ है $b\left(X^{\prime },X\right)-$में घिरा हुआ $X^{\prime }$). </al>

समसतत् रैखिक मानचित्रों के गुण

एकसमान सीमा सिद्धांत (जिसे बानाच-स्टाइनहॉस प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है) बताता है कि एक सेट $H$ बानाच स्थानों के बीच रेखीय मानचित्रों का समविराम है यदि यह बिंदुवार घिरा हुआ है; वह है, $\sup _{h\in H}\|h(x)\|<\infty$ प्रत्येक के लिए $x\in X.$ परिणाम को किसी मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है $Y$ स्थानीय रूप से उत्तल है और $X$ एक बैरल वाली जगह है.

समसतत् रैखिक कार्यात्मकताओं के गुण

अलाओग्लू के प्रमेय का तात्पर्य है कि कमजोर-* एक समविराम उपसमुच्चय का बंद होना $X^{\prime }$ कमज़ोर है-* सघन; इस प्रकार प्रत्येक समविराम उपसमुच्चय कमजोर-* अपेक्षाकृत सघन होता है।

अगर $X$ यदि कोई स्थानीय रूप से उत्तल टीवीएस है, तो सभी बैरल वाले स्थानों का परिवार $X$ और सभी उपसमूहों का परिवार $X^{\prime }$ जो उत्तल, संतुलित, बंद और घिरे हुए हैं $X_{\sigma }^{\prime },$ ध्रुवता द्वारा एक दूसरे से मेल खाते हैं (के संबंध में)। $\left\langle X,X^{\#}\right\rangle$). यह इस प्रकार है कि एक स्थानीय रूप से उत्तल टी.वी.एस $X$ वर्जित है यदि और केवल यदि प्रत्येक परिबद्ध उपसमुच्चय $X_{\sigma }^{\prime }$ समविराम है.

Theorem — Suppose that $X$ is a separable TVS. Then every closed equicontinuous subset of $X_{\sigma }^{\prime }$ is a compact metrizable space (under the subspace topology). If in addition $X$ is metrizable then $X_{\sigma }^{\prime }$ is separable.

समान निरंतरता और एकसमान अभिसरण

मान लीजिए कि फिर अर्ज़ेला-एस्कोली प्रमेय बताता है कि C(X) का एक उपसमुच्चय सघन है यदि और केवल तभी जब वह बंद हो, समान रूप से घिरा हुआ हो और समविरंतर हो। यह हेइन-बोरेल प्रमेय के अनुरूप है, जो बताता है कि आर के उपसमुच्चयⁿसंहत हैं यदि और केवल तभी जब वे बंद और परिबद्ध हों। परिणाम के रूप में, C(X) में प्रत्येक समान रूप से बंधे समविराम अनुक्रम में एक अनुवर्ती होता है जो X पर एक निरंतर कार्य में समान रूप से परिवर्तित होता है।

अर्ज़ेला-एस्कोली प्रमेय के मद्देनजर, सी(एक्स) में एक अनुक्रम समान रूप से परिवर्तित होता है यदि और केवल यदि यह समविराम है और बिंदुवार रूप से परिवर्तित होता है। कथन की परिकल्पना को थोड़ा कमजोर किया जा सकता है: सी (एक्स) में एक अनुक्रम समान रूप से परिवर्तित होता है यदि यह समवर्ती है और एक्स पर कुछ फ़ंक्शन के घने उपसमुच्चय पर बिंदुवार परिवर्तित होता है (निरंतर नहीं माना जाता है)।

Proof

Suppose f_j is an equicontinuous sequence of continuous functions on a dense subset D of X. Let ε > 0 be given. By equicontinuity, for each z ∈ D, there exists a neighborhood U_z of z such that

$|f_{j}(x)-f_{j}(z)|<\epsilon /3$

for all j and x ∈ U_z. By denseness and compactness, we can find a finite subset D′ ⊂ D such that X is the union of U_z over z ∈ D′. Since f_j converges pointwise on D′, there exists N > 0 such that

$|f_{j}(z)-f_{k}(z)|<\epsilon /3$

whenever z ∈ D′ and j, k > N. It follows that

$\sup _{X}|f_{j}-f_{k}|<\epsilon$

for all j, k > N. In fact, if x ∈ X, then x ∈ U_z for some z ∈ D′ and so we get:

$|f_{j}(x)-f_{k}(x)|\leq |f_{j}(x)-f_{j}(z)|+|f_{j}(z)-f_{k}(z)|+|f_{k}(z)-f_{k}(x)|<\epsilon$.

Hence, f_j is Cauchy in C(X) and thus converges by completeness.

इस कमजोर संस्करण का उपयोग आमतौर पर अलग-अलग कॉम्पैक्ट स्थानों के लिए अर्ज़ेला-एस्कोली प्रमेय को साबित करने के लिए किया जाता है। एक और परिणाम यह है कि एक मीट्रिक स्थान पर, या स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान पर निरंतर कार्यों के एक समविराम बिंदुवार अभिसरण अनुक्रम की सीमा निरंतर है। (उदाहरण के लिए नीचे देखें।) उपरोक्त में, X  की सघनता की परिकल्पना को शिथिल नहीं किया जा सकता है। यह देखने के लिए, 'R' पर g(0)= 1 के साथ एक सघन रूप से समर्थित निरंतर फ़ंक्शन g पर विचार करें, और फ़ंक्शंस के समविराम अनुक्रम पर विचार करें {ƒ_n}' द्वारा परिभाषित आर पर_n(x)= g(x − n). फिर,_n बिंदुवार 0 पर अभिसरित होता है लेकिन समान रूप से 0 पर अभिसरित नहीं होता।

एकसमान अभिसरण का यह मानदंड अक्सर वास्तविक और जटिल विश्लेषण में उपयोगी होता है। मान लीजिए कि हमें निरंतर कार्यों का एक क्रम दिया गया है जो 'आर' के कुछ खुले उपसमुच्चय जी पर बिंदुवार परिवर्तित होता है।ⁿ. जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, यह वास्तव में जी के एक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर समान रूप से परिवर्तित होता है यदि यह कॉम्पैक्ट सेट पर समान है। व्यवहार में, सम-निरंतरता दिखाना अक्सर इतना कठिन नहीं होता है। उदाहरण के लिए, यदि अनुक्रम में कुछ नियमितता के साथ अलग-अलग फ़ंक्शन या फ़ंक्शन शामिल हैं (उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन एक अंतर समीकरण के समाधान हैं), तो अनुक्रम को समतुल्य दिखाने के लिए औसत मूल्य प्रमेय या कुछ अन्य प्रकार के अनुमानों का उपयोग किया जा सकता है। इसके बाद यह निष्कर्ष निकलता है कि अनुक्रम की सीमा G के प्रत्येक सघन उपसमुच्चय पर निरंतर है; इस प्रकार, जी पर निरंतर। एक समान तर्क तब दिया जा सकता है जब फ़ंक्शन होलोमोर्फिक हों। उदाहरण के लिए, कोई समसंगति (संक्षिप्त उपसमुच्चय पर) दिखाने के लिए कॉची के अनुमान का उपयोग कर सकता है और यह निष्कर्ष निकाल सकता है कि सीमा होलोमोर्फिक है। ध्यान दें कि यहां समसामयिकता आवश्यक है। उदाहरण के लिए,_n(x)= arctan n x असंतुलित साइन फ़ंक्शन के गुणक में परिवर्तित हो जाता है।

सामान्यीकरण

सामयिक स्थानों में समसामयिकता

सबसे सामान्य परिदृश्य जिसमें समरूपता को परिभाषित किया जा सकता है, वह टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के लिए है, जबकि समान समरूपता के लिए एक बिंदु के पड़ोस के फ़िल्टर (सेट सिद्धांत) की आवश्यकता होती है, जो किसी अन्य बिंदु के पड़ोस के फ़िल्टर के साथ तुलनीय हो। उत्तरार्द्ध आमतौर पर एक समान संरचना के माध्यम से किया जाता है, जिससे एक समान स्थान मिलता है। इन मामलों में उपयुक्त परिभाषाएँ इस प्रकार हैं:

दो टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स और वाई के बीच निरंतर कार्यों का एक सेट 'एक्स ∈ एक्स और वाई ∈ वाई' बिंदुओं पर टोपोलॉजिकल रूप से समविराम है यदि वाई के बारे में किसी भी खुले सेट ओ के लिए, एक्स के पड़ोस यू और वाई के वी हैं जैसे कि प्रत्येक f ∈ A के लिए, यदि f[U] और V का प्रतिच्छेदन गैर-रिक्त है, f[U] ⊆ O. तब A को 'x ∈ प्रत्येक y ∈ Y. अंत में, A 'समविराम' है यदि यह सभी बिंदुओं x ∈ X के लिए x पर समविभाजक है।

दो एकसमान स्थानों

{ (u,v) ∈ X × X: for all f ∈ A. (f(u),f(v)) ∈ W }

एक्स पर एकरूपता का सदस्य है

समान स्थानों का परिचय

Main article: Uniform space

अब हम एकरूपता में अंतर्निहित मूल विचार का संक्षेप में वर्णन करते हैं।

एकरूपता 𝒱 के उपसमुच्चय का एक गैर-रिक्त संग्रह है Y × Y जहां, कई अन्य संपत्तियों के बीच, प्रत्येक V ∈ 𝒱, V का विकर्ण शामिल है Y (अर्थात {(y, y) ∈ Y}). का प्रत्येक तत्व 𝒱 को प्रतिवेश कहा जाता है.

एकरूपताएं उन बिंदुओं के विचार (मीट्रिक रिक्त स्थान से ली गई) को सामान्यीकृत करती हैंr-बंद करें (के लिए r > 0), जिसका अर्थ है कि उनकी दूरी < है r. इसे स्पष्ट करने के लिए मान लीजिये (Y, d) एक मीट्रिक स्थान है (इसलिए इसका विकर्ण Y सेट है {(y, z) ∈ Y × Y : d(y, z) = 0}) किसी के लिए r > 0, होने देना

U_r = {(y, z) ∈ Y × Y : d(y, z) < r}

बिंदुओं के सभी युग्मों के समुच्चय को निरूपित करें r-बंद करना। ध्यान दें कि अगर हमें यह भूलना है d तब अस्तित्व में था, किसी के लिए भी r > 0, हम अभी भी यह निर्धारित करने में सक्षम होंगे कि दो बिंदु हैं या नहीं Y हैं r-केवल सेट का उपयोग करके बंद करें U_r. इस प्रकार, सेट U_r किसी भी मीट्रिक की आवश्यकता के बिना समान निरंतरता और समान अभिसरण जैसी चीजों को परिभाषित करने के लिए आवश्यक सभी जानकारी को समाहित करें। इन सेटों के सबसे बुनियादी गुणों को स्वयंसिद्ध करने से एक समान स्थान की परिभाषा प्राप्त होती है। दरअसल, सेट U_r एकरूपता उत्पन्न करें जो मीट्रिक स्थान के साथ प्रामाणिक रूप से जुड़ी हुई है (Y, d).

इस सामान्यीकरण का लाभ यह है कि अब हम कुछ महत्वपूर्ण परिभाषाओं का विस्तार कर सकते हैं जो मीट्रिक रिक्त स्थान (उदाहरण के लिए पूर्ण मीट्रिक स्थान) के लिए टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की व्यापक श्रेणी के लिए समझ में आते हैं। विशेष रूप से, टोपोलॉजिकल समूहों और टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस के लिए।

एक कमजोर अवधारणा सम निरंतरता की है

दो टोपोलॉजिकल स्थानों f[U] ⊆ O जब भी f(x) ∈ V. यह 'x पर समान रूप से निरंतर' है यदि यह प्रत्येक y ∈ Y के लिए x और y पर समान रूप से निरंतर है, और 'समान रूप से निरंतर' है यदि यह x पर समान रूप से निरंतर है प्रत्येक x ∈ X.

स्टोकेस्टिक समसामयिकता

Main article: Stochastic equicontinuity

स्टोकेस्टिक इक्विकंटिनिटी, इक्विकंटिनिटी का एक संस्करण है जिसका उपयोग यादृच्छिक चर के कार्यों के अनुक्रम और यादृच्छिक चर के उनके अभिसरण के संदर्भ में किया जाता है।




यह भी देखें

• Absolute continuity
• Classification of discontinuities
• Coarse function
• Continuous function
• Continuous function (set theory)
• Continuous stochastic process
• Dini continuity
• Direction-preserving function - असतत स्थानों में एक सतत फ़ंक्शन का एक एनालॉग।
• Microcontinuity
• Normal function
• Piecewise
• Symmetrically continuous function
• Uniform continuity

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संदर्भ

• "Equicontinuity", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Reed, Michael; Simon, Barry (1980), Functional Analysis (revised and enlarged ed.), Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-585050-6.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
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• Schaefer, Helmut H. (1966), Topological vector spaces, New York: The Macmillan Company
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