पॉइसन वितरण

Poisson Distribution

Probability mass function The horizontal axis is the index k, the number of occurrences. λ is the expected rate of occurrences. The vertical axis is the probability of k occurrences given λ. The function is defined only at integer values of k; the connecting lines are only guides for the eye.
Cumulative distribution function File:Poisson cdf.svg The horizontal axis is the index k, the number of occurrences. The CDF is discontinuous at the integers of k and flat everywhere else because a variable that is Poisson distributed takes on only integer values.
Notation	$\operatorname {Pois} (\lambda )$
Parameters	$\lambda \in (0,\infty )$ (rate)
Support	$k\in \mathbb {N} _{0}$ (Natural numbers starting from 0)
PMF	${\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}$
CDF	${\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor !}},$ or $e^{-\lambda }\sum _{j=0}^{\lfloor k\rfloor }{\frac {\lambda ^{j}}{j!}},$ or $Q(\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )$ (for $k\geq 0,$ where $\Gamma (x,y)$ is the upper incomplete gamma function, $\lfloor k\rfloor$ is the floor function, and $Q$ is the regularized gamma function)
Mean	$\lambda$
Median	$\approx \left\lfloor \lambda +{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{50\lambda }}\right\rfloor$
Mode	$\left\lceil \lambda \right\rceil -1,\left\lfloor \lambda \right\rfloor$
Variance	$\lambda$
Skewness	${\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}$
Ex. kurtosis	${\frac {1}{\lambda }}$
Entropy	$\lambda {\Bigl [}1-\log(\lambda ){\Bigr ]}+e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\log(k!)}{k!}}$   or for large $\lambda$   ${\begin{aligned}\approx {\frac {1}{2}}\log \left(2\pi e\lambda \right)-{\frac {1}{12\lambda }}-{\frac {1}{24\lambda ^{2}}}\\-{\frac {19}{360\lambda ^{3}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{\lambda ^{4}}}\right)\end{aligned}}$
MGF	$\exp \left[\lambda \left(e^{t}-1\right)\right]$
CF	$\exp \left[\lambda \left(e^{it}-1\right)\right]$
PGF	$\exp \left[\lambda \left(z-1\right)\right]$
Fisher information	${\frac {1}{\lambda }}$

संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में, पॉइसन वितरण एक असतत संभाव्यता वितरण है जो समय या स्थान के एक निश्चित अंतराल में होने वाली घटनाओं की दी गई संख्या की संभावना को व्यक्त करता है यदि ये घटनाएं ज्ञात निरंतर औसत दर और समय की सांख्यिकीय स्वतंत्रता के साथ होती हैं। आखिरी घटना. इसका नाम फ्रांस के गणितज्ञ शिमोन डेनिस पॉइसन के नाम पर रखा गया है (/ˈpwɑːsɒn/; French pronunciation: ​[pwasɔ̃]). पॉइसन वितरण का उपयोग अन्य निर्दिष्ट अंतराल प्रकारों जैसे दूरी, क्षेत्र या आयतन में घटनाओं की संख्या के लिए भी किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, एक कॉल सेंटर को प्रतिदिन 24 घंटे प्रति घंटे औसतन 180 कॉल प्राप्त होती हैं। कॉल स्वतंत्र हैं; एक प्राप्त करने से अगला कब आएगा इसकी संभावना नहीं बदलती। किसी भी मिनट के दौरान प्राप्त कॉलों की संख्या में माध्य 3 के साथ पॉइसन संभाव्यता वितरण होता है: सबसे अधिक संभावित संख्याएं 2 और 3 हैं लेकिन 1 और 4 भी संभावित हैं और इसके शून्य के बराबर होने की बहुत कम संभावना है और बहुत कम संभावना है यह 10 हो सकता है.

एक अन्य उदाहरण एक परिभाषित अवलोकन अवधि के दौरान रेडियोधर्मी स्रोत से होने वाली क्षय घटनाओं की संख्या है।