मॉड्यूलर वक्र

संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति में, मॉड्यूलर वक्र Y(Γ) रीमैन सतह, या संबंधित बीजगणितीय वक्र है, जो मॉड्यूलर समूह समूह के सर्वांगसम उपसमूह Γ की क्रिया द्वारा समष्टि ऊपरी आधे-तल H के समूह क्रिया द्वारा भागफल के रूप में निर्मित होता है। इंटीग्रल 2×2 आव्युह एसएल(2, Z)। मॉड्यूलर वक्र शब्द का उपयोग कॉम्पैक्टिफाइड मॉड्यूलर वक्रों को संदर्भित करने के लिए भी किया जा सकता है -X(Γ) जो कि इस भागफल में (विस्तारित समष्टि ऊपरी-आधे तल पर क्रिया के माध्यम से) बहुत सारे बिंदु (जिसे Γ के क्यूप्स कहा जाता है) जोड़कर प्राप्त किए गए संघनन (गणित) हैं। मॉड्यूलर वक्र के बिंदु समूह Γ के आधार पर कुछ अतिरिक्त संरचना के साथ,अण्डाकार वक्रों के समरूपता वर्गों को पैरामीट्रिज करते हैं। यह व्याख्या किसी को समष्टि संख्याओं के संदर्भ के बिना, मॉड्यूलर वक्रों की विशुद्ध रूप से बीजगणितीय परिभाषा देने की अनुमति देती है, और इसके अतिरिक्त, यह सिद्ध करती है कि मॉड्यूलर वक्र या तब तर्कसंगत संख्या Q के क्षेत्र या साइक्लोटोमिक क्षेत्र Q(ζ_n) पर परिभाषित होते हैं। पश्चात् वाला तथ्य और इसके सामान्यीकरण संख्या सिद्धांत में मौलिक महत्व के हैं।

विश्लेषणात्मक परिभाषा

मॉड्यूलर समूह एसएल (2, Z) आंशिक रैखिक परिवर्तनों द्वारा ऊपरी आधे तल पर कार्य करता है। मॉड्यूलर वक्र की विश्लेषणात्मक परिभाषा में एसएल(2, Z) के सर्वांगसम उपसमूह Γ का विकल्प सम्मिलित होता है, अर्थात उपसमूह जिसमें कुछ धनात्मक पूर्णांक N के लिए स्तर N Γ(N) का प्रमुख सर्वांगसम उपसमूह होता है, जहां

$\Gamma (N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}:\ a\equiv d\equiv 1\mod N{\text{ and }}b,c\equiv 0\mod N\right\}.$

ऐसे न्यूनतम N को Γ का स्तर कहा जाता है। गैर सघन रीमैन सतह जिसे सामान्यतः Y(Γ) कहा जाता है, प्राप्त करने के लिए भागफल Γ\H पर समष्टि संरचना डाली जा सकती है।

संहतित मॉड्यूलर वक्र

Y(Γ) का सामान्य संघनन बहुत सारे बिंदुओं को जोड़कर प्राप्त किया जाता है जिन्हें Γ के क्यूप्स कहा जाता है। विशेष रूप से, यह विस्तारित समष्टि ऊपरी-आधे विमान H* = H ∪ Q ∪ {∞}. पर Γ की क्रिया पर विचार करके किया जाता है। हम आधार के रूप में H* पर टोपोलॉजी प्रस्तुत करते हैं:

• H का कोई भी खुला उपसमुच्चय,
• सभी r > 0 के लिए, समुच्चय $\{\infty \}\cup \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text{Im}}(\tau )>r\}$
• सभी सहअभाज्य पूर्णांक a, c और सभी r > 0 के लिए, की क्रिया के अनुसार $\{\infty \}\cup \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text{Im}}(\tau )>r\}$ की छवि

${\begin{pmatrix}a&-m\\c&n\end{pmatrix}}$

जहाँ m, n ऐसे पूर्णांक हैं कि a + सेमी = 1.

यह H* को टोपोलॉजिकल स्पेस में परिवर्तित देता है जो रीमैन क्षेत्र P¹(C) का उपसमुच्चय है। समूह Γ उपसमुच्चय Q ∪ {∞} पर कार्य करता है, इसे परिमित रूप से अनेक कक्षाओं में विभाजित करता है जिन्हें Γ का पुच्छल कहा जाता है। यदि Γ Q ∪ {∞} पर सकर्मक रूप से कार्य करता है, तब स्थान Γ\H* Γ\H का अलेक्जेंड्रॉफ़ संघनन बन जाता है। बार फिर, समष्टि संरचना को भागफल Γ\H* पर रखा जा सकता है, जिससे इसे X(Γ) नामक रीमैन सतह में परिवर्तित दिया जा सकता है, जो अब कॉम्पैक्ट है। यह स्थान Y(Γ) का संघनन है।

उदाहरण

सबसे सामान्य उदाहरण उपसमूह Γ(N), Γ₀(N), और Γ₁(N) से जुड़े वक्र X(N), X₀(N), और X₁(N) हैं।

मॉड्यूलर वक्र X(5) में जीनस 0 है | यह नियमित इकोसाहेड्रोन के शीर्ष पर स्थित 12 क्यूस्प्स वाला रीमैन क्षेत्र है। कवरिंग X(5) → X(1) का अनुभव रीमैन क्षेत्र पर इकोसाहेड्रल समूह की कार्रवाई से होता है। यह समूह A₅ और पीएसएल(2,5) के क्रम 60 समरूपी का सरल समूह है।

मॉड्यूलर वक्र X(7) 24 क्यूप्स के साथ जीनस 3 का क्लेन क्वार्टिक है। इसे 24 हेप्टागोन्स द्वारा टाइल किए गए तीन हैंडल वाली सतह के रूप में समझा जा सकता है, जिसमें प्रत्येक चेहरे के केंद्र में पुच्छ होता है। इन टाइलिंग को डेसिन्स डी एनफैंट्स और बेली फ़ंक्शंस के माध्यम से समझा जा सकता है - क्यूप्स ∞ (लाल बिंदु) के ऊपर स्थित बिंदु हैं, जबकि किनारों (काले और सफेद बिंदु) के शीर्ष और केंद्र 0 और 1 के ऊपर स्थित बिंदु हैं। कवरिंग X(7) → X(1) का गैलोज़ समूह पीएसएल (2, 7) के क्रम 168 आइसोमोर्फिक का सरल समूह है।

X₀(N) के लिए स्पष्ट मौलिक मॉडल है, मौलिक मॉड्यूलर वक्र; इसे कभी-कभी मॉड्यूलर वक्र भी कहा जाता है। Γ(N) की परिभाषा को इस प्रकार दोहराया जा सकता है: यह मॉड्यूलर समूह का उपसमूह है जो कमी मॉड्यूलो मॉड्यूलो N का कर्नेल है। फिर Γ₀(N) आव्युह का बड़ा उपसमूह है जो ऊपरी त्रिकोणीय मॉड्यूलो N है |

$\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ c\equiv 0\mod N\right\},$

और Γ₁(N) मध्यवर्ती समूह है जिसे निम्न द्वारा परिभाषित किया गया है |

$\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ a\equiv d\equiv 1\mod N,c\equiv 0\mod N\right\}.$

इन वक्रों की समतल संरचना वाले अण्डाकार वक्रों के लिए मॉड्यूलि रिक्त स्थान के रूप में सीधी व्याख्या होती है और इस कारण से वे अंकगणितीय ज्यामिति में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। लेवल N मॉड्यूलर वक्र X(N) N-टोरसन के आधार के साथ अण्डाकार वक्रों के लिए मॉड्यूलि स्पेस है। X₀(N) और X₁(N) के लिए, स्तर संरचना क्रमशः क्रम N का चक्रीय उपसमूह और क्रम N का बिंदु है। इन वक्रों का बहुत विस्तार से अध्ययन किया गया है, और विशेष रूप से, यह ज्ञात है कि X₀(N) को Q के ऊपर परिभाषित किया जा सकता है।

मॉड्यूलर वक्रों को परिभाषित करने वाले समीकरण मॉड्यूलर समीकरणों के सबसे प्रसिद्ध उदाहरण हैं। "सर्वोत्तम मॉडल" सीधे अण्डाकार फलन सिद्धांत से लिए गए मॉडल से बहुत भिन्न हो सकते हैं। मॉड्यूलर वक्रों के जोड़े को जोड़ने वाले पत्राचार (बीजगणितीय ज्यामिति) के रूप में, हेके ऑपरेटरों का ज्यामितीय रूप से अध्ययन किया जा सकता है।

'टिप्पणी': 'H' के भागफल जो संहत हैं, मॉड्यूलर समूह के उपसमूहों के अतिरिक्त फुच्सियन समूहों Γ के लिए भी होते हैं; चतुर्भुज बीजगणित से निर्मित उनमें से वर्ग भी संख्या सिद्धांत में रुचि रखता है।

जीनस

कवरिंग X(N) → X(1) गैलोज़ है, गैलोज़ समूह एसएल(2, N)/{1, −1} के साथ, जो पीएसएल(2, N) के सामान्य है यदि N अभाज्य है। रीमैन-हर्विट्ज़ फॉर्मूला और गॉस-बोनट प्रमेय को प्रयुक्त करके, कोई X(N) के जीनस की गणना कर सकता है। अभाज्य संख्या स्तर p ≥ 5 के लिए हैं |

$-\pi \chi (X(p))=|G|\cdot D,$

जहां χ = 2 − 2g यूलर विशेषता है, |G| = (p+1)p(p−1)/2 समूह पीएसएल(2, p) का क्रम है, और D = π - π/2 - π/3 - π/p का दोष (ज्यामिति) है गोलाकार (2,3,पी) त्रिकोण. इससे सूत्र तैयार होता है

जहां χ = 2 − 2g यूलर विशेषता है, |G| = (p+1)p(p−1)/2 समूह पीएसएल(2, p), का क्रम है, और D = π − π/2 − π/3 − π/p गोलाकार (2,3,p) त्रिभुज का कोणीय दोष (ज्यामिति) है। इससे सूत्र तैयार होता है

]\$g={\tfrac {1}{24}}(p+2)(p-3)(p-5).$

इस प्रकार X(5) का वंश 0 है, X(7) का वंश 3 है, और X(11) का वंश 26 है | p = 2 या 3 के लिए, किसी को अतिरिक्त रूप से प्रभाव को ध्यान में रखना चाहिए |अर्थात्,पीएसएल(2, Z) में क्रम p तत्वों की उपस्थिति, और तथ्य यह है कि पीएसएल(2, 2) में 3 के अतिरिक्त क्रम 6 होता है। किसी भी स्तर N के मॉड्यूलर वक्र X(N) के जीनस के लिए अधिक समष्टि सूत्र है जिसमें N के विभाजक सम्मिलित हैं।।

जीनस शून्य

सामान्यतः मॉड्यूलर फलन फ़ील्ड मॉड्यूलर वक्र (या, कभी-कभी, किसी अन्य मॉड्यूलि स्पेस का फलन फ़ील्ड होता है जो अपरिवर्तनीय विविधता बन जाता है)। जीनस ज़ीरो का कारण है कि ऐसे फलन फ़ील्ड में जनरेटर के रूप में एकल पारलौकिक कार्य / ट्रान्सेंडैंटल फलन होता है: उदाहरण के लिए जे-फलन X(1) = पीएसएल(2, Z)\H* का फलन फ़ील्ड उत्पन्न करता है। ऐसे जनरेटर का पारंपरिक नाम, जो मोबियस परिवर्तन के लिए अद्वितीय है और उचित रूप से सामान्यीकृत किया जा सकता है, हौप्टमोडुल (मुख्य या प्रमुख मॉड्यूलर फलन, बहुवचन हौप्टमोडुलन) है।

रिक्त स्थान X₁(n) में n = 1, ..., 10 और n = 12 के लिए जीनस शून्य है। चूँकि इनमें से प्रत्येक वक्र को Q पर परिभाषित किया गया है और इसका Q-तर्कसंगत बिंदु है, यह इस प्रकार है कि ऐसे प्रत्येक वक्र पर अनंत रूप से अनेक तर्कसंगत बिंदु हैं, और इसलिए n के इन मानों के लिए n -मरोड़ के साथ Q पर अनंत रूप से अनेक अण्डाकार वक्र परिभाषित हैं। विपरीत कथन, कि केवल n के ये मान ही घटित हो सकते हैं, मजूर का मरोड़ प्रमेय है।

X₀(N) का जीनस

मॉड्यूलर वक्र $\textstyle X_{0}(N)$ जीनस हैं यदि और केवल यदि $\textstyle N$ निम्नलिखित तालिका में सूचीबद्ध 12 मानों में से के सामान्य है। $\mathbb {Q}$ पर अण्डाकार वक्र के रूप में, उनके पास न्यूनतम, अभिन्न वीयरस्ट्रैस मॉडल $y^2+a_{1}xy+a_{3}y=x^3+a_2{}^{}$