पिकार्ड समूह

गणित में, वलययुक्त समिष्ट X का पिकार्ड समूह, जिसे Pic(X) द्वारा निरूपित किया जाता है, X पर उल्टे शीव्स (या लाइन बंडल) के समरूपता वर्गों का समूह है, इस प्रकार समूह संचालन टेंसर उत्पाद है। यह निर्माण विभाजक वर्ग समूह, या आदर्श वर्ग समूह के निर्माण का वैश्विक संस्करण है, और इसका उपयोग बीजगणितीय ज्यामिति और समष्टि मैनिफ़ोल्ड के सिद्धांत में बहुत अधिक किया जाता है।

वैकल्पिक रूप से, पिकार्ड समूह को शीफ़ कोहोमोलोजी समूह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*}).\,

अभिन्न स्कीम (गणित) के लिए पिकार्ड समूह कार्टियर विभाजक के वर्ग समूह के समरूपी है। समष्टि मैनिफ़ोल्ड के लिए घातीय शीफ़ अनुक्रम पिकार्ड समूह पर मूलभूत जानकारी देता है।

यह नाम एमिल पिकार्ड के सिद्धांतों, विशेष रूप से बीजगणितीय सतह पर विभाजक के सम्मान में है।

उदाहरण

डेडेकाइंड डोमेन के रिंग के स्पेक्ट्रम का पिकार्ड समूह इसका आदर्श वर्ग समूह है।
k क्षेत्र के लिए प्रक्षेप्य समिष्ट Pⁿ(k) पर विपरीत शीव्स घुमाने वाले शीव्स ${\mathcal {O}}(m),\,$ हैं, इसलिए Pⁿ(k) का पिकार्ड समूह Z के लिए समरूपी है।
k पर दो मूलों वाली f़िन लाइन का पिकार्ड समूह 'Z' के लिए समरूपी है।
पिकार्ड समूह $n$ -आयामी समष्टि f़िन स्पेस: $\operatorname {Pic} (\mathbb {C} ^{n})=0$ , वास्तव में घातीय अनुक्रम कोहोलॉजी में निम्नलिखित लंबे स्पष्ट अनुक्रम उत्पन्न करता है
$\dots \to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })\to H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to \cdots$