पिकार्ड समूह

Not to be confused with Picard modular group.

गणित में, चक्राकार स्थान X का पिकार्ड समूह, जिसे Pic(X) द्वारा निरूपित किया जाता है, X पर उल्टे शीव्स (या लाइन बंडल) के समरूपता वर्गों का समूह है, समूह संचालन टेंसर उत्पाद है। यह निर्माण विभाजक वर्ग समूह, या आदर्श वर्ग समूह के निर्माण का एक वैश्विक संस्करण है, और इसका उपयोग बीजगणितीय ज्यामिति और जटिल मैनिफ़ोल्ड के सिद्धांत में बहुत अधिक किया जाता है।

वैकल्पिक रूप से, पिकार्ड समूह को शीफ़ कोहोमोलोजी समूह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

$H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*}).\,$

अभिन्न योजना (गणित) के लिए पिकार्ड समूह कार्टियर विभाजक के वर्ग समूह के समरूपी है। जटिल मैनिफ़ोल्ड के लिए घातीय शीफ़ अनुक्रम पिकार्ड समूह पर बुनियादी जानकारी देता है।

यह नाम एमिल पिकार्ड के सिद्धांतों, विशेष रूप से बीजगणितीय सतहों पर विभाजक के सम्मान में है।

उदाहरण

• डेडेकाइंड डोमेन के रिंग के स्पेक्ट्रम का पिकार्ड समूह इसका आदर्श वर्ग समूह है।
• प्रक्षेप्य स्थान 'पी' पर उलटा ढेरⁿ(k) k के लिए एक क्षेत्र (गणित), घुमाव वाले शीफ शीफ (गणित) हैं ${\mathcal {O}}(m),\,$ तो पी का पिकार्ड समूहⁿ(k) 'Z' का समरूपी है।
• k पर दो मूलों वाली एफ़िन लाइन का पिकार्ड समूह 'Z' के लिए समरूपी है।
• पिकार्ड समूह $n$-आयामी जटिल एफ़िन स्पेस: $\operatorname {Pic} (\mathbb {C} ^{n})=0$, वास्तव में घातीय अनुक्रम कोहोलॉजी में निम्नलिखित लंबे सटीक अनुक्रम उत्पन्न करता है

  $\dots \to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })\to H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to \cdots$

और तबसे $H^{k}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H_{\scriptscriptstyle {\rm {sing}}}^{k}(\mathbb {C} ^{n};\mathbb {Z} )$ अपने पास $H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq 0$ क्योंकि $\mathbb {C} ^{n}$ तो फिर, अनुबंध योग्य है $H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })$ और हम गणना करने के लिए डॉल्बियॉल्ट कोहोमोलॉजी#डॉलब्यूल्ट प्रमेय को लागू कर सकते हैं $H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},\Omega _{\mathbb {C} ^{n}}^{0})\simeq H_{\bar {\partial }}^{0,1}(\mathbb {C} ^{n})=0$ डॉल्बियॉल्ट कोहोमोलॉजी द्वारा#डॉलबियॉल्ट-ग्रोथेंडिक लेम्माटा|डॉलबियॉल्ट-ग्रोथेंडिक लेम्मा।

पिकार्ड योजना

पिकार्ड समूह, पिकार्ड योजना (के प्रतिनिधित्व योग्य फ़नकार संस्करण) पर एक योजना संरचना का निर्माण, बीजगणितीय ज्यामिति में एक महत्वपूर्ण कदम है, विशेष रूप से एबेलियन किस्मों के द्वैत सिद्धांत में। इसका निर्माण किया गया था Grothendieck (1962), और द्वारा भी वर्णित है Mumford (1966) और Kleiman (2005).

शास्त्रीय बीजगणितीय ज्यामिति के लिए सबसे महत्वपूर्ण मामलों में, एक बीजगणितीय वक्र#एकवचन|गैर-एकवचन पूर्ण विविधता V के लिए विशेषता (बीजगणित) शून्य के एक क्षेत्र (गणित) पर, पिकार्ड योजना में पहचान का जुड़ा हुआ स्थान एक एबेलियन है किस्म को 'पिकार्ड किस्म' कहा जाता है और चित्र से दर्शाया जाता है⁰(वि). पिकार्ड किस्म की दोहरी अल्बानीज़ किस्म है, और विशेष मामले में जहां वी एक वक्र है, पिकार्ड किस्म स्वाभाविक रूप से वी की जैकोबियन किस्म के लिए आइसोमोर्फिक है। हालांकि, सकारात्मक विशेषता वाले क्षेत्रों के लिए, आदेश - स्थिति भीड़ ने एक उदाहरण का निर्माण किया तस्वीर के साथ एक चिकनी प्रक्षेप्य सतह एस⁰(एस) गैर-कम, और इसलिए एबेलियन किस्म नहीं है।

भागफल Pic(V)/Pic⁰(V) एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह है जिसे NS(V) कहा जाता है, जो V का 'नेरॉन-सेवेरी समूह' है। दूसरे शब्दों में पिकार्ड समूह एक सटीक अनुक्रम में फिट बैठता है

$1\to \mathrm {Pic} ^{0}(V)\to \mathrm {Pic} (V)\to \mathrm {NS} (V)\to 1.\,$

तथ्य यह है कि एनएस (वी) का रैंक परिमित है, फ्रांसिस सेवेरी का 'आधार का प्रमेय' है; रैंक V का 'पिकार्ड नंबर' है, जिसे अक्सर ρ(V) से दर्शाया जाता है। ज्यामितीय रूप से एनएस(वी) वी पर विभाजक (बीजगणितीय ज्यामिति) के बीजगणितीय तुल्यता वर्गों का वर्णन करता है; अर्थात्, विभाजकों की रैखिक तुल्यता के स्थान पर एक मजबूत, गैर-रैखिक तुल्यता संबंध का उपयोग करके, वर्गीकरण असतत अपरिवर्तनीयों के लिए उत्तरदायी हो जाता है। बीजगणितीय तुल्यता संख्यात्मक तुल्यता से निकटता से संबंधित है, जो प्रतिच्छेदन संख्याओं द्वारा अनिवार्य रूप से टोपोलॉजिकल वर्गीकरण है।

सापेक्ष पिकार्ड योजना

मान लीजिए f: X →S योजनाओं का एक रूप है। 'सापेक्ष पिकार्ड फ़ैक्टर' (या 'सापेक्ष पिकार्ड योजना' यदि यह एक योजना है) द्वारा दी गई है: किसी भी एस-स्कीम टी के लिए,

$\operatorname {Pic} _{X/S}(T)=\operatorname {Pic} (X_{T})/f_{T}^{*}(\operatorname {Pic} (T))$

कहाँ $f_{T}:X_{T}\to T$ एफ और एफ का आधार परिवर्तन है_T ^*पुलबैक है.

हम कहते हैं एल इन $\operatorname {Pic} _{X/S}(T)$ यदि किसी ज्यामितीय बिंदु s → T के लिए पुलबैक है तो इसकी डिग्री r है $s^{*}L$ एस के साथ एल की डिग्री आर फाइबर एक्स पर एक उलटा शीफ ​​के रूप में है_s (जब डिग्री को एक्स के पिकार्ड समूह के लिए परिभाषित किया गया है_s.)

यह भी देखें

• शीफ कोहोमोलोजी
• चाउ किस्म
• कार्टियर विभाजक
• होलोमोर्फिक लाइन बंडल
• आदर्श वर्ग समूह
• अरकेलोव वर्ग समूह
• समूह-स्टैक
• पिकार्ड श्रेणी

संदर्भ

• Grothendieck, A. (1962), V. Les schémas de Picard. Théorèmes d'existence, Séminaire Bourbaki, t. 14: année 1961/62, exposés 223-240, no. 7, Talk no. 232, pp. 143–161
• Grothendieck, A. (1962), VI. Les schémas de Picard. Propriétés générales, Séminaire Bourbaki, t. 14: année 1961/62, exposés 223-240, no. 7, Talk no. 236, pp. 221–243
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, OCLC 13348052
• Igusa, Jun-Ichi (1955), "On some problems in abstract algebraic geometry", Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A., 41 (11): 964–967, Bibcode:1955PNAS...41..964I, doi:10.1073/pnas.41.11.964, PMC 534315, PMID 16589782
• Kleiman, Steven L. (2005), "The Picard scheme", Fundamental algebraic geometry, Math. Surveys Monogr., vol. 123, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 235–321, arXiv:math/0504020, Bibcode:2005math......4020K, MR 2223410
• Mumford, David (1966), Lectures on Curves on an Algebraic Surface, Annals of Mathematics Studies, vol. 59, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-07993-6, MR 0209285, OCLC 171541070
• Mumford, David (1970), Abelian varieties, Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-560528-0, OCLC 138290