वृत्त

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Circle
File:Circle-withsegments.svg A circle   circumference C   diameter D   radius R   center or origin O

{सामान्य ज्यामिति}} एक सर्कल एक विमान में सभी बिंदुओं से युक्त एक आकृति है जो किसी दिए गए बिंदु से दी गई दूरी पर है,केंद्र।समान रूप से, यह एक बिंदु से बाहर निकलने वाला वक्र है जो एक विमान में चलता है ताकि किसी दिए गए बिंदु से इसकी दूरी स्थिर हो।सर्कल और केंद्र के किसी भी बिंदु के बीच की दूरी को त्रिज्या कहा जाता है।आमतौर पर, त्रिज्या को एक सकारात्मक संख्या होने की आवश्यकता होती है।के साथ एक सर्कल $r=0$ एक पतित मामला है।यह लेख यूक्लिडियन ज्यामिति में हलकों के बारे में है, और, विशेष रूप से, यूक्लिडियन विमान, जहां अन्यथा उल्लेख किया गया है।

विशेष रूप से, एक सर्कल एक साधारण बंद वक्र है जो विमान को दो क्षेत्रों में विभाजित करता है: एक आंतरिक और एक बाहरी।रोजमर्रा के उपयोग में, शब्द सर्कल का उपयोग या तो आकृति की सीमा को संदर्भित करने के लिए या इसके इंटीरियर सहित पूरे आंकड़े को संदर्भित करने के लिए किया जा सकता है;सख्त तकनीकी उपयोग में, सर्कल केवल सीमा है और पूरे आंकड़े को डिस्क कहा जाता है।

एक सर्कल को एक विशेष प्रकार के दीर्घवृत्त के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है जिसमें दो foci संयोग हैं, सनकीता 0 है, और अर्ध-मेजर और अर्ध-खनिज कुल्हाड़ी समान हैं;या दो-आयामी आकृति प्रति यूनिट परिधि के सबसे अधिक क्षेत्र को घेरने के लिए, भिन्नताओं की पथरी का उपयोग करते हुए।

यूक्लिड की परिभाषा

A circle is a plane figure bounded by one curved line, and such that all straight lines drawn from a certain point within it to the bounding line, are equal. The bounding line is called its circumference and the point, its centre.

— Euclid, Elements, Book I

टोपोलॉजिकल परिभाषा

टोपोलॉजी के क्षेत्र में, एक सर्कल ज्यामितीय अवधारणा तक सीमित नहीं है, बल्कि इसके सभी होमोमोर्फिज्म तक सीमित है।दो टोपोलॉजिकल सर्कल समतुल्य हैं यदि एक को आर के विरूपण के माध्यम से दूसरे में बदल दिया जा सकता है³खुद पर (एक परिवेशी आइसोटोपी के रूप में जाना जाता है)।

शब्दावली

• एनलस: एक अंगूठी के आकार की वस्तु, दो संकेंद्रित सर्कल से बंधे क्षेत्र।
• चाप: एक सर्कल का कोई भी जुड़ा हुआ हिस्सा। एक आर्क और एक केंद्र के दो अंत बिंदुओं को निर्दिष्ट करना दो आर्क्स के लिए अनुमति देता है जो एक साथ एक पूर्ण चक्र बनाते हैं।
• केंद्र: सर्कल पर सभी बिंदुओं से बिंदु समीकरण।
• कॉर्ड: एक लाइन सेगमेंट जिसका समापन बिंदु सर्कल पर स्थित है, इस प्रकार एक सर्कल को दो खंडों में विभाजित करता है।
• परिधि: वृत्त के साथ एक सर्किट की लंबाई, या सर्कल के चारों ओर की दूरी।
• व्यास: एक लाइन खंड जिसका समापन बिंदु सर्कल पर स्थित है और जो केंद्र से होकर गुजरता है; या इस तरह के एक लाइन खंड की लंबाई। यह सर्कल पर किसी भी दो बिंदुओं के बीच सबसे बड़ी दूरी है। यह एक कॉर्ड का एक विशेष मामला है, अर्थात् किसी दिए गए सर्कल के लिए सबसे लंबा राग, और इसकी लंबाई एक त्रिज्या की लंबाई से दोगुना है।
• डिस्क: एक सर्कल से बंधे विमान का क्षेत्र।
• लेंस: दो ओवरलैपिंग डिस्क के लिए सामान्य क्षेत्र (चौराहा)।
• पासेंट: एक कोपलानर स्ट्रेट लाइन जिसका सर्कल के साथ कोई मतलब नहीं है।
• RADIUS: एक लाइन सेगमेंट जो सर्कल के किसी भी एक बिंदु के साथ एक सर्कल के केंद्र में शामिल होता है; या इस तरह के एक खंड की लंबाई, जो एक व्यास की आधी (लंबाई) है।
• सेक्टर: एक सामान्य केंद्र के साथ समान लंबाई के दो रेडी से घिरा एक क्षेत्र और या तो दो संभावित आर्क्स में से, इस केंद्र और रेडी के समापन बिंदुओं द्वारा निर्धारित किया गया है।
• खंड: एक कॉर्ड द्वारा बंधे एक क्षेत्र और कॉर्ड के समापन बिंदुओं को जोड़ने वाले आर्क्स में से एक। कॉर्ड की लंबाई संभावित आर्क्स के व्यास पर एक कम सीमा थोपती है। कभी -कभी शब्द खंड का उपयोग केवल उन क्षेत्रों के लिए किया जाता है, जिनमें सर्कल के केंद्र से युक्त नहीं होते हैं, जिनसे उनका चाप होता है।
• सेकंट: एक विस्तारित कॉर्ड, एक कोपलानर स्ट्रेट लाइन, दो बिंदुओं में एक सर्कल को काटता है।
• अर्धवृत्त: एक व्यास के समापन बिंदुओं द्वारा निर्धारित दो संभावित आर्क्स में से एक, इसके मध्य बिंदु को केंद्र के रूप में ले जाता है। गैर-तकनीकी सामान्य उपयोग में इसका मतलब यह हो सकता है कि एक व्यास और इसके एक आर्क्स से बंधे दो आयामी क्षेत्र का इंटीरियर, जिसे तकनीकी रूप से एक आधा-डिस्क कहा जाता है। एक आधा-डिस्क एक खंड का एक विशेष मामला है, अर्थात् सबसे बड़ा।
• स्पर्शरेखा: एक कोपलानर स्ट्रेट लाइन जिसमें एक सर्कल के साथ एक ही बिंदु होता है (इस बिंदु पर सर्कल को छूता है)।

सभी निर्दिष्ट क्षेत्रों को खुले के रूप में माना जा सकता है, अर्थात्, उनकी सीमाओं से युक्त नहीं, या उनके संबंधित सीमाओं सहित बंद के रूप में।

File:CIRCLE LINES.svg Chord, secant, tangent, radius, and diameter

File:Circle slices.svg Arc, sector, and segment

इतिहास

File:God the Geometer.jpg

13 वीं शताब्दी की पांडुलिपि में कम्पास ईश्वर के सृजन के कार्य का प्रतीक है।नोट भी प्रभामंडल के परिपत्र आकार।

वर्ड सर्कल ग्रीक κίρ a/ύκκκκκκκλλος (Kirkos/Kuklos) से निकला है, जो स्वयं होमेरिक ग्रीक κρίκος (Krikros) के मेटथेसिस है, जिसका अर्थ है हूप या रिंग शब्द सर्कस और विकट की उत्पत्ति: सर्किट | सर्किट निकट से संबंधित हैं।

File:IlkhanateSilkCircular.jpg

एक पुराने अरबी खगोलीय ड्राइंग में हलकों।

रिकॉर्ड किए गए इतिहास की शुरुआत से पहले सर्कल को जाना जाता है।प्राकृतिक घेरे देखे गए होंगे, जैसे कि चंद्रमा, सूरज, और रेत पर हवा में एक छोटा पौधे का डंठल, जो रेत में एक सर्कल आकार बनाता है।सर्कल पहिया के लिए आधार है, जो संबंधित आविष्कारों जैसे गियर के साथ, आधुनिक मशीनरी के अधिकांश को संभव बनाता है।गणित में, सर्कल के अध्ययन ने ज्यामिति, खगोल विज्ञान और पथरी के विकास को प्रेरित करने में मदद की है।

प्रारंभिक विज्ञान, विशेष रूप से ज्यामिति और ज्योतिष और खगोल विज्ञान, अधिकांश मध्ययुगीन विद्वानों के लिए दिव्य से जुड़ा था, और कई लोगों का मानना था कि कुछ आंतरिक रूप से दिव्य या परिपूर्ण था जो हलकों में पाया जा सकता था।

सर्कल के इतिहास में कुछ हाइलाइट्स हैं:

• 1700 ईसा पूर्व - Rhind papyrus एक गोलाकार क्षेत्र के क्षेत्र को खोजने के लिए एक विधि देता है।परिणाम मेल खाता है 256/81 (3.16049 ...) के अनुमानित मूल्य के रूप मेंπ.

File:Toghrol Tower looking up.jpg

[अंदर से तुगरुल टॉवर

• 300 ईसा पूर्व - यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक 3 | यूक्लिड के तत्व हलकों के गुणों से संबंधित हैं।
• प्लेटो के सातवें पत्र में सर्कल की एक विस्तृत परिभाषा और स्पष्टीकरण है।प्लेटो सही सर्कल की व्याख्या करता है, और यह किसी भी ड्राइंग, शब्दों, परिभाषा या स्पष्टीकरण से अलग कैसे है।
• 1880 सीई - लिंडमैन साबित करता है π पारलौकिक है, प्रभावी रूप से सर्कल को स्क्वायर करने की सहस्राब्दी-पुरानी समस्या को सुलझा रहा है।Template:साफ़

विश्लेषणात्मक परिणाम

परिधि

Main article: Circumference

इसके व्यास के लिए एक सर्कल की परिधि का अनुपात है π (पीआई), एक तर्कहीन स्थिरांक लगभग 3.141592654 के बराबर है।इस प्रकार परिधि c त्रिज्या r और व्यास d से संबंधित है:

$C=2\pi r=\pi d.\,$

क्षेत्र संलग्न

एक सर्कल द्वारा संलग्न है = π × छायांकित वर्ग का क्षेत्र

Main article: Area of a circle

जैसा कि आर्किमिडीज द्वारा साबित किया गया है, एक सर्कल के माप में, एक सर्कल द्वारा संलग्न क्षेत्र एक त्रिभुज के बराबर होता है जिसका आधार सर्कल की परिधि की लंबाई है और जिसकी ऊंचाई सर्कल के त्रिज्या के बराबर है, जो आता है π त्रिज्या वर्ग द्वारा गुणा:

$\mathrm {Area} =\pi r^{2}.\,$

समान रूप से, डी द्वारा व्यास को दर्शाते हुए,

$\mathrm {Area} ={\frac {\pi d^{2}}{4}}\approx 0{.}7854d^{2},$

अर्थात्, लगभग 79% परिधीय वर्ग वर्ग (जिसका पक्ष लंबाई डी का है)।

सर्कल एक दिए गए आर्क लंबाई के लिए अधिकतम क्षेत्र को घेरने वाला विमान वक्र है।यह सर्कल को एक समस्या से संबंधित है, जो कि विविधता की गणना में है, अर्थात् isoperimetric असमानता।

समीकरण

कार्टेशियन निर्देशांक

त्रिज्या r & nbsp; = & nbsp; 1, केंद्र (a, & nbsp; b) = & nbsp; (1.2, & nbsp; −0.5)

, एक सर्कल का समीकरण एक एक्स -वाई कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, केंद्र निर्देशांक (ए, बी) और त्रिज्या आर के साथ सर्कल सभी बिंदुओं (एक्स, वाई) का सेट है

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.$

यह समीकरण, जिसे सर्कल के समीकरण के रूप में जाना जाता है, पाइथागोरियन प्रमेय से सर्कल पर किसी भी बिंदु पर लागू होता है: जैसा कि आसन्न आरेख में दिखाया गया है, त्रिज्या एक दाएं-कोण त्रिकोण का सम्मोहन है, जिसके अन्य पक्ष लंबाई के हैं।- ए |और | y - b |यदि सर्कल मूल (0, & nbsp; 0) पर केंद्रित है, तो समीकरण को सरल बनाता है

$x^{2}+y^{2}=r^{2}.$

पैरामीट्रिक फॉर्म

समीकरण को त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन साइन और कोसाइन के रूप में पैरामीट्रिक रूप में लिखा जा सकता है

$x=a+r\,\cos t,$

$y=b+r\,\sin t,$

जहां t 0 से 2 की सीमा में एक पैरामीट्रिक चर हैπ, ज्यामितीय रूप से कोण के रूप में व्याख्या की गई है कि किरण से (a, & nbsp; b) से (x, & nbsp; y) सकारात्मक x & nbsp; अक्ष के साथ बनाता है।

सर्कल का एक वैकल्पिक पैरामीटर है

$x=a+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},$

$y=b+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}.$

इस पैरामीटर में, टी से आर के अनुपात को ज्यामितीय रूप से एक्स & एनबीएसपी के समानांतर केंद्र के माध्यम से गुजरने वाली रेखा के स्टीरिगोग्राफिक प्रक्षेपण के रूप में व्याख्या किया जा सकता है; अक्ष (स्पर्शरेखा आधा-कोण प्रतिस्थापन देखें)।हालांकि, यह पैरामीटर केवल तभी काम करता है जब टी को न केवल सभी वास्तविकों के माध्यम से बल्कि अनंत के एक बिंदु पर भी बनाया जाता है;अन्यथा, सर्कल के सबसे बाएं बिंदु को छोड़ दिया जाएगा।

3-बिंदु रूप

तीन बिंदुओं द्वारा निर्धारित सर्कल का समीकरण $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})$ एक लाइन पर नहीं एक सर्कल समीकरण के 3-बिंदु रूप के रूपांतरण द्वारा प्राप्त किया जाता है:

$\frac{(x-<!--\; -\; -->x_1)(x-<!--\; -\; -->x_2)+(y-<!--\; -\; -->y_1}{}$