वृत्त

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{{Infobox polygon |name = Circle |image = Circle-withsegments.svg |caption = A circle (black), which is measured by its circumference (C), diameter (D) in blue, and radius (R) in red; its centre (O) is in green. | symmetry = [[Orthogonal group|O(2)| क्षेत्र = πR² | परिधि = C = 2πR | प्रकार = शंकु खंड }}

{सामान्य ज्यामिति}} एक वृत्त एक आकृति है जिसमें एक समतल में सभी बिंदु होते हैं जो किसी दिए गए बिंदु से एक निश्चित दूरी पर होते हैं,केंद्र।समान रूप से, यह एक बिंदु द्वारा पता लगाया गया वक्र है जो एक विमान में चलता है ताकि किसी दिए गए बिंदु से इसकी दूरी स्थिर हो। वृत्त और केंद्र के किसी भी बिंदु के बीच की दूरी को त्रिज्या कहा जाता है। आमतौर पर, त्रिज्या को एक सकारात्मक संख्या की आवश्यकता होती है। के साथ एक वृत्त $r=0$ पतित मामला है। यह लेख यूक्लिडियन ज्यामिति में मंडलियों के बारे में है, और, विशेष रूप से, यूक्लिडियन विमान, जहां अन्यथा उल्लेख किया गया है।

विशेष रूप से, एक सर्कल एक साधारण बंद वक्र है जो विमान को दो क्षेत्रों में विभाजित करता है: एक आंतरिक और एक बाहरी। रोजमर्रा के उपयोग में, वृत्त शब्द का प्रयोग या तो आकृति की सीमा या उसके आंतरिक भाग सहित संपूर्ण आकृति को संदर्भित करने के लिए किया जा सकता है; सख्त तकनीकी उपयोग में, वृत्त केवल सीमा है और संपूर्ण आकृति को डिस्क कहा जाता है।

एक वृत्त को एक विशेष प्रकार के दीर्घवृत्त के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है जिसमें दो नाभियाँ संपाती होती हैं, विलक्षणता 0 होती है, और अर्ध-प्रमुख और अर्ध-लघु कुल्हाड़ियाँ समान होती हैं; या दो-आयामी आकार, जो कि विविधताओं के कैलकुलस का उपयोग करते हुए, प्रति इकाई परिधि वर्ग में सबसे अधिक क्षेत्र को घेरता है।

यूक्लिड की परिभाषा

A circle is a plane figure bounded by one curved line, and such that all straight lines drawn from a certain point within it to the bounding line, are equal. The bounding line is called its circumference and the point, its centre.

— Euclid, Elements, Book I

टोपोलॉजिकल परिभाषा

टोपोलॉजी के क्षेत्र में, एक सर्कल ज्यामितीय अवधारणा तक ही सीमित नहीं है, बल्कि इसके सभी होमोमोर्फिज्म तक सीमित है। दो टोपोलॉजिकल सर्कल समतुल्य हैं यदि एक को R . के विरूपण के माध्यम से दूसरे में परिवर्तित किया जा सकता है³अपने आप पर (एक परिवेश समस्थानिक के रूप में जाना जाता है)।

शब्दावली

• एनलस: एक अंगूठी के आकार की वस्तु, दो संकेंद्रित वृत्तों से घिरा क्षेत्र।
• चाप: वृत्त का कोई भी जुड़ा हुआ भाग। एक चाप और एक केंद्र के दो अंत बिंदुओं को निर्दिष्ट करना दो चापों के लिए अनुमति देता है जो एक साथ एक पूर्ण चक्र बनाते हैं।
• केंद्र: वृत्त के सभी बिंदुओं से समान दूरी पर स्थित बिंदु।
• जीवा: एक रेखा खंड जिसका समापन बिंदु वृत्त पर स्थित होता है, इस प्रकार एक वृत्त को दो खंडों में विभाजित करता है।
• परिधि: सर्कल के साथ एक सर्किट की लंबाई, या सर्कल के चारों ओर की दूरी।
• व्यास: एक रेखा खंड जिसका अंत बिंदु वृत्त पर स्थित होता है और जो केंद्र से होकर गुजरता है; या ऐसे रेखाखंड की लंबाई। यह वृत्त पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की सबसे बड़ी दूरी है। यह एक जीवा का एक विशेष मामला है, अर्थात् किसी दिए गए वृत्त के लिए सबसे लंबी जीवा, और इसकी लंबाई त्रिज्या की लंबाई से दोगुनी है।
• डिस्क: एक वृत्त से घिरा विमान का क्षेत्र।
• लेंस: दो अतिव्यापी डिस्क के लिए सामान्य क्षेत्र (प्रतिच्छेदन)।
• पासेंट: एक समतलीय सीधी रेखा जिसका वृत्त के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।
• त्रिज्या: वृत्त पर किसी एक बिंदु के साथ वृत्त के केंद्र को मिलाने वाला एक रेखा खंड; या ऐसे खंड की लंबाई, जो व्यास से आधी (लंबाई) हो।
• सेक्टर: एक क्षेत्र जो समान लंबाई के दो त्रिज्याओं से घिरा होता है और एक सामान्य केंद्र और दो संभावित चापों में से कोई एक, इस केंद्र और त्रिज्या के अंत बिंदुओं द्वारा निर्धारित किया जाता है।
• खंड: जीवा से घिरा एक क्षेत्र और जीवा के अंतिम बिंदुओं को जोड़ने वाले चापों में से एक। जीवा की लंबाई संभावित चापों के व्यास पर एक निचली सीमा लगाती है। कभी-कभी खंड शब्द का प्रयोग केवल उन क्षेत्रों के लिए किया जाता है जिनमें उस वृत्त का केंद्र नहीं होता जिससे उनका चाप संबंधित होता है।
• सेकेंट: एक विस्तारित जीवा, एक समतलीय सीधी रेखा, एक वृत्त को दो बिंदुओं में प्रतिच्छेद करती है।
• अर्धवृत्त: एक व्यास के अंतिम बिंदुओं द्वारा निर्धारित दो संभावित चापों में से एक, इसके मध्य बिंदु को केंद्र के रूप में लेते हुए। गैर-तकनीकी सामान्य उपयोग में इसका मतलब व्यास और उसके एक चाप से घिरे दो आयामी क्षेत्र का आंतरिक भाग हो सकता है, जिसे तकनीकी रूप से अर्ध-डिस्क कहा जाता है। एक अर्ध-डिस्क एक खंड का एक विशेष मामला है, अर्थात् सबसे बड़ा।
• स्पर्शरेखा: एक समतलीय सीधी रेखा जिसमें वृत्त के साथ एक ही बिंदु उभयनिष्ठ होता है (इस बिंदु पर वृत्त को स्पर्श करता है)।

सभी निर्दिष्ट क्षेत्रों को खुला माना जा सकता है, अर्थात्, उनकी सीमाएँ शामिल नहीं हैं, या उनकी संबंधित सीमाओं सहित, बंद हैं।

File:CIRCLE LINES.svg जीवा, छेदक, स्पर्शरेखा, त्रिज्या और व्यास

File:Circle slices.svg चाप, क्षेत्र, और खंड

इतिहास

File:God the Geometer.jpg

13वीं शताब्दी की इस पांडुलिपि में ई कंपास ईश्वर के निर्माण कार्य का प्रतीक है। प्रभामंडल के गोलाकार आकार पर भी ध्यान दें। सर्कल शब्द ग्रीक κίρκος/κύκλος (किर्कोस/कुक्लोस) से निकला है, जो स्वयं होमरिक ग्रीक κρίκος (क्रिकोस) का एक मेटाथिसिस है, जिसका अर्थ है घेरा या अंगूठी।सर्कस और विकट:सर्किट|सर्किट शब्दों की उत्पत्ति निकट से संबंधित हैं।

File:IlkhanateSilkCircular.jpg

एक पुराने अरबी खगोलीय चित्र में मंडलियां।

r500.jpg|right|thumb|200px|एक पुराने अरबी खगोलीय चित्र में मंडलियां। दर्ज इतिहास की शुरुआत से पहले से सर्कल को जाना जाता है। प्राकृतिक वृत्त देखे गए होंगे, जैसे कि चंद्रमा, सूर्य और रेत पर हवा में उड़ने वाला एक छोटा पौधे का डंठल, जो रेत में एक वृत्त का आकार बनाता है। चक्र पहिया का आधार है, जो संबंधित आविष्कारों जैसे कि गियर के साथ, आधुनिक मशीनरी को बहुत संभव बनाता है। गणित में, वृत्त के अध्ययन ने ज्यामिति, खगोल विज्ञान और कलन के विकास को प्रेरित करने में मदद की है।

प्रारंभिक विज्ञान, विशेष रूप से ज्यामिति और ज्योतिष और खगोल विज्ञान, अधिकांश मध्ययुगीन विद्वानों के लिए परमात्मा से जुड़ा था, और कई लोगों का मानना ​​​​था कि आंतरिक रूप से दिव्य या परिपूर्ण कुछ था जो मंडलियों में पाया जा सकता था।

सर्कल के इतिहास में कुछ हाइलाइट्स हैं:

• 1700 ईसा पूर्व - रिंद पपीरस एक गोलाकार क्षेत्र के क्षेत्र को खोजने के लिए एक विधि देता है। परिणाम से मेल खाती है 256/81 (3.16049...) के अनुमानित मूल्य के रूप मेंπ.

File:Toghrol Tower looking up.jpg

अंदर से तुगरुल टावर

• 300 ईसा पूर्व - यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक 3 | यूक्लिड के तत्व वृत्तों के गुणों से संबंधित हैं।
• प्लेटो के सातवें पत्र में वृत्त की विस्तृत परिभाषा और व्याख्या है। प्लेटो संपूर्ण वृत्त की व्याख्या करता है, और यह किसी भी चित्र, शब्द, परिभाषा या व्याख्या से कैसे भिन्न है।
• 1880 सीई - लिंडमैन ने साबित किया कि π पारलौकिक है, प्रभावी रूप से वृत्त का वर्ग करने की सहस्राब्दी पुरानी समस्या का समाधान कर रहा है।

विश्लेषणात्मक परिणाम

परिधि

Main article: Circumference

एक वृत्त की परिधि का उसके व्यास से अनुपात है π (पीआई), एक अपरिमेय स्थिरांक लगभग 3.141592654 के बराबर। इस प्रकार परिधि C त्रिज्या r और व्यास d से संबंधित है:

$C=2\pi r=\pi d.\,$

संलग्न क्षेत्र

File:Circle Area.svg

वृत्त से घिरा क्षेत्रफल = π × छायांकित वर्ग का क्षेत्रफल

Main article: Area of a circle

जैसा कि आर्किमिडीज ने सिद्ध किया है, एक वृत्त के अपने मापन में, एक वृत्त द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल उस त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है जिसके आधार पर वृत्त की परिधि की लंबाई होती है और जिसकी ऊँचाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है,जो आता है π त्रिज्या वर्ग से गुणा करें:

$\mathrm {Area} =\pi r^{2}.\,$

समान रूप से, व्यास को d से निरूपित करते हुए,

$\mathrm {Area} ={\frac {\pi d^{2}}{4}}\approx 0{.}7854d^{2},$

यानी परिचालित वर्ग का लगभग 79% (जिसकी भुजा लंबाई d की है)।

वृत्त एक समतल वक्र है जो किसी चाप की लंबाई के लिए अधिकतम क्षेत्रफल को घेरता है। यह वृत्त को विविधताओं के कलन में एक समस्या से संबंधित करता है, अर्थात् आइसोपेरिमेट्रिक असमानता।

समीकरण

कार्तीय निर्देशांक

File:Circle center a b radius r.svg

त्रिज्या का वृत्त r = 1, केंद्र (a, b) = (1.2, −0.5)

एक वृत्त का समीकरण

एक x-y कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में, केंद्र निर्देशांक (a, b) और त्रिज्या r वाला वृत्त सभी बिंदुओं (x, y) का समुच्चय इस प्रकार है कि

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.$

वृत्त के समीकरण के रूप में जाना जाने वाला यह समीकरण, वृत्त के किसी भी बिंदु पर लागू पाइथागोरस प्रमेय का अनुसरण करता है: जैसा कि आसन्न आरेख में दिखाया गया है, त्रिज्या एक समकोण त्रिभुज का कर्ण है जिसकी अन्य भुजाएँ लंबाई की हैं |x -ए| और |y - b|। यदि वृत्त मूल बिंदु (0, 0) पर केंद्रित है, तो समीकरण सरल हो जाता है

$x^{2}+y^{2}=r^{2}.$

पैरामीट्रिक फॉर्म

समीकरण को पैरामीट्रिक रूप में त्रिकोणमितीय कार्यों साइन और कोसाइन का उपयोग करके लिखा जा सकता है:

$x=a+r\,\cos t,$

$y=b+r\,\sin t,$

जहाँ t 0 से 2 . की सीमा में एक पैरामीट्रिक चर हैπ, ज्यामितीय रूप से उस कोण के रूप में व्याख्या की जाती है जिसे किरण (a, b) से (x, y) तक धनात्मक x अक्ष के साथ बनाती है।

वृत्त का एक वैकल्पिक पैरामीट्रिजेशन है

$x=a+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},$

$y=b+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}.$

इस पैरामीटरकरण में, t से r के अनुपात को ज्यामितीय रूप से x अक्ष के समानांतर केंद्र से गुजरने वाली रेखा के स्टीरियोग्राफिक प्रक्षेपण के रूप में व्याख्या किया जा सकता है (स्पर्शरेखा आधा-कोण प्रतिस्थापन देखें)। हालाँकि, यह पैरामीटरकरण केवल तभी काम करता है जब t को न केवल सभी वास्तविकों के माध्यम से बल्कि अनंत पर एक बिंदु तक परास के लिए बनाया जाता है; अन्यथा, वृत्त के सबसे बाएं बिंदु को छोड़ दिया जाएगा।

3-बिंदु प्रपत्र

तीन बिंदुओं द्वारा निर्धारित वृत्त का समीकरण $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})$ नॉट ऑन ए लाइन वृत्त समीकरण के 3-बिंदु रूप के रूपांतरण से प्राप्त होता है:

Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "।" found.in 4:63"): {\displaystyle \frac{({\color{green}x} - x_1)({\color{green}x} - x_2) + ({\color{red}y} - y_1)({\color{red}y} - y_2)} {({\color{red}y} - y_1)({\color{green}x} - x_2) - ({\color{red}y} - y_2)({\color{green}x} - x_1)} = \frac{(x_3 - x_1)(x_3 - x_2) + (y_3 - y_1)(y_3 - y_2)} {(y_3 - y_1)(x_3 - x_2) - (y_3 - y_2)(x_3 - x_1)}।}

सजातीय रूप सजातीय निर्देशांक में, वृत्त के समीकरण वाले प्रत्येक शंकु खंड का रूप होता है

गणित>x^2 + y^2 - 2axz - 2byz + cz^2 = 0.</math>

यह सिद्ध किया जा सकता है कि एक शंकु खंड एक वृत्त होता है, जब इसमें बिंदु I(1: i: 0) और J(1: −i: 0) होते हैं (जब जटिल प्रक्षेप्य तल तक बढ़ाया जाता है)। इन बिंदुओं को अनंत पर वृत्ताकार बिंदु कहा जाता है।

ध्रुवीय निर्देशांक

ध्रुवीय निर्देशांक में, एक वृत्त का समीकरण होता है

गणित>r^2 - 2 r r_0 \cos(\theta - \phi) + r_0^2 = a^2,</math>

जहाँ a वृत्त की त्रिज्या है, math>(r, \theta)</math> वृत्त पर एक सामान्य बिंदु के ध्रुवीय निर्देशांक हैं, और math>(r_0, \phi)</math> वृत्त के केंद्र के ध्रुवीय निर्देशांक हैं (अर्थात, r₀ is the distance from the origin to the centre of the circle, and φ is the anticlockwise angle from the positive x axis to the line connecting the origin to the centre of the circle). For a circle centred on the origin, i.e. r₀ = 0, this reduces to simply r = a. When r₀ = a, या जब मूल वृत्त पर स्थित होता है, तो समीकरण बन जाता है

$r=2a\cos(\theta -\phi ).$

सामान्य स्थिति में, समीकरण को r के लिए हल किया जा सकता है, जिससे

$r$