क्वांटम चैनल

क्वांटम सूचना सिद्धांत में, क्वांटम चैनल संचार चैनल है जो क्वांटम सूचना देता है साथ ही मौलिक जानकारी प्रसारित कर सकता है। क्वांटम सूचना का उदाहरण कुबिट की स्थिति है। जहाँ मौलिक जानकारी का उदाहरण इंटरनेट पर प्रसारित टेक्स्ट दस्तावेज़ है।

अधिक औपचारिक रूप से क्वांटम चैनल ऑपरेटरों के स्थानों के मध्य पूरी तरह से धनात्मक (सीपी) ट्रेस-संरक्षित मानचित्र हैं। और दूसरे शब्दों में क्वांटम चैनल केवल एक क्वांटम ऑपरेशन है जिसे न केवल प्रणाली की कम गतिशीलता के रूप में देखा जाता है जब कि क्वांटम जानकारी ले जाने के लिए पाइपलाइन के रूप में भी देखा जाता है। (कुछ लेखक क्वांटम ऑपरेशन शब्द का उपयोग सख्ती से ट्रेस-संरक्षित मानचित्रों के लिए क्वांटम चैनल को आरक्षित करते समय ट्रेस-घटते मानचित्रों को भी सम्मिलित करने के लिए करते हैं।

स्मृतिहीन क्वांटम चैनल

वर्तमान में हम यह मान लेंगे कि मानी जाने वाली प्रणालियों के सभी स्तर समिष्ट, मौलिक या क्वांटम, परिमित-आयामी हैं।

अनुभाग शीर्षक में मेमोरीलेस का वही अर्थ है जो मौलिक सूचना सिद्धांत में है: किसी दिए गए समय में चैनल का आउटपुट केवल संबंधित इनपुट पर निर्भर करता है, न कि किसी पिछले इनपुट पर निर्भर करता है।

श्रोडिंगर चित्र

क्वांटम चैनलों पर विचार करें जो केवल क्वांटम सूचना प्रसारित करते हैं। यह वास्तव में क्वांटम ऑपरेशन है, जिसके गुणों का अभी हम सारांश प्रस्तुत करते हैं।

मान लीजिए $H_{A}$ और $H_{B}$ चैनल के क्रमशः भेजने और प्राप्त करने वाले सिरों के स्तर समिष्ट (परिमित-आयामी हिल्बर्ट समिष्ट) बनें। $L(H_{A})$ श्रोडिंगर चित्र में $H_{A}.$पर संचालकों के वर्ग को निरूपित करेगा | तथा विशुद्ध क्वांटम चैनल निम्नलिखित गुणों के साथ $H_{A}$ और $H_{B}$ पर कार्य करने वाले घनत्व आव्युह के मध्य मानचित्र $\Phi$ है

1. जैसा कि क्वांटम यांत्रिकी के अभिधारणाओं द्वारा आवश्यक है, $\Phi$ रैखिक होने की आवश्यकता है.
2. चूंकि घनत्व आव्युह धनात्मक $\Phi$ हैं धनात्मक तत्वों के शंकु (रैखिक बीजगणित) को संरक्षित करना चाहिए। और दूसरे शब्दों में, $\Phi$ की पूरी तरह से धनात्मक मानचित्रों पर चोई का प्रमेय है।
3. यदि इच्छानुसार परिमित आयाम n का एंसीला (क्वांटम कंप्यूटिंग) प्रणाली से जुड़ा है तब प्रेरित मानचित्र $I_{n}\otimes \Phi ,$ जहां I_n एंसीला पर पहचान मानचित्र है, वह भी धनात्मक होना चाहिए। अतः यह आवश्यक है $I_{n}\otimes \Phi$ सभी n के लिए धनात्मक है। ऐसे मानचित्र पूर्णतः धनात्मक कहे जाते हैं।
4. घनत्व आव्युह को ट्रेस 1 के लिए निर्दिष्ट किया गया है, इसलिए $\Phi$ निशान को सुरक्षित रखना है.

मानचित्र का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले विशेषण पूरी तरह से धनात्मक और ट्रेस संरक्षण को कभी-कभी संक्षिप्त रूप में सीपीटीपी कहा जाता है। साहित्य में, कभी-कभी चौथी संपत्ति को अशक्त कर दिया जाता है जिससे $\Phi$ केवल ट्रेस-बढ़ाने की आवश्यकता नहीं है। इस आलेख में, यह माना जाएगा कि सभी चैनल सीपीटीपी हैं।

हाइजेनबर्ग चित्र

H_A पर कार्य करने वाले घनत्व आव्युह केवल H_A पर ऑपरेटरों का उचित उपसमूह बनता है और प्रणाली B के लिए भी यही कहा जा सकता है। चूँकि, बार घनत्व आव्युह के मध्य रेखीय मानचित्र $\Phi$ निर्दिष्ट उपयोग किया गया है, मानक रैखिकता तर्क, परिमित-आयामी धारणा के साथ, हमें विस्तार करने की अनुमति देता है तथा ऑपरेटरों के पूर्ण समिष्ट के लिए विशिष्ट रूप से $\Phi$ दर्शाया जाता है । तथा यह निकटवर्ती मानचित्र $\Phi ^{*}$ की ओर ले जाता है , जो की हाइजेनबर्ग चित्र $\Phi$ में क्रिया का वर्णन करता है :

ऑपरेटरों L(H_A) और L(H_B) के समिष्ट हिल्बर्ट-श्मिट आंतरिक उत्पाद के साथ हिल्बर्ट समिष्ट हैं। इसलिए, $\Phi :L(H_{A})\rightarrow L(H_{B})$ को हिल्बर्ट समिष्ट के बीच एक मानचित्र के रूप में देखने पर, हम इसका सहायक $\Phi$ प्राप्त करते हैं जो कि दिया गया है

$\langle A,\Phi (\rho )\rangle =\langle \Phi ^{*}(A),\rho \rangle .$

जबकि $\Phi$ A पर स्थित अवस्थाओं को B पर स्थित अवस्थाओं पर ले जाता है, $\Phi ^{*}$ प्रणाली B पर अवलोकन योग्य वस्तुओं को A पर अवलोकन योग्य वस्तुओं से मानचित्र करता है। यह संबंध गतिशीलता के श्रोडिंगर और हाइजेनबर्ग विवरणों के मध्य के समान है। माप के आँकड़े अपरिवर्तित रहते हैं चाहे अवस्थाओं के संचालन के समय अवलोकन योग्य वस्तुओं को स्थिर माना जाए या इसके विपरीत होता है

इसे सीधे जांचा किया जा सकता है कि क्या $\Phi$ को ट्रेस संरक्षण करने वाला माना जाता है कि यह $\Phi ^{*}$ यूनिटल मानचित्र है, अर्थात,$\Phi ^{*}(I)=I$. भौतिक रूप से कहें तब, इसका कारण यह है कि, हाइजेनबर्ग चित्र में, चैनल प्रयुक्त करने के बाद देखने योग्य तुच्छ वस्तु तुच्छ ही रहती है।

मौलिक जानकारी

अभी तक हमने केवल क्वांटम चैनल को परिभाषित किया है जो कि केवल क्वांटम सूचना प्रसारित करता है। जैसा कि परिचय में कहा गया है, किसी चैनल के इनपुट और आउटपुट में मौलिक जानकारी भी सम्मिलित हो सकती है। इसका वर्णन करने के लिए अभी तक दिए गए सूत्रीकरण को कुछ बाद तक सामान्यीकृत करने की आवश्यकता है। तथा हाइजेनबर्ग चित्र में विशुद्ध क्वांटम चैनल, ऑपरेटरों के स्थानों के मध्य रैखिक मानचित्र Ψ है:

$\Psi :L(H_{B})\rightarrow L(H_{A})$

यह एकात्मक और पूरी तरह से धनात्मक (सीपी) है। और ऑपरेटर रिक्त समिष्ट को परिमित-आयामी C*-बीजगणित के रूप में देखा जा सकता है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि चैनल C*-बीजगणित के मध्य इकाई सीपी मानचित्र है:

$\Psi :{\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {A}}.$

फिर इस सूत्रीकरण में मौलिक जानकारी को सम्मिलित किया जा सकता है। मौलिक प्रणाली के अवलोकनों को क्रमविनिमेय C*-बीजगणित माना जा सकता है, अर्थात किसी समुच्चय पर $X$ निरंतर कार्यों का समिष्ट $C(X)$ होता है हम यह मानते है कि $X$ इसलिए सीमित है जिससे $C(X)$ को n-आयामी यूक्लिडियन स्पेस से पहचाना जा सकता है तथा $\mathbb {R} ^{n}$ प्रविष्टि-वार गुणन के साथ उपयोग किया जाता है।

इसलिए, हाइजेनबर्ग चित्र में, यदि मौलिक जानकारी इनपुट का भाग है, तब हम प्रासंगिक मौलिक अवलोकनों को सम्मिलित करने के लिए ${\mathcal {B}}$ को परिभाषित करेंगे । इसका उदाहरण चैनल होगा

$\Psi :L(H_{B})\otimes C(X)\rightarrow L(H_{A}).$

सूचना $L(H_{B})\otimes C(X)$ अभी भी C*-बीजगणित है। C*-बीजगणित का ${\mathcal {A}}$ के तत्व $a$ को यदि धनात्मक कहा जाता है तब कुछ $x$ के लिए $a=x^{*}x$ उपयोग किया जाता है . मानचित्र की सकारात्मकता तथापि परिभाषित की जाती है। यह लक्षण वर्णन सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत नहीं है; क्वांटम उपकरण को कभी-कभी क्वांटम और मौलिक जानकारी दोनों को संप्रेषित करने के लिए सामान्यीकृत गणितीय रूपरेखा के रूप में दिया जाता है। क्वांटम यांत्रिकी के स्वयंसिद्धीकरण में, मौलिक जानकारी को फ्रोबेनियस बीजगणित या फ्रोबेनियस श्रेणी में ले जाया जाता है।