हैंडल अपघटन

गणित में, एम-कई गुना एम का एक हैंडल अपघटन एक संघ है

$$\emptyset =M_{-1}\subset M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \dots \subset M_{m-1}\subset M_{m}=M$$

जहां प्रत्येक $M_{i}$ से प्राप्त किया जाता है $M_{i-1}$ को संलग्न करके $i$-हैंडल. एक हैंडल अपघटन एक सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स के समान कई गुना है। सीडब्ल्यू-अपघटन एक टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए है - कई मामलों में एक हैंडल अपघटन का उद्देश्य सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स के अनुरूप एक भाषा है, लेकिन चिकनी मैनिफोल्ड की दुनिया के लिए अनुकूलित है। इस प्रकार एक आई-हैंडल एक आई-सेल का सहज एनालॉग है। मोर्स सिद्धांत के माध्यम चिकनी कई गुना का हैंडल विघटन स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होता है। हैंडल संरचनाओं का संशोधन सेर्फ़ सिद्धांत से निकटता से जुड़ा हुआ है।

एक 3-गेंद जिसमें तीन 1-हैंडल लगे हुए हैं।

प्रेरणा

एक शून्य सेल और एक एन-सेल के साथ एन-गोले के मानक सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स | सीडब्ल्यू-अपघटन पर विचार करें। चिकनी मैनिफोल्ड के दृष्टिकोण से, यह गोले का एक पतित अपघटन है, क्योंकि इसकी चिकनी संरचना को देखने का कोई प्राकृतिक तरीका नहीं है $S^{n}$ इस अपघटन की नजर से - विशेष रूप से 0-सेल के पास की चिकनी संरचना विशेषता मानचित्र के व्यवहार पर निर्भर करती है $\chi :D^{n}\to S^{n}$ के एक पड़ोस में $S^{n-1}$.

सीडब्ल्यू-डीकंपोजिशन के साथ समस्या यह है कि कोशिकाओं के लिए संलग्न मानचित्र मैनिफोल्ड्स के बीच चिकने मानचित्रों की दुनिया में नहीं रहते हैं। इस दोष को ठीक करने के लिए रोगाणु अंतर्दृष्टि ट्यूबलर पड़ोस है। मैनिफोल्ड एम में एक बिंदु पी दिया गया है, इसका बंद ट्यूबलर पड़ोस $N_{p}$ से भिन्न है $D^{m}$, इस प्रकार हमने एम को असंयुक्त संघ में विघटित कर दिया है $N_{p}$ और $M\setminus \operatorname {int} (N_{p})$ उनकी सामान्य सीमा के साथ चिपका हुआ। यहां महत्वपूर्ण मुद्दा यह है कि चिपकाने वाला नक्शा एक भिन्नरूपता है। इसी तरह, एक चिकनी एम्बेडेड आर्क लें $M\setminus \operatorname {int} (N_{p})$, इसका ट्यूबलर पड़ोस भिन्न-भिन्न है $I\times D^{m-1}$. यह हमें लिखने की अनुमति देता है $M$ तीन रूपों के मिलन के रूप में, उनकी सीमाओं के कुछ हिस्सों से चिपके हुए: 1) $D^{m}$ 2) $I\times D^{m-1}$ और 3) चाप के खुले ट्यूबलर पड़ोस का पूरक $M\setminus \operatorname {int} (N_{p})$. ध्यान दें कि चिपकाने वाले सभी नक्शे चिकने नक्शे हैं—खासकर जब हम चिपकाते हैं $I\times D^{m-1}$ को $D^{m}$ तुल्यता संबंध एम्बेडिंग द्वारा उत्पन्न होता है $(\partial I)\times D^{m-1}$ में $\partial D^{m}$, जो ट्यूबलर पड़ोस द्वारा चिकना है।

हैंडल डीकंपोज़िशन स्टीफन स्माले का आविष्कार है। उनके मूल सूत्रीकरण में, एक j-हैंडल को m-मैनिफोल्ड M से जोड़ने की प्रक्रिया यह मानती है कि किसी के पास एक सहज एम्बेडिंग है $f:S^{j-1}\times D^{m-j}\to \partial M$. होने देना $H^{j}=D^{j}\times D^{m-j}$. अनेक गुना $M\cup _{f}H^{j}$ (शब्दों में, एम संघ ए जे-'एफ के साथ हैंडल) के असंयुक्त संघ को संदर्भित करता है $M$ और $H^{j}$ की पहचान के साथ $S^{j-1}\times D^{m-j}$ इसकी छवि के साथ $\partial M$, अर्थात।,

$$M\cup _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\times D^{m-j})\right)/\sim$$

जहां भागफल स्थान (टोपोलॉजी) $\sim$ द्वारा उत्पन्न होता है $(p,x)\sim f(p,x)$ सभी के लिए $(p,x)\in S^{j-1}\times D^{m-j}\subset D^{j}\times D^{m-j}$.

एक का कहना है कि जे-हैंडल संलग्न करके एम से एक मैनिफोल्ड एन प्राप्त किया जाता है यदि एम का बहुत सारे जे-हैंडल के साथ मिलन एन से भिन्न है। हैंडल अपघटन की परिभाषा तब परिचय के अनुसार है। इस प्रकार, एक मैनिफोल्ड में केवल 0-हैंडल के साथ एक हैंडल अपघटन होता है यदि यह गेंदों के असंयुक्त संघ के लिए भिन्न होता है। एक कनेक्टेड मैनिफोल्ड जिसमें केवल दो प्रकार के हैंडल होते हैं (यानी: 0-हैंडल और कुछ निश्चित जे के लिए जे-हैंडल) को हैंडलबॉडी कहा जाता है।

शब्दावली

एम यूनियन बनाते समय एक जे-हैंडल $H^{j}$

$$M{\cup <!--\; \cup \; -->}_f{H}^{}$$