साइन फ़ंक्शन

"एसजीएन" redirects here. For other uses, see एसजीएन (बहुविकल्पी).

Not to be confused with संबंध पर हस्ताक्षर करें or साइन फ़ंक्शन.

सिग्नल फ़ंक्शन $y=\operatorname {sgn} x$

गणित में, साइन फ़ंक्शन या साइनम फ़ंक्शन (विक्ट:साइनम#लैटिन से, साइन के लिए लैटिन भाषा) एक फ़ंक्शन (गणित) है जो वास्तविक संख्या का साइन (गणित) लौटाता है। गणितीय नोटेशन में साइन फ़ंक्शन को अक्सर इस प्रकार दर्शाया जाता है $\operatorname {sgn}(x)$.

परिभाषा

किसी वास्तविक संख्या का साइनम फ़ंक्शन $x$ एक टुकड़ा-वार फ़ंक्शन है जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$\operatorname {sgn} x:={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}$$

गुण

File:Discontinuity of the sign function at 0.svg

साइन फ़ंक्शन निरंतर कार्य नहीं है $x=0$.

किसी भी वास्तविक संख्या को उसके निरपेक्ष मान और उसके चिह्न फलन के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$$x=|x|\operatorname {sgn} x.$$

यह जब भी चलता है $x$ हमारे पास 0 के बराबर नहीं है

$$\operatorname {sgn} x={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}\,.$$

इसी प्रकार, किसी भी वास्तविक संख्या के लिए $x$,

$$|x|=x\operatorname {sgn} x.$$

हम यह भी सुनिश्चित कर सकते हैं कि:

$$\operatorname {sgn} x^{n}=(\operatorname {sgn} x)^{n}.$$

साइनम फ़ंक्शन शून्य पर अनिश्चितता तक (लेकिन शामिल नहीं) पूर्ण मान फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है। अधिक औपचारिक रूप से, एकीकरण सिद्धांत में यह एक कमजोर व्युत्पन्न है, और उत्तल कार्य सिद्धांत में 0 पर निरपेक्ष मान का उपविभेदक अंतराल है $[-1,1]$, साइन फ़ंक्शन भरना (पूर्ण मान का उप-अंतर 0 पर एकल-मान नहीं है)। ध्यान दें, की परिणामी शक्ति $x$ 0 है, जो सामान्य व्युत्पन्न के समान है $x$. संख्याएँ रद्द हो जाती हैं और हमारे पास केवल का चिह्न ही रह जाता है $x$.

$${\frac {{\text{d}}|x|}{{\text{d}}x}}=\operatorname {sgn} x{\text{ for }}x\neq 0\,.$$

साइनम फ़ंक्शन 0 को छोड़कर हर जगह व्युत्पन्न 0 के साथ भिन्न होता है। यह सामान्य अर्थों में 0 पर भिन्न नहीं होता है, लेकिन वितरण (गणित) में भेदभाव की सामान्यीकृत धारणा के तहत, साइनम फ़ंक्शन का व्युत्पन्न डिराक डेल्टा फ़ंक्शन का दो गुना है, जिसे पहचान का उपयोग करके प्रदर्शित किया जा सकता है

$$\operatorname {sgn} x=2H(x)-1\,,$$

कहाँ $H(x)$ मानक का उपयोग करते हुए हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन है $H(0)={\frac {1}{2}}$ औपचारिकता. इस पहचान का उपयोग करके, वितरणात्मक व्युत्पन्न प्राप्त करना आसान है:

$${\frac {{\text{d}}\operatorname {sgn} x}{{\text{d}}x}}=2{\frac {{\text{d}}H(x)}{{\text{d}}x}}=2\delta (x)\,.$$

साइनम फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण है

$$\int _{-\infty }^{\infty }(\operatorname {sgn} x)e^{-ikx}{\text{d}}x=PV{\frac {2}{ik}},$$

कहाँ $PV$ इसका मतलब है कॉची प्रमुख मूल्य लेना।

साइनम को इवरसन ब्रैकेट नोटेशन का उपयोग करके भी लिखा जा सकता है:

$$\operatorname {sgn} x=-[x<0]+[x>0]\,.$$

साइनम को फर्श और छत के कार्य और निरपेक्ष मान फ़ंक्शंस का उपयोग करके भी लिखा जा सकता है:

$$\mathrm{sgn}<!--\; \; -->x=\lfloor \frac{x}{|x|+1}\rfloor -<!--\; -\; -->\lfloor \frac{-<!--\; -\; -->x}{}$$