प्राइमोरियल

गणित में, और विशेष रूप से संख्या सिद्धांत में, प्राइमोरियल, जिसे # द्वारा निरूपित किया जाता है, फ़ैक्टोरियल फलन के समान प्राकृतिक संख्याओं से प्राकृतिक संख्याओं तक फलन (गणित) है, किन्तु धनात्मक पूर्णांकों को क्रमिक रूप से गुणा करने के अतिरिक्त, फलन केवल अभाज्य संख्याओं को गुणा करता है।

हार्वे डबनेर द्वारा लिखा गया प्राइमोरियल नाम, प्राइम्स के साथ सादृश्य बनाता है, ठीक उसी तरह जैसे फैक्टोरियल नाम कारकों से संबंधित है।

अभाज्य संख्याओं की परिभाषा

p n #

के कार्य के रूप में

n

, लघुगणकीय रूप से प्लॉट किया गया।

nवें अभाज्य संख्या $p n$ के लिए मूल $p n #$ को पहले $n$ अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है:^[1]^[2]

p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k}

,

जहाँ $p k$ $k$ वाँ अभाज्य संख्या है। उदाहरण के लिए $p 5 #$ पहले 5 अभाज्य संख्याओं के गुणनफल को दर्शाता है:

p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.

प्रथम पाँच मौलिक $p n #$ हैं:

2, 6, 30, 210, 2310, (sequence A002110 in the OEIS).

अनुक्रम में खाली उत्पाद के रूप में $p 0 # = 1$ भी सम्मिलित है। एसिम्प्टोटिकली प्राइमोरियल $p n #$ इसके अनुसार बढ़ते हैं:

p_{n}\#=e^{(1+o(1))n\log n},

जहां $o ( )$ लिटिल ओ अंकन है।^[2]

प्राकृत संख्याओं की परिभाषा

n!

(पीला) के कार्य के रूप में

n

, की तुलना में

n #

(लाल), दोनों को लघुगणकीय रूप से प्लॉट किया गया।

सामान्यतः, धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए, यह मौलिक $n#$ है, उन अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है जो इससे $n$ बड़े नहीं हैं ,^[1]^[3]

n\#=\prod _{p\leq n \atop p{\text{ prime}}}p=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#

,

जहाँ $π (n)$ अभाज्य-गिनती कार्य है (sequence A000720 in the OEIS), जो अभाज्य संख्या ≤ देता है यह इसके $n$ सामान्य है:

n\#={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0,\ 1\\(n-1)\#\times n&{\text{if }}n{\text{ is prime}}\\(n-1)\#&{\text{if }}n{\text{ is composite}}.\end{cases}}

उदाहरण के लिए, 12# उन अभाज्य संख्याओं के गुणनफल ≤ 12 को दर्शाता है :

12\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.

तब से $π (12) = 5$ , इसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है:

12\#=p_{\pi (12)}\#=p_{5}\#=2310.

$n #$ के पहले 12 मानों पर विचार करें :

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310।

हम इसे समग्र $n$ के लिए देखते हैं प्रत्येक पद $n #$ बस पिछले शब्द की नकल $(n - 1)#$ करता है , जैसा कि परिभाषा में दिया गया है। उपरोक्त उदाहरण में $12# = p 5 # = 11#$ हमारे पास है चूँकि 12 भाज्य संख्या है।

प्राइमोरियल पहले चेबीशेव फलन से संबंधित हैं जो $ϑ (n)$ or $θ (n)$ के अनुसार लिखा गया है:

\ln(n\#)=\vartheta (n).

^[4]

तब से $ϑ (n)$ स्पर्शोन्मुख रूप से दृष्टिकोण $n$ के बड़े मूल्यों $n$ के लिए , प्राइमोरियल्स इसलिए बढ़ते हैं:

n\#=e^{(1+o(1))n}.

सभी ज्ञात अभाज्य संख्याओं को गुणा करने का विचार अभाज्य संख्याओं की अनंतता के कुछ प्रमाणों में होता है, जहाँ इसका उपयोग किसी अन्य अभाज्य संख्या के अस्तित्व को प्राप्त करने के लिए किया जाता है।

विशेषताएँ

माना $p$ और $q$ दो आसन्न अभाज्य संख्याएँ है। किसी भी $n\in \mathbb {N}$ को देखते हुए जहां $p\leq n<q$

n\#=p\#

प्राइमोरियल के लिए, निम्नलिखित सन्निकटन ज्ञात है:^[5]

n\#\leq 4^{n}

.

टिप्पणियाँ:

प्रारंभिक विधि का प्रयोग करते हुए गणितज्ञ डेनिस हैन्सन ने यह $n\#\leq 3^{n}$ दर्शाया था ^[6]
अधिक उन्नत तरीकों का उपयोग करके, रोसेर और स्कोनफेल्ड ने $n\#\leq (2.763)^{n}$ दिखाया था ^[7]
प्रमेय 4, सूत्र 3.14 में रोसेर और स्कोनफेल्ड ने दिखाया $n\geq 563$ , $n\#\geq (2.22)^{n}$ के लिए ^[7]