सिंक फलन

"Sinc" redirects here. For the designation used in the United Kingdom for areas of wildlife interest, see Site of Importance for Nature Conservation. For the signal processing filter based on this function, see Sinc filter.

गणित, भौतिकी और अभियांत्रिकी में, sync फ़ंक्शन, द्वारा दर्शाया गया है sinc(x), इसके दो रूप हैं, सामान्यीकृत और असामान्यीकृत।

Sinc
File:Si sinc.svg Part of the normalized sinc (blue) and unnormalized sinc function (red) shown on the same scale
General information
सामान्य परिभाषा	$\operatorname {sinc} x={\begin{cases}{\dfrac {\sin x}{x}},&x\neq 0\\[2px]1,&x=0\end{cases}}$
आविष्कार की प्रेरणा	Telecommunication
समाधान की तिथि	1952
आवेदन के क्षेत्र	Signal processing, spectroscopy
Domain, Codomain and Image
डोमेन	$\mathbb {R}$
इमेज	$\left[-0.217234\ldots ,1\right]$
Basic features
समता	Even
Specific values
शून्य पर	1
+∞ पर मान	0
मान −∞ पर	0
मॅक्सिमा	1 at $x=0$
न्यूनतम	$-0.21723\ldots$ at $x=\pm 4.49341\ldots$
Specific features
रूट	$\pi k,k\in \mathbb {Z} _{\neq 0}$
Related functions
पारस्परिक	${\begin{cases}x\csc x,&x\neq 0\\1,&x=0\end{cases}}$
व्युत्पन्न	$\operatorname {sinc} 'x={\begin{cases}{\dfrac {\cos x-\operatorname {sinc} x}{x}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{cases}}$
एंटीडेरिवेटिव	$\int \operatorname {sinc} x\,dx=\operatorname {Si} (x)+C$
Series definition
टेलर सीरीज	$\operatorname {sinc} x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{k}{x}^{2k}}{\left(2k+1\right)!}}$

फ़ाइल:Sinc.wav|thumb|sinc ऑडियो के रूप में कार्य करता है, 2000 Hz पर (शून्य के आसपास ±1.5 सेकंड)।

गणित में, ऐतिहासिक असामान्यीकृत सिन फ़ंक्शन को परिभाषित किया गया है x ≠ 0 द्वारा

$$\operatorname {sinc} x={\frac {\sin x}{x}}.$$

वैकल्पिक रूप से, असामान्य सिन फ़ंक्शन को अक्सर नमूनाकरण समारोह कहा जाता है, जिसे Sa(x) के रूप में दर्शाया गया है। अंकीय संकेत प्रक्रिया और सूचना सिद्धांत में, सामान्यीकृत सिन फ़ंक्शन को आमतौर पर परिभाषित किया जाता है x ≠ 0 द्वारा

$$\operatorname {sinc} x={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}.$$

किसी भी स्थिति में, मान पर x = 0 को सीमित मान के रूप में परिभाषित किया गया है

$$\operatorname {sinc} 0:=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{ax}}=1$$

सभी वास्तविक के लिए a ≠ 0 (सीमा को Squeeze_theorem#Second_example का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है)।

सामान्यीकृत स्थिरांक के कारण वास्तविक संख्याओं पर फ़ंक्शन का अभिन्न 1 के बराबर हो जाता है (जबकि असामान्यीकृत साइन फ़ंक्शन के समान इंटीग्रल का मान pi होता है।π). और उपयोगी संपत्ति के रूप में, सामान्यीकृत सिन फ़ंक्शन के शून्य गैर-शून्य पूर्णांक मान हैं x.

सामान्यीकृत सिन फ़ंक्शन बिना किसी स्केलिंग के आयताकार फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण है। इसका उपयोग व्हिटेकर-शैनन इंटरपोलेशन फॉर्मूला की अवधारणा में किया जाता है, जो उस सिग्नल के समान दूरी वाले नाइक्विस्ट-शैनन सैंपलिंग प्रमेय से सतत बैंडलिमिटेड सिग्नल है।

दोनों परिभाषाओं के बीच मात्र अंतर स्वतंत्र चर (कार्टेशियन समन्वय प्रणाली) की स्केलिंग में हैx अक्ष) के कारक द्वारा π. दोनों ही मामलों में, शून्य पर हटाने योग्य विलक्षणता पर फ़ंक्शन का मान सीमा मान 1 माना जाता है। तब sync फ़ंक्शन हर जगह विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन होता है और इसलिए संपूर्ण फ़ंक्शन होता है।

फ़ंक्शन को कार्डिनल साइन या साइन कार्डिनल फ़ंक्शन भी कहा गया है। शब्द sync /ˈsɪŋk/ फिलिप वुडवर्ड द्वारा पेश किया गया था|फिलिप एम. वुडवर्ड ने अपने 1952 के लेख सूचना सिद्धांत और दूरसंचार में उलटा संभावना में कहा था, जिसमें उन्होंने कहा था कि फ़ंक्शन फूरियर विश्लेषण और इसके अनुप्रयोगों में इतनी बार होता है कि यह अपने स्वयं के कुछ नोटेशन के योग्य प्रतीत होता है , और उनकी 1953 की पुस्तक प्रोबेबिलिटी एंड इंफॉर्मेशन थ्योरी, विद एप्लीकेशंस टू राडार। फ़ंक्शन को पहली बार गणितीय रूप से लॉर्ड रेले द्वारा अपनी अभिव्यक्ति (रेले के फॉर्मूला) में पहली तरह के शून्य-क्रम गोलाकार बेसेल फ़ंक्शन के लिए इस रूप में प्राप्त किया गया था।

गुण

File:Si cos.svg

असामान्य, लाल सिन फ़ंक्शन के स्थानीय मैक्सिमा और मिनिमा (छोटे सफेद बिंदु) नीले कोसाइन फ़ंक्शन के साथ इसके प्रतिच्छेदन से मेल खाते हैं।

असामान्यीकृत सिनक की शून्य क्रॉसिंग गैर-शून्य पूर्णांक गुणकों पर होती है π, जबकि सामान्यीकृत साइन की शून्य क्रॉसिंग गैर-शून्य पूर्णांकों पर होती है।

असामान्य सिनक का स्थानीय मैक्सिमा और मिनिमा कोज्या फ़ंक्शन के साथ इसके प्रतिच्छेदन से मेल खाता है। वह है, sin(ξ)/ξ = cos(ξ) सभी बिंदुओं के लिए ξ जहां का व्युत्पन्न है sin(x)/x शून्य है और इस प्रकार स्थानीय चरम पर पहुँच जाता है। यह sync फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से निम्नानुसार है:

$${\frac {d}{dx}}\operatorname {sinc} (x)={\frac {\cos(x)-\operatorname {sinc} (x)}{x}}.$$

के लिए अनंत श्रृंखला के पहले कुछ पद x का समन्वय n-वां अंत सकारात्मक के साथ xसमन्वय हैं

$$x_n=q-<!--\; -\; -->q^{-<!--\; -\; -->1}-<!--\; -\; -->$$