संचयी

संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, संचयी {{mvar|κ_n}संभाव्यता वितरण का } मात्राओं का एक समूह है जो वितरण के क्षण (गणित) का विकल्प प्रदान करता है। कोई भी दो संभाव्यता वितरण जिनके क्षण समान हैं, उनके संचयी भी समान होंगे, और इसके विपरीत।

पहला क्यूम्युलेंट माध्य है, दूसरा क्यूम्युलेंट विचरण है, और तीसरा क्यूम्युलेंट तीसरे केंद्रीय क्षण के समान है। लेकिन चौथे और उच्च क्रम के संचयक केंद्रीय क्षणों के बराबर नहीं हैं। कुछ मामलों में क्यूमुलेंट के संदर्भ में समस्याओं का सैद्धांतिक उपचार क्षणों का उपयोग करने की तुलना में सरल होता है। विशेष रूप से, जब दो या दो से अधिक यादृच्छिक चर सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र होते हैं, तो n-उनके योग का वें-क्रम संचयी उनके योग के बराबर है n-वें क्रम के संचयी। साथ ही, सामान्य वितरण के तीसरे और उच्च-क्रम संचयक शून्य हैं, और यह इस संपत्ति वाला एकमात्र वितरण है।

क्षणों की तरह, जहां संयुक्त क्षणों का उपयोग यादृच्छिक चर के संग्रह के लिए किया जाता है, संयुक्त संचयकों को परिभाषित करना संभव है।

परिभाषा

एक यादृच्छिक चर के संचयी X को क्यूमुलेंट-जनरेटिंग फ़ंक्शन का उपयोग करके परिभाषित किया गया है K(t), जो क्षण-उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन का प्राकृतिक लघुगणक है:

$K(t)=\log \operatorname {E} \left[e^{tX}\right].$

संचयी κ_n क्यूम्युलेंट जनरेटिंग फ़ंक्शन के पावर श्रृंखला विस्तार से प्राप्त किए जाते हैं:

$K(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=\kappa _{1}{\frac {t}{1!}}+\kappa _{2}{\frac {t^{2}}{2!}}+\kappa _{3}{\frac {t^{3}}{3!}}+\cdots =\mu t+\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots .$

यह विस्तार मैकलॉरिन श्रृंखला है, इसलिए n-वां संचयी उपरोक्त विस्तार को विभेदित करके प्राप्त किया जा सकता है n बार और शून्य पर परिणाम का मूल्यांकन:

$\kappa _{n}=K^{(n)}(0).$

यदि क्षण-उत्पन्न करने वाला फ़ंक्शन मौजूद नहीं है, तो क्यूमुलेंट्स को बाद में चर्चा किए गए क्यूम्युलेंट और क्षणों के बीच संबंध के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है।

क्यूम्युलेंट जनरेटिंग फ़ंक्शन की वैकल्पिक परिभाषा

कुछ लेखक क्यूम्यलेंट-जनरेटिंग फ़ंक्शन को विशेषता फ़ंक्शन (संभावना सिद्धांत) के प्राकृतिक लघुगणक के रूप में परिभाषित करना पसंद करते हैं, जिसे कभी-कभी दूसरा विशेषता फ़ंक्शन भी कहा जाता है,

$H(t)=\log \operatorname {E} \left[e^{itX}\right]=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {(it)^{n}}{n!}}=\mu it-\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots$

का एक फायदा H(t)—कुछ अर्थों में कार्य K(t) विशुद्ध रूप से काल्पनिक तर्कों के लिए मूल्यांकन किया गया - यही है E[e^itX] सभी वास्तविक मूल्यों के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है t यहां तक ​​कि जब E[e^tX] सभी वास्तविक मूल्यों के लिए अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है t, जैसे कि तब घटित हो सकता है जब इसकी संभावना बहुत अधिक हो X का परिमाण बड़ा है. यद्यपि समारोह H(t) अच्छी तरह से परिभाषित किया जाएगा, फिर भी यह नकल करेगा K(t) इसकी मैकलॉरिन श्रृंखला की लंबाई के संदर्भ में, जो तर्क में रैखिक क्रम से आगे (या, शायद ही कभी, यहां तक ​​​​कि) तक विस्तारित नहीं हो सकती हैt, और विशेष रूप से अच्छी तरह से परिभाषित संचयकों की संख्या नहीं बदलेगी। फिर भी, जब भी H(t) के पास लंबी मैकलॉरिन श्रृंखला नहीं है, इसका उपयोग सीधे विश्लेषण करने और, विशेष रूप से, यादृच्छिक चर जोड़ने में किया जा सकता है। कॉची वितरण (जिसे लोरेंत्ज़ियन भी कहा जाता है) और अधिक सामान्यतः, स्थिर वितरण (लेवी वितरण से संबंधित) दोनों वितरण के उदाहरण हैं, जिनके लिए उत्पादन कार्यों की शक्ति-श्रृंखला विस्तार में केवल सीमित रूप से कई अच्छी तरह से परिभाषित शब्द हैं।

==कुछ बुनियादी गुण== ${\textstyle n}$वें>-वें संचयी ${\textstyle \kappa _{n}(X)}$ एक यादृच्छिक चर का (वितरण)। ${\textstyle X}$ निम्नलिखित गुणों का आनंद लेता है:

• अगर ${\textstyle n>1}$ और ${\textstyle c}$ तब स्थिर है (अर्थात यादृच्छिक नहीं)। ${\textstyle \kappa _{n}(X+c)=\kappa _{n}(X),}$ यानी संचयी अनुवाद अपरिवर्तनीय है। (अगर ${\textstyle n=1}$ तो हमारे पास हैं ${\textstyle \kappa _{1}(X+c)=\kappa _{1}(X)+c.)}$
• अगर ${\textstyle c}$ तब स्थिर है (अर्थात यादृच्छिक नहीं)। ${\textstyle \kappa _{n}(cX)=c^{n}\kappa _{n}(X),}$ यानी ${\textstyle n}$-वें क्यूमुलेंट डिग्री का सजातीय बहुपद है${\textstyle n}$.
• यदि यादृच्छिक चर ${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{m}}$ फिर स्वतंत्र हैं
  $${\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}_n(X_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+X_m)={}_{}$$