लघुगणकीय माप

लघुगणकीय माप (या लॉग माप ) कॉम्पैक्ट विधियों से मूल्यों की विस्तृत श्रृंखला पर संख्यात्मक डेटा प्रदर्शित करने की विधि होती है। और रेखीय संख्या रेखा के विपरीत, जिसमें दूरी की प्रत्येक इकाई समान राशि से जोड़ने के अनुरूप होती है, लघुगणकीय माप पर, लंबाई की प्रत्येक इकाई पिछले मान को उसी राशि से गुणा करने के अनुरूप होती है। इसलिए, ऐसा (माप) अरेखीय है: संख्या 1, 2, 3, 4, 5, और इसी प्रकार , समान दूरी पर नहीं हैं। किन्तु , संख्या 10, 100, 1000, 10000, और 100000 समान दूरी पर होंगे। इसी प्रकार , संख्या 2, 4, 8, 16, 32, और इसी प्रकार , समान दूरी पर होगी। सदैव घातीय वृद्धि वक्र लॉग माप पर प्रदर्शित होते हैं, अन्यथा वे छोटे प्लॉट (ग्राफिक्स) के अन्दर फिट होने के लिए अधिक तीव्र से बढ़ते है ।

File:Logarithmic scale.svg

0.1 से 100 तक का लघुगणकीय माप

File:Internet host count 1988-2012 log scale.png

इंटरनेट होस्ट का अर्ध-लॉग प्लॉट समय के साथ लघुगणकीय माप पर दिखाया गया है

सामान्य उपयोग

इस प्रकार से माप पर लंबाई जोड़कर या घटाकर संख्याओं को गुणा या विभाजित करने के लिए स्लाइड नियम पर चिह्नों को लॉग माप में व्यवस्थित किया जाता है।

स्लाइड नियम के दो लघुगणकीय माप

निम्नलिखित सामान्यतः उपयोग किए जाने वाले लघुगणकीय मापों के उदाहरण हैं, जहां उच्च मात्रा के परिणामस्वरूप उच्च मूल्य होता है:

• पृथ्वी में भूकंप और गति (भौतिकी) की बल के लिए रिक्टर परिमाण माप और पल परिमाण माप (एमएमएस)
• ध्वनि स्तर (बहुविकल्पी), यूनिट डेसिबल के साथ
  

  लघुगणकीय माप उन मूल्यों की तुलना करना आसान बनाता है जो उच्च श्रेणी को कवर करते हैं, जैसे कि इस मानचित्र में।
• आयाम, क्षेत्र और पॉवर मात्रा के लिए नेपर
• आवृत्ति स्तर, यूनिट्स सेंट (संगीत), अल्प दूसरा, प्रमुख दूसरा और सप्टक के साथ म्यूजिक में नोट्स की सापेक्ष पिच के लिए
• आंकड़ों में कठिनाइयाँ के लिए लॉग इन करें
• पलेर्मो तकनीकी प्रभाव संकट माप
• लघुगणकीय समयरेखा
• फोटोग्राफिक एक्सपोजर के अनुपात के लिए एफ -स्टॉप की गणना करना
• नाइन का नियम कम संभावनाओं की रेटिंग के लिए उपयोग किया जाता है
• ऊष्मप्रवैगिकी में एन्ट्रापी
• सूचना सिद्धांत में सूचना
• मिट्टी के कण आकार वितरण वक्र

File:Solarmap.gif

लघुगणकीय माप का उपयोग करके सौर मंडल का मानचित्र और अल्फा सेंट ौरी की दूरी।

इस प्रकार से सामान्यतः उपयोग किए जाने वाले लघुगणकीय मापों के उदाहरण निम्नलिखित हैं, जहां उच्च मात्रा का परिणाम कम (या ऋणात्मक) मान होता है:

• अम्लता के लिए पीएच
• तारों की चमक के लिए स्पष्ट परिमाण
• भूविज्ञान में कण आकार (अनाज के आकार) के लिए क्रुम्बिन माप
• पारदर्शी नमूनों द्वारा प्रकाश का अवशोषण

जिससे हमारी कुछ इंद्रियां लघुगणकीय फैशन (वेबर-फेचनर नियम) में काम करती हैं, जोकी इन इनपुट मात्राओं के लिए लघुगणकीय माप विशेष रूप से उपयुक्त बनाती हैं। विशेष रूप से, हमारी सुनने की भावना (भावना) आवृत्तियों के समान अनुपात को पिच में समान अंतर के रूप में मानती है। इसके अतिरिक्त , पृथक जनजाति में छोटे बच्चों के अध्ययन ने कुछ संस्कृतियों में संख्याओं का सबसे प्राकृतिक प्रदर्शन होने के लिए लघुगणकीय माप दिखाया है।

ग्राफिक प्रतिनिधित्व

File:Logarithmic Scales-mkII.svg

लॉग-लॉग। प्लॉट किए गए ग्राफ़ हैं: y = 10^x (red), y = x (green), y = log_e(x) (blue).

शीर्ष बाएँ ग्राफ़ X और Y अक्षों में रैखिक है, और Y- अक्ष 0 से 10 तक है। आधार -10 लॉग माप का उपयोग निचले बाएँ ग्राफ़ के Y अक्ष के लिए किया जाता है, और Y अक्ष 0.1 से लेकर होता है 1,000।

शीर्ष दायां ग्राफ़ केवल X अक्ष के लिए लॉग-10 माप का उपयोग करता है, और निचला दायाँ ग्राफ़ X अक्ष और Y अक्ष दोनों के लिए लॉग-10 माप का उपयोग करता है।

किन्तु लघुगणकीय माप पर आँकड़ों का प्रस्तुतीकरण सहायक हो सकता है जब आँकड़ा:

• मूल्यों की उच्च श्रृंखला को सम्मिलित करता है, क्योंकि वास्तविक मूल्यों के अतिरिक्त मूल्यों के लघुगणक का उपयोग विस्तृत श्रृंखला को अधिक प्रबंधनीय आकार में कम कर देता है;
• घातीय नियम या पॉवर नियम हो सकते हैं, क्योंकि ये सीधी रेखाओं के रूप में दिखाई देंगे।

इस प्रकार से स्लाइड नियम में लघुगणकीय माप होते हैं, और नामांकित सदैव लघुगणकीय माप को नियोजित करते हैं। दो संख्याओं का गुणोत्तर माध्य संख्याओं के मध्य में होता है। कंप्यूटर ग्राफिक्स के आगमन से प्रथम , लघुगणकीय ग्राफ़ पेपर सामान्यतः उपयोग किया जाने वाला वैज्ञानिक उपकरण था।

लॉग-लॉग प्लॉट

Main article: लॉग-लॉग प्लॉट

File:Log-log plot example.svg

रेखा के समीकरण के लॉग-लॉग माप पर प्लॉट करें

यदि प्लॉट के ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज दोनों अक्षों को लघुगणकीय रूप से माप किया जाता है, तो प्लॉट को लॉग-लॉग प्लॉट कहा जाता है।

अर्ध-लघुगणक प्लॉट

Main article: सेमी-लॉग प्लॉट

यदि केवल कोटि या भुज को लघुगणकीय रूप से माप किया जाता है, तो भूखंड को अर्ध-लघुगणकीय भूखंड के रूप में संदर्भित किया जाता है।

विस्तार

इस प्रकार से संशोधित लॉग रूपांतरण को नकारात्मक इनपुट (y<0) के लिए परिभाषित किया जा सकता है और शून्य इनपुट (y=0) के लिए विलक्षणता से बचने के लिए जिससे सममित लॉग प्लॉट का उत्पादन किया जा सके:

$Y=\operatorname {sgn}(y)\cdot \log _{10}(1+|y/C|)$

निरंतर स्थिरांक= C=1/ln (10) के लिए।

लघुगणकीय इकाइयाँ

लघुगणकीय इकाई माप की इकाई है जिसका उपयोग लघुगणकीय माप पर मात्रा (भौतिक मात्रा या गणितीय) को व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है, जो कि मात्रा के अनुपात और संदर्भ के लिए प्रयुक्त लघुगणक फलन के मूल्य के आनुपातिक होने के रूप में होता है। एक ही प्रकार की मात्रा। इकाई का चुनाव सामान्यतः मात्रा के प्रकार और लघुगणक के आधार को दर्शाया जाता है।

उदाहरण

इस प्रकार के लघुगणकीय इकाइयों के उदाहरणों में सूचना की इकाइयों (बिट, बाइट), सूचना और सूचना एन्ट्रॉपी (एनएटी (यूनिट), (नेट, शैनन, बैन), और सिग्नल स्तर (डेसिबल, बेल, नेपर) की इकाइयां सम्मिलित की जाती हैं। लघुगणकीय फ़्रीक्वेंसी मात्रा का उपयोग इलेक्ट्रॉनिक्स (दशक (ऑक्टेव ), सप्तक (इलेक्ट्रॉनिक्स)) और संगीत पिच अंतराल (संगीत) (ऑक्टेव, सेमीटोन, सेंट ), आदि) के लिए किया जाता है। अन्य लघुगणकीय माप इकाइयों में रिक्टर परिमाण माप बिंदु सम्मिलित किये जाते हैं।

इसके अतिरिक्त , कई औद्योगिक उपाय लघुगणकीय हैं, जैसे लघुगणकीय रेसिस्टर लैडर के लिए मानक मान, अमेरिकी वायर गेज़, तार और सुई के लिए बर्मिंघम गेज, और इसी तरह से उपयोग किया जाता इत्यादि।

सूचना की इकाइयां

• बिट, बाइट
• हार्टले (इकाई)
• नेट (इकाई)
• शैनन (इकाई)

स्तर या स्तर अंतर की इकाइयां

Further information: स्तर (लघुगणकीय मात्रा)

• बेल (इकाई), डेसिबल
• नेपर

आवृत्ति अंतराल की इकाइयां

• दशक, डिसाइडेकेड, सावर्ट
• सप्तक, सप्तक,स्वर, अर्धस्वर, सेंट

उदाहरणों की तालिका

इकाई	लघुगणक का आधार	अंतर्निहित मात्रा	व्याख्या
बिट	2	संभावित संदेशों की संख्या	सूचना की मात्रा
बाइट्स	28 = 256	संभावित संदेशों की संख्या	सूचना की मात्रा
डेसिबल	10(1/10) ≈ 1.259	किसी भी शक्ति की मात्रा (उदाहरण के लिए ध्वनि शक्ति)	ध्वनि पावर स्तर (उदाहरण के लिए)
डेसिबल	10(1/20) ≈ 1.122	कोई भी मूल-शक्ति मात्रा ( उदाहरण के लिए ध्वनि दबाव,)	ध्वनि दबाव स्तर (उदाहरण के लिए)
अर्द्धस्वर	2(1/12) ≈ 1.059	ध्वनि की आवृत्ति	पिच अंतराल

डेसिबल की दो परिभाषाएँ समतुल्य हैं, क्योंकि पॉवर , जड़-पॉवर और क्षेत्र मात्राओं का अनुपात पॉवर , जड़-पॉवर और क्षेत्र मात्राओं के संबंधित अनुपात के वर्ग के बराबर है। जड़-पॉवर मात्राएँ।

यह भी देखें

• एलेक्ज़ेंडर ग्राहम बेल
• बोडे प्लॉट
• ज्यामितीय माध्य (लॉगमाप में अंकगणितीय माध्य)
• जॉन नेपियर
• स्तर (लघुगणकीय मात्रा)
• लघुगणक
• लघुगणक माध्य
• सेमीरिंग लॉग करें
• मुख्य संख्या
• सेमी-लॉग प्लॉट

माप

• आदेश का आकार

अनुप्रयोग

• एंट्रॉपी
• एंट्रॉपी (सूचना सिद्धांत)
• पीएच
• रिक्टर परिमाण माप

अग्रिम पठन

• Dehaene, Stanislas; Izard, Véronique; Spelke, Elizabeth; Pica, Pierre (2008). "Log or linear? Distinct intuitions of the number scale in Western and Amazonian indigene cultures". Science. 320 (5880): 1217–20. Bibcode:2008Sci...320.1217D. doi:10.1126/science.1156540. PMC 2610411. PMID 18511690.
• Tuffentsammer, Karl; Schumacher, P. (1953). "Normzahlen – die einstellige Logarithmentafel des Ingenieurs" [Preferred numbers - the engineer's single-digit logarithm table]. Werkstattechnik und Maschinenbau (in Deutsch). 43 (4): 156.
• Tuffentsammer, Karl (1956). "Das Dezilog, eine Brücke zwischen Logarithmen, Dezibel, Neper und Normzahlen" [The decilog, a bridge between logarithms, decibel, neper and preferred numbers]. VDI-Zeitschrift (in Deutsch). 98: 267–274.
• Ries, Clemens (1962). Normung nach Normzahlen [Standardization by preferred numbers] (in Deutsch) (1 ed.). Berlin, Germany: Duncker & Humblot Verlag. ISBN 978-3-42801242-8. (135 pages)
• Paulin, Eugen (2007-09-01). Logarithmen, Normzahlen, Dezibel, Neper, Phon - natürlich verwandt! [Logarithms, preferred numbers, decibel, neper, phon - naturally related!] (PDF) (in Deutsch). Archived (PDF) from the original on 2016-12-18. Retrieved 2016-12-18.

बाहरी संबंध

• "GNU Emacs Calc Manual: Logarithmic Units". Gnu.org. Retrieved 2016-11-23.
• Non-Newtonian calculus website