डायगामा फंक्शन

For Barnes' gamma function of two variables, see double gamma function.

डिगामा फ़ंक्शन $\psi (z)$,
डोमेन रंग का उपयोग करके कल्पना की गई

डिगामा के वास्तविक भाग प्लॉट और अगले तीन बहुगामा वास्तविक रेखा के साथ कार्य करते हैं

गणित में, डिगामा फ़ंक्शन को गामा फ़ंक्शन के लघुगणकीय व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है:

$\psi (z)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\ln \Gamma (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}.$

यह बहुविवाह कार्यों में से पहला है। यह फ़ंक्शन मोनोटोनिक फ़ंक्शन और अवतल फ़ंक्शन चालू है $(0,\infty )$, और यह स्पर्शोन्मुख विश्लेषण के रूप में है

$\psi (z)\sim \ln {z}-{\frac {1}{2z}},$

बड़े तर्कों के लिए ($|z|\rightarrow \infty$) वृत्ताकार क्षेत्र में $|\arg z|<\pi -\varepsilon$ कुछ अनंतिम सकारात्मक स्थिरांक के साथ $\varepsilon$. . . .

डिगामा फ़ंक्शन को अक्सर इस रूप में दर्शाया जाता है $\psi _{0}(x),\psi ^{(0)}(x)$ या Ϝ (पुरातन ग्रीक व्यंजन डिगामा का अपरकेस रूप जिसका अर्थ है गामा|डबल-गामा)।

हार्मोनिक संख्याओं से संबंध

गामा फ़ंक्शन समीकरण का पालन करता है

$\Gamma (z+1)=z\Gamma (z).\,$

के संबंध में व्युत्पन्न लेना z देता है:

$\Gamma '(z+1)=z\Gamma '(z)+\Gamma (z)\,$

द्वारा विभाजित करना Γ(z + 1) या समकक्ष zΓ(z) देता है:

${\frac {\Gamma '(z+1)}{\Gamma (z+1)}}={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}+{\frac {1}{z}}$

या:

$\psi (z+1)=\psi (z)+{\frac {1}{z}}$

चूँकि हार्मोनिक संख्याएँ धनात्मक पूर्णांकों के लिए परिभाषित की जाती हैं n जैसा

$H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},$

डिगामा फ़ंक्शन उनसे संबंधित है

$\psi (n)=H_{n-1}-\gamma ,$

कहाँ H₀ = 0, और γ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है। अर्ध-पूर्णांक तर्कों के लिए डिगामा फ़ंक्शन मान लेता है

$\psi \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}.$

अभिन्न प्रतिनिधित्व

यदि का वास्तविक भाग z सकारात्मक है तो गॉस के कारण डिगामा फ़ंक्शन में निम्नलिखित अभिन्न प्रतिनिधित्व होता है:

$\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(z)={\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}(\frac{e^{}}{}$