डायगामा फंक्शन

For Barnes' gamma function of two variables, see double gamma function.

डिगामा फ़ंक्शन $\psi (z)$,
डोमेन रंग का उपयोग करके कल्पना की गई

डिगामा के वास्तविक भाग प्लॉट और अगले तीन बहुगामा वास्तविक रेखा के साथ कार्य करते हैं

गणित में, डिगामा फ़ंक्शन को गामा फ़ंक्शन के लघुगणकीय व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है:

$\psi (z)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\ln \Gamma (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}.$

यह बहुविवाह कार्यों में से पहला है। यह फ़ंक्शन मोनोटोनिक फ़ंक्शन और अवतल फ़ंक्शन चालू है $(0,\infty )$, और यह स्पर्शोन्मुख विश्लेषण के रूप में है

$\psi (z)\sim \ln {z}-{\frac {1}{2z}},$

बड़े तर्कों के लिए ($|z|\rightarrow \infty$) वृत्ताकार क्षेत्र में $|\arg z|<\pi -\varepsilon$ कुछ अनंतिम सकारात्मक स्थिरांक के साथ $\varepsilon$. . . .

डिगामा फ़ंक्शन को अक्सर इस रूप में दर्शाया जाता है $\psi _{0}(x),\psi ^{(0)}(x)$ या Ϝ (पुरातन ग्रीक व्यंजन डिगामा का अपरकेस रूप जिसका अर्थ है गामा|डबल-गामा)।

हार्मोनिक संख्याओं से संबंध

गामा फ़ंक्शन समीकरण का पालन करता है

$\Gamma (z+1)=z\Gamma (z).\,$

के संबंध में व्युत्पन्न लेना z देता है:

$\Gamma '(z+1)=z\Gamma '(z)+\Gamma (z)\,$

द्वारा विभाजित करना Γ(z + 1) या समकक्ष zΓ(z) देता है:

${\frac {\Gamma '(z+1)}{\Gamma (z+1)}}={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}+{\frac {1}{z}}$

या:

$\psi (z+1)=\psi (z)+{\frac {1}{z}}$

चूँकि हार्मोनिक संख्याएँ धनात्मक पूर्णांकों के लिए परिभाषित की जाती हैं n जैसा

$H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},$

डिगामा फ़ंक्शन उनसे संबंधित है

$\psi (n)=H_{n-1}-\gamma ,$

कहाँ H₀ = 0, और γ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है। अर्ध-पूर्णांक तर्कों के लिए डिगामा फ़ंक्शन मान लेता है

$\psi \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}.$

अभिन्न प्रतिनिधित्व

यदि का वास्तविक भाग z सकारात्मक है तो गॉस के कारण डिगामा फ़ंक्शन में निम्नलिखित अभिन्न प्रतिनिधित्व होता है:

$\psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\right)\,dt.$

इस अभिव्यक्ति को यूलर-माशेरोनी स्थिरांक के लिए एक अभिन्न पहचान के साथ जोड़ना $\gamma$ देता है:

$\psi (z+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}\left({\frac {1-t^{z}}{1-t}}\right)\,dt.$

इंटीग्रल यूलर की हार्मोनिक संख्या है $H_{z}$, अतः पिछला सूत्र भी लिखा जा सकता है

$\psi (z+1)=\psi (1)+H_{z}.$

एक परिणाम पुनरावृत्ति संबंध का निम्नलिखित सामान्यीकरण है:

$\psi (w+1)-\psi (z+1)=H_{w}-H_{z}.$

डिरिचलेट के कारण एक अभिन्न प्रतिनिधित्व है::$\psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left(e^{-t}-{\frac {1}{(1+t)^{z}}}\right)\,{\frac {dt}{t}}.$ एसिम्प्टोटिक विस्तार की शुरुआत देने के लिए गॉस के अभिन्न प्रतिनिधित्व में हेरफेर किया जा सकता है $\psi$.

$\psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right)e^{-tz}\,dt.$

यह सूत्र गामा फ़ंक्शन के लिए बिनेट के पहले अभिन्न अंग का भी परिणाम है। इंटीग्रल को लाप्लास परिवर्तन के रूप में पहचाना जा सकता है।

गामा फ़ंक्शन के लिए बिनेट का दूसरा इंटीग्रल एक अलग सूत्र देता है $\psi$ जो स्पर्शोन्मुख विस्तार के पहले कुछ पद भी देता है:

$\psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-2\int _{0}^{\infty }{\frac {t\,dt}{(t^{2}+z^{2})(e^{2\pi t}-1)}}.$

की परिभाषा से $\psi$ और गामा फ़ंक्शन का अभिन्न प्रतिनिधित्व प्राप्त होता है

$\psi (z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\ln(t)e^{-t}\,dt,$

साथ $\Re z>0$.

अनंत उत्पाद प्रतिनिधित्व

कार्यक्रम $\psi (z)/\Gamma (z)$ एक संपूर्ण कार्य है,और इसे अनंत उत्पाद द्वारा दर्शाया जा सकता है

${\frac {\psi (z)}{\Gamma (z)}}=-e^{2\gamma z}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{x_{k}}}\right)e^{\frac {z}{x_{k}}}.$

यहाँ $x_{k}$ का kवाँ शून्य है $\psi$ (नीचे देखें), और $\gamma$ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है।

नोट: यह भी बराबर है $-{\frac {d}{dz}}{\frac {1}{\Gamma (z)}}$ डिगामा फ़ंक्शन की परिभाषा के कारण: ${\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}=\psi (z)$.

श्रृंखला प्रतिनिधित्व

श्रृंखला सूत्र

गामा फ़ंक्शन के लिए यूलर का उत्पाद सूत्र, कार्यात्मक समीकरण और यूलर-माशेरोनी स्थिरांक के लिए एक पहचान के साथ मिलकर, डिगामा फ़ंक्शन के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति उत्पन्न करता है, जो नकारात्मक पूर्णांक (अब्रामोविट्ज़ और स्टेगन 6.3.16) के बाहर जटिल विमान में मान्य है::${\begin{aligned}\psi (z+1)&=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+z}}\right),\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots ,\\&=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n(n+z)}}\right),\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots .\end{aligned}}$ समान रूप से,

${\begin{aligned}\psi (z)&=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+z}}\right),\qquad z\neq 0,-1,-2,\ldots ,\\&=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z-1}{(n+1)(n+z)}},\qquad z\neq 0,-1,-2,\ldots ,\\\end{aligned}}$

तर्कसंगत कार्यों के योग का मूल्यांकन

उपरोक्त पहचान का उपयोग फॉर्म के योग का मूल्यांकन करने के लिए किया जा सकता है

$\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p(n)}{q(n)}},$

कहाँ p(n) और q(n) के बहुपद हैं n.

पर आंशिक अंश निष्पादित करना u_n जटिल क्षेत्र में, उस स्थिति में जब सभी जड़ें q(n)सरल जड़ें हैं,

$u_{n}={\frac {p(n)}{q(n)}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}.$

श्रृंखला को एकाकार करने के लिए,

$\lim _{n\to \infty }nu_{n}=0,$

अन्यथा श्रृंखला हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) से बड़ी होगी और इस प्रकार अलग हो जाएगी। इस तरह

$\sum _{k=1}^{m}a_{k}=0,$

और

${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}a_{k}\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\&=\sum _{k=1}^{m}\left(a_{k}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\right)\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}{\big (}\psi (b_{k})+\gamma {\big )}\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}\psi (b_{k}).\end{aligned}}$

उच्च रैंक बहुविवाह फ़ंक्शन के श्रृंखला विस्तार के साथ एक सामान्यीकृत सूत्र इस प्रकार दिया जा सकता है

$\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{(n+b_{k})^{r_{k}}}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {(-1)^{r_{k}}}{(r_{k}-1)!}}a_{k}\psi ^{(r_{k}-1)}(b_{k}),$

बशर्ते बाईं ओर की श्रृंखला अभिसरण हो।

टेलर श्रृंखला

डिगामा में एक तर्कसंगत ज़ेटा श्रृंखला है, जो टेलर श्रृंखला द्वारा दी गई है z = 1. यह है

$\psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }\zeta (k+1)(-z)^{k},$

जिसके लिए अभिसरण होता है |z| < 1. यहाँ, ζ(n) रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन है। यह श्रृंखला हर्विट्ज़ ज़ेटा फ़ंक्शन के लिए संबंधित टेलर की श्रृंखला से आसानी से ली गई है।

न्यूटन श्रृंखला

डिगामा के लिए न्यूटन श्रृंखला, जिसे कभी-कभी स्टर्न श्रृंखला भी कहा जाता है, पढ़ता

$\psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\binom {s}{k}}$

कहाँ (^s
_k) द्विपद गुणांक है. इसका सामान्यीकरण भी किया जा सकता है

$\psi (s+1)=-\gamma -{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m-1}{\frac {m-k}{s+k}}-{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\left\{{\binom {s+m}{k+1}}-{\binom {s}{k+1}}\right\},\qquad \Re (s)>-1,$

कहाँ m = 2,3,4,...

ग्रेगरी के गुणांक, कॉची संख्या और दूसरे प्रकार के बर्नौली बहुपद के साथ श्रृंखला

केवल तर्कसंगत तर्कों के लिए तर्कसंगत गुणांक वाले डिगामा के लिए विभिन्न श्रृंखलाएं मौजूद हैं। विशेष रूप से, ग्रेगरी गुणांक वाली श्रृंखला|ग्रेगरी के गुणांक G_n है

$\psi (v)=\ln v-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>0,$

$\psi (v)=2\ln \Gamma (v)-2v\ln v+2v+2\ln v-\ln 2\pi -2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}(2){\big |}}{(v)_{n}}}\,(n-1)!,\qquad \Re (v)>0,$

$\psi (v)=3\ln \Gamma (v)-6\zeta '(-1,v)+3v^{2}\ln {v}-{\frac {3}{2}}v^{2}-6v\ln(v)+3v+3\ln {v}-{\frac {3}{2}}\ln 2\pi +{\frac {1}{2}}-3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}(3){\big |}}{(v)_{n}}}\,(n-1)!,\qquad \Re (v)>0,$

कहाँ (v)_n गिरती और बढ़ती फैक्टोरियल है (v)_n = v(v+1)(v+2) ... (v+n-1), G_n(k) उच्च क्रम के ग्रेगरी गुणांक हैं G_n(1) = G_n, Γ गामा फ़ंक्शन है और ζ हर्विट्ज़ ज़ेटा फ़ंक्शन है।दूसरी तरह की कॉची संख्याओं के साथ समान श्रृंखला C_n पढ़ता है:$\psi (v)=\ln(v-1)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {C_{n}(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>1,$ दूसरे प्रकार के बर्नौली बहुपदों वाली एक श्रृंखला का रूप निम्नलिखित है:$\psi (v)=\ln(v+a)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)\,(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>-a,$ कहाँ ψ_n(a) जनरेटिंग द्वारा परिभाषित दूसरे प्रकार के बर्नौली बहुपद हैं समीकरण

${\frac {z(1+z)^{a}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _{n}(a)\,,\qquad |z|<1\,,$

इसे सामान्यीकृत किया जा सकता है

$\psi (v)={\frac {1}{r}}\sum _{l=0}^{r-1}\ln(v+a+l)+{\frac {1}{r}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}N_{n,r}(a)(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>-a,\quad r=1,2,3,\ldots$

जहां बहुपद N_n,r(a) निम्नलिखित जनरेटिंग समीकरण द्वारा दिए गए हैं

${\frac {(1+z)^{a+m}-(1+z)^{a}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }N_{n,m}(a)z^{n},\qquad |z|<1,$

ताकि N_n,1(a) = ψ_n(a).गामा फ़ंक्शन के लघुगणक के साथ समान अभिव्यक्तियों में ये सूत्र शामिल हैं: $\psi (v)={\frac {1}{v+a-{\tfrac {1}{2}}}}\left\{\ln \Gamma (v+a)+v-{\frac {1}{2}}\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)}{(v)_{n}}}(n-1)!\right\},\qquad \Re (v)>-a,$ और

$\psi (v)={\frac {1}{{\tfrac {1}{2}}r+v+a-1}}\left\{\ln \Gamma (v+a)+v-{\frac {1}{2}}\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{r}}\sum _{n=0}^{r-2}(r-n-1)\ln(v+a+n)+{\frac {1}{r}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}N_{n+1,r}(a)}{(v)_{n}}}(n-1)!\right\},$

कहाँ $\Re (v)>-a$ और $r=2,3,4,\ldots$.

प्रतिबिंब सूत्र

डिगामा फ़ंक्शन गामा फ़ंक्शन के समान एक प्रतिबिंब सूत्र को संतुष्ट करता है:

$\psi (1-x)-\psi (x)=\pi \cot \pi x$

पुनरावृत्ति सूत्र और लक्षण वर्णन

डिगामा फ़ंक्शन पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करता है

$\psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}.$

इस प्रकार इसे दूरबीन कहा जा सकता है 1 / x, एक के लिए है

$\Delta [\psi ](x)={\frac {1}{x}}$

कहाँ Δ फॉरवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर है। यह हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) के आंशिक योग के पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करता है, इस प्रकार सूत्र का अर्थ है

$\psi (n)=H_{n-1}-\gamma$

कहाँ γ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है।

अधिक सामान्यतः, किसी के पास होता है

$\psi (1+z)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{z+k}}\right).$

के लिए $\mathrm {Re} (z)>0$. एक अन्य शृंखला विस्तार है:

$\psi (1+z)=\ln(z)+{\frac {1}{2z}}-\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {B_{2j}}{2jz^{2j}}}$,

कहाँ $B_{2j}$ बर्नौली संख्याएँ हैं। यह शृंखला सभी के लिए अलग-अलग है z और इसे स्टर्लिंग श्रृंखला के रूप में जाना जाता है।

वास्तव में, ψ कार्यात्मक समीकरण का एकमात्र समाधान है

$F(x+1)=F(x)+{\frac {1}{x}}$

वह मोनोटोनिक फ़ंक्शन है R⁺ और संतुष्ट करता है F(1) = −γ. यह तथ्य विशिष्टता की तुरंत पुष्टि करता है Γ फ़ंक्शन को इसकी पुनरावृत्ति समीकरण और उत्तलता प्रतिबंध दिया गया है। इसका तात्पर्य उपयोगी अंतर समीकरण से है:

$\psi (x+N)-\psi (x)=\sum _{k=0}^{N-1}{\frac {1}{x+k}}$

डिगामा फ़ंक्शन से जुड़े कुछ सीमित योग

डिगामा फ़ंक्शन के लिए कई परिमित योग सूत्र हैं। मूल योग सूत्र, जैसे

$\sum _{r=1}^{m}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-m(\gamma +\ln m),$

$\sum _{r=1}^{m}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \exp {\dfrac {2\pi rki}{m}}=m\ln \left(1-\exp {\frac {2\pi ki}{m}}\right),\qquad k\in \mathbb {Z} ,\quad m\in \mathbb {N} ,\ k\neq m.$

$\sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {2\pi rk}{m}}=m\ln \left(2\sin {\frac {k\pi }{m}}\right)+\gamma ,\qquad k=1,2,\ldots ,m-1$

$\sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \sin {\frac {2\pi rk}{m}}={\frac {\pi }{2}}(2k-m),\qquad k=1,2,\ldots ,m-1$

गॉस के कारण हैं। अधिक जटिल सूत्र, जैसे

$\sum _{r=0}^{m-1}\psi \left({\frac {2r+1}{2m}}\right)\cdot \cos {\frac {(2r+1)k\pi }{m}}=m\ln \left(\tan {\frac {\pi k}{2m}}\right),\qquad k=1,2,\ldots ,m-1$

$\sum _{r=0}^{m-1}\psi \left({\frac {2r+1}{2m}}\right)\cdot \sin {\dfrac {(2r+1)k\pi }{m}}=-{\frac {\pi m}{2}},\qquad k=1,2,\ldots ,m-1$

$\sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}=-{\frac {\pi (m-1)(m-2)}{6}}$

$\sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot {\frac {r}{m}}=-{\frac {\gamma }{2}}(m-1)-{\frac {m}{2}}\ln m-{\frac {\pi }{2}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r}{m}}\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}$

$\sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi r}{m}}=-{\frac {\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r\cdot \sin {\dfrac {2\pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z}$

$\sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \sin {\dfrac {(2\ell +1)\pi r}{m}}=-(\gamma +\ln 2m)\cot {\frac {(2\ell +1)\pi }{2m}}+\sin {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {\ln \sin {\dfrac {\pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z}$

$\sum _{r=1}^{m-1}\psi ^{2}\left({\frac {r}{m}}\right)=(m-1)\gamma ^{2}+m(2\gamma +\ln 4m)\ln {m}-m(m-1)\ln ^{2}2+{\frac {\pi ^{2}(m^{2}-3m+2)}{12}}+m\sum _{\ell =1}^{m-1}\ln ^{2}\sin {\frac {\pi \ell }{m}}$

कुछ आधुनिक लेखकों के कार्यों के कारण हैं (उदाहरण के लिए ब्लागॉचिन (2014) में परिशिष्ट बी देखें)).

हमारे पास भी है

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+...+{\frac {1}{k-1}}-\gamma ={\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(1+{\frac {n}{k}}\right),k=2,3,...$

गॉस का डिगामा प्रमेय

धनात्मक पूर्णांकों के लिए r और m (r < m), डिगामा फ़ंक्शन को यूलर के स्थिरांक और प्रारंभिक कार्यों की एक सीमित संख्या के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है

$\psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-\gamma -\ln(2m)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {r\pi }{m}}\right)+2\sum _{n=1}^{\left\lfloor {\frac {m-1}{2}}\right\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi nr}{m}}\right)\ln \sin \left({\frac {\pi n}{m}}\right)$

जो, अपने पुनरावृत्ति समीकरण के कारण, सभी तर्कसंगत तर्कों के लिए मान्य है।

स्पर्शोन्मुख विस्तार

डिगामा फ़ंक्शन में स्पर्शोन्मुख विस्तार होता है

$\psi (z)\sim \ln z+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (1-n)}{z^{n}}}=\ln z-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{n}}{nz^{n}}},$

कहाँ B_k है kवें बर्नौली संख्या और ζ रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन है। इस विस्तार की पहली कुछ शर्तें हैं:

$\psi (z)\approx \ln z-{\frac {1}{2z}}-{\frac {1}{12z^{2}}}+{\frac {1}{120z^{4}}}-{\frac {1}{252z^{6}}}+{\frac {1}{240z^{8}}}-{\frac {1}{132z^{10}}}+{\frac {691}{32760z^{12}}}-{\frac {1}{12z^{14}}}+\cdots .$

यद्यपि अनंत योग किसी के लिए एकत्रित नहीं होता है z, कोई भी परिमित आंशिक योग तेजी से सटीक हो जाता है z बढ़ती है।

योग में यूलर-मैकलॉरिन फॉर्मूला लागू करके विस्तार पाया जा सकता है

$\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{z+n}}\right)$

विस्तार को गामा फ़ंक्शन के लिए बिनेट के दूसरे अभिन्न सूत्र से आने वाले अभिन्न प्रतिनिधित्व से भी प्राप्त किया जा सकता है। विस्तार $t/(t^{2}+z^{2})$ एक ज्यामितीय श्रृंखला के रूप में और बर्नौली संख्याओं के अभिन्न प्रतिनिधित्व को प्रतिस्थापित करने से उपरोक्त के समान ही स्पर्शोन्मुख श्रृंखला बनती है। इसके अलावा, श्रृंखला के केवल सीमित रूप से कई पदों का विस्तार करने से एक स्पष्ट त्रुटि पद के साथ एक सूत्र मिलता है:

$\psi (z)=\ln z-{\frac {1}{2z}}-\sum _{n=1}^{N}{\frac {B_{2n}}{2nz^{2n}}}+(-1)^{N+1}{\frac {2}{z^{2N}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2N+1}\,dt}{(t^{2}+z^{2})(e^{2\pi t}-1)}}.$

असमानताएं

कब x > 0, कार्यक्रम

$\ln x-{\frac {1}{2x}}-\psi (x)$

पूरी तरह से एकरस और विशेष रूप से सकारात्मक है। यह गामा फ़ंक्शन के लिए बिनेट के पहले इंटीग्रल से आने वाले इंटीग्रल प्रतिनिधित्व पर लागू मोनोटोन फ़ंक्शंस पर बर्नस्टीन के प्रमेय का परिणाम है। इसके अतिरिक्त, उत्तलता असमानता द्वारा $1+t\leq e^{t}$, इस प्रतिनिधित्व में इंटीग्रैंड ऊपर से घिरा हुआ है $e^{-tz}/2$. Consequently

${\frac {1}{x}}-\ln x+\psi (x)$

पूर्णतः एकरस भी है। यह सभी के लिए इसका अनुसरण करता है x > 0,

$\ln x-{\frac {1}{x}}\leq \psi (x)\leq \ln x-{\frac {1}{2x}}.$

यह होर्स्ट अल्ज़र के एक प्रमेय को पुनः प्राप्त करता है। अल्जेर ने यह भी साबित किया s ∈ (0, 1),

${\frac {1-s}{x+s}}<\psi (x+1)-\psi (x+s),$

संबंधित सीमाएँ एलेज़ोविक, जिओर्डानो और पेकारिक द्वारा प्राप्त की गईं, जिन्होंने यह साबित किया x > 0 ,

$\ln(x+{\tfrac {1}{2}})-{\frac {1}{x}}<\psi (x)<\ln(x+e^{-\gamma })-{\frac {1}{x}},$

कहाँ $\gamma =-\psi (1)$ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है। स्थिरांक ($0.5$ और $e^{-\gamma }\approx 0.56$) इन सीमाओं में प्रदर्शित होना सर्वोत्तम संभव है। माध्य मान प्रमेय गौत्शी की असमानता के निम्नलिखित अनुरूप का तात्पर्य करता है: यदि x > c, कहाँ c ≈ 1.461 डिगामा फ़ंक्शन का अद्वितीय सकारात्मक वास्तविक मूल है, और यदि s > 0, तब

$\exp \left((1-s){\frac {\psi '(x+1)}{\psi (x+1)}}\right)\leq {\frac {\psi (x+1)}{\psi (x+s)}}\leq \exp \left((1-s){\frac {\psi '(x+s)}{\psi (x+s)}}\right).$

इसके अलावा, समानता केवल यदि और केवल यदि ही मान्य है s = 1. शास्त्रीय गामा फ़ंक्शन के लिए हार्मोनिक माध्य-मूल्य असमानता से प्रेरित होकर, होर्ज्ट अल्ज़र और ग्राहम जेमिसन ने अन्य बातों के अलावा, डिगामा फ़ंक्शन के लिए एक हार्मोनिक माध्य-मूल्य असमानता साबित की:

$-\gamma \leq {\frac {2\psi (x)\psi ({\frac {1}{x}})}{\psi (x)+\psi ({\frac {1}{x}})}}$ के लिए $x>0$ समानता यदि और केवल यदि ही मान्य है $x=1$.

गणना और सन्निकटन

स्पर्शोन्मुख विस्तार गणना करने का एक आसान तरीका देता है ψ(x) जब का वास्तविक भाग x बड़ी है। गणना करना ψ(x) छोटे के लिए x, पुनरावृत्ति संबंध

$\psi (x+1)={\frac {1}{x}}+\psi (x)$

के मान को स्थानांतरित करने के लिए उपयोग किया जा सकता है x उच्च मूल्य पर। बील शिफ्ट करने के लिए उपरोक्त पुनरावृत्ति का उपयोग करने का सुझाव देता है x 6 से अधिक मान पर और फिर उपरोक्त विस्तार को उपरोक्त शर्तों के साथ लागू करना x¹⁴ कट ऑफ, जो पर्याप्त से अधिक सटीकता प्रदान करता है (शून्य के निकट को छोड़कर कम से कम 12 अंक)।

जैसा x अनंत तक जाता है, ψ(x) मनमाने ढंग से दोनों के करीब हो जाता है ln(x − 1/2) और ln x. से नीचे जा रहा हूँ x + 1 को x, ψ से घट जाती है 1 / x, ln(x − 1/2) से घट जाती है ln (x + 1/2) / (x − 1/2), जो से अधिक है 1 / x, और ln x से घट जाती है ln (1 + 1 / x), जो कि कम है 1 / x. इससे हम किसी भी सकारात्मकता को देखते हैं x से अधिक 1/2,

$\psi (x)\in \left(\ln \left(x-{\tfrac {1}{2}}\right),\ln x\right)$

या, किसी भी सकारात्मक के लिए x,

$\exp \psi (x)\in \left(x-{\tfrac {1}{2}},x\right).$

घातांकीय exp ψ(x) लगभग है x − 1/2 बड़े के लिए x, लेकिन करीब हो जाता है x छोटे स्तर पर x, 0 पर आ रहा है x = 0.

के लिए x < 1, हम इस तथ्य के आधार पर सीमा की गणना कर सकते हैं कि 1 और 2 के बीच, ψ(x) ∈ [−γ, 1 − γ], इसलिए

$\psi (x)\in \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma ,1-{\frac {1}{x}}-\gamma \right),\quad x\in (0,1)$

या

$\exp \psi (x)\in \left(\exp \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma \right),e\exp \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma \right)\right).$

उपरोक्त स्पर्शोन्मुख श्रृंखला से ψ, कोई इसके लिए एक स्पर्शोन्मुख श्रृंखला प्राप्त कर सकता है exp(−ψ(x)). श्रृंखला समग्र व्यवहार से अच्छी तरह मेल खाती है, यानी, यह बड़े तर्कों के लिए असम्बद्ध रूप से व्यवहार करती है, और मूल में असीमित बहुलता का शून्य भी है।

${\frac {1}{\exp \psi (x)}}\sim {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{2\cdot x^{2}}}+{\frac {5}{4\cdot 3!\cdot x^{3}}}+{\frac {3}{2\cdot 4!\cdot x^{4}}}+{\frac {47}{48\cdot 5!\cdot x^{5}}}-{\frac {5}{16\cdot 6!\cdot x^{6}}}+\cdots$

यह टेलर के विस्तार के समान है exp(−ψ(1 / y)) पर y = 0, लेकिन यह अभिसरण नहीं होता है। (फ़ंक्शन अनंत पर विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन नहीं है।) एक समान श्रृंखला मौजूद है exp(ψ(x)) जो शुरू होता है $\exp \psi (x)\sim x-{\frac {1}{2}}.$ यदि कोई इसके लिए स्पर्शोन्मुख श्रृंखला की गणना करता है ψ(x+1/2) इससे पता चलता है कि कोई विषम शक्तियाँ नहीं हैं x (कोई नहीं है x⁻¹पद). इससे निम्नलिखित असममित विस्तार होता है, जो सम क्रम की कंप्यूटिंग शर्तों को बचाता है।

$\exp \psi \left(x+{\tfrac {1}{2}}\right)\sim x+{\frac {1}{4!\cdot x}}-{\frac {37}{8\cdot 6!\cdot x^{3}}}+{\frac {10313}{72\cdot 8!\cdot x^{5}}}-{\frac {5509121}{384\cdot 10!\cdot x^{7}}}+\cdots$

विशेष मूल्य

1. गॉस के डिगामा प्रमेय|गॉस के डिगामा प्रमेय के परिणामस्वरूप, डिगामा फ़ंक्शन में तर्कसंगत संख्याओं के लिए बंद रूप में मान होते हैं। कुछ नीचे सूचीबद्ध हैं:

${\begin{aligned}\psi (1)&=-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=-2\ln {2}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{3}}\right)&=-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3\ln {3}}{2}}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{4}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-3\ln {2}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{6}}\right)&=-{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{2}}-2\ln {2}-{\frac {3\ln {3}}{2}}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{8}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\frac {\pi +\ln \left({\sqrt {2}}+1\right)-\ln \left({\sqrt {2}}-1\right)}{\sqrt {2}}}-\gamma .\end{aligned}}$

इसके अलावा, का लघुगणकीय व्युत्पन्न लेकर $|\Gamma (bi)|^{2}$ या $|\Gamma ({\tfrac {1}{2}}+bi)|^{2}$ कहाँ $b$ वास्तविक मूल्य है, इसका अनुमान आसानी से लगाया जा सकता है

$\operatorname {Im} \psi (bi)={\frac {1}{2b}}+{\frac {\pi }{2}}\coth(\pi b),$

$\operatorname {Im} \psi ({\tfrac {1}{2}}+bi)={\frac {\pi }{2}}\tanh(\pi b).$

गॉस के डिगामा प्रमेय के अलावा, सामान्य रूप से वास्तविक भाग के लिए ऐसा कोई बंद सूत्र ज्ञात नहीं है। उदाहरण के लिए, हमारे पास काल्पनिक इकाई पर संख्यात्मक सन्निकटन है

$\operatorname {Re} \psi (i)=-\gamma -\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n-1}{n^{3}+n^{2}+n+1}}\approx 0.09465.$

डिगामा फ़ंक्शन की जड़ें

डिगामा फ़ंक्शन की जड़ें जटिल-मूल्यवान गामा फ़ंक्शन के सैडल बिंदु हैं। इस प्रकार वे सभी वास्तविक रेखा पर स्थित हैं#वास्तविक बीजगणित में। सकारात्मक वास्तविक अक्ष पर एकमात्र वास्तविक-मूल्यवान गामा फ़ंक्शन का अद्वितीय न्यूनतम है R⁺ पर x₀ = 1.46163214496836234126.... अन्य सभी ऋणात्मक अक्ष पर ध्रुवों के बीच एकल होते हैं:

x₁ = −0.50408300826445540925...

x₂ = −1.57349847316239045877...

x₃ = −2.61072086844414465000...

x₄ = −3.63529336643690109783...

$\vdots$

पहले से ही 1881 में, चार्ल्स हर्मिट ने अवलोकन किया था वह

$x_{n}=-n+{\frac {1}{\ln n}}+O\left({\frac {1}{(\ln n)^{2}}}\right)$

स्पर्शोन्मुख रूप से धारण करता है। जड़ों के स्थान का बेहतर अनुमान इसके द्वारा दिया गया है

$x_{n}\approx -n+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\pi }{\ln n}}\right)\qquad n\geq 2$

और एक और शब्द का प्रयोग करने पर यह और भी बेहतर हो जाता है

$x_{n}\approx -n+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\pi }{\ln n+{\frac {1}{8n}}}}\right)\qquad n\geq 1$

जो दोनों प्रतिबिंब सूत्र से निकलते हैं

$0=\psi (1-x_{n})=\psi (x_{n})+{\frac {\pi }{\tan \pi x_{n}}}$

और प्रतिस्थापित करना ψ(x_n)इसके अभिसारी स्पर्शोन्मुख विस्तार द्वारा नहीं। इस विस्तार का सही दूसरा पद है 1 / 2n, जहां दिया गया छोटा के साथ जड़ों का अनुमान लगाने में अच्छा काम करता है n.

हर्माइट के सूत्र का एक और सुधार दिया जा सकता है::$x_{n}=-n+{\frac {1}{\log n}}-{\frac {1}{2n(\log n)^{2}}}+O\left({\frac {1}{n^{2}(\log n)^{2}}}\right).$ शून्य के संबंध में, निम्नलिखित अनंत योग पहचान हाल ही में इस्तवान मेज़ो और माइकल हॉफमैन द्वारा सिद्ध की गई थीं

${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}}}&=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{2}},\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{3}}}&=-4\zeta (3)-\gamma ^{3}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}},\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{4}}}&=\gamma ^{4}+{\frac {\pi ^{4}}{9}}+{\frac {2}{3}}\gamma ^{2}\pi ^{2}+4\gamma \zeta (3).\end{aligned}}$

सामान्य तौर पर, फ़ंक्शन

$Z(k)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{k}}}$

निर्धारित किया जा सकता है और उद्धृत लेखकों द्वारा इसका विस्तार से अध्ययन किया गया है।

निम्नलिखित परिणाम:${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}+x_{n}}}&=-2,\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}-x_{n}}}&=\gamma +{\frac {\pi ^{2}}{6\gamma }}\end{aligned}}$ भी सच है.

नियमितीकरण

डिगामा फ़ंक्शन अपसारी अभिन्नों के नियमितीकरण में प्रकट होता है

$\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x+a}},$

इस अभिन्न को एक भिन्न सामान्य हार्मोनिक श्रृंखला द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, लेकिन निम्नलिखित मान को श्रृंखला से जोड़ा जा सकता है

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+a}}=-\psi (a).$

यह भी देखें

• बहुविवाह समारोह
• त्रिगामा समारोह
• डिगामा फ़ंक्शन का चेबीशेव बहुपद Wimp, Jet (1961). "अभिन्न परिवर्तनों के लिए बहुपद सन्निकटन". Math. Comp. 15 (74): 174–178. doi:10.1090/S0025-5718-61-99221-3.

बाहरी संबंध

• OEIS sequence A020759 (Decimal expansion of (-1)*Gamma'(1/2)/Gamma(1/2) where Gamma(x) denotes the Gamma function)—psi(1/2)

OEIS: A047787 psi(1/3), OEIS: A200064 psi(2/3), OEIS: A020777 psi(1/4), OEIS: A200134 psi(3/4), OEIS: A200135 to OEIS: A200138 psi(1/5) to psi(4/5).