अधिकतम अवयव और न्यूनतम अवयव

सेट का हसे आरेख

P

60 के विभाजक, आंशिक रूप से संबंध द्वारा आदेशित

x

विभाजित

y

. लाल उपसमुच्चय

S=\{1,2,3,4\}

दो अधिकतम तत्व हैं, अर्थात। 3 और 4, और एक न्यूनतम तत्व, अर्थात। 1, जो कि इसका सबसे छोटा अवयव भी है।

गणित में, विशेष रूप से क्रम सिद्धांत में, एक उपसमुच्चय का सबसे बड़ा तत्व $S$ आंशिक रूप से आदेशित सेट (पॉसेट) का एक तत्व है $S$ के हर दूसरे तत्व से बड़ा है $S$ . कम से कम तत्व शब्द परिभाषित द्वैत (आदेश सिद्धांत) है, अर्थात यह एक तत्व है $S$ के हर दूसरे तत्व से छोटा है $S.$

परिभाषाएँ

होने देना $(P,\leq )$ एक पूर्व-आदेशित सेट बनें और जाने दें $S\subseteq P.$ एक तत्व $g\in P$ बताया गया a greatest element of $S$ यदि $g\in S$ और अगर यह भी संतुष्ट करता है:

s\leq g

सभी के लिए

s\in S.

का उपयोग करके $\,\geq \,$ के बजाय $\,\leq \,$ उपरोक्त परिभाषा में, कम से कम तत्व की परिभाषा $S$ पाया जाता है। स्पष्ट रूप से, एक तत्व $l\in P$ बताया गया a least element of $S$ यदि $l\in S$ और अगर यह भी संतुष्ट करता है:

l\leq s

सभी के लिए

s\in S.

यदि

(P,\leq )

तब भी आंशिक रूप से आदेशित सेट है

S

अधिकतम एक सबसे बड़ा तत्व हो सकता है और इसमें कम से कम एक तत्व हो सकता है। जब भी का एक सबसे बड़ा तत्व

S

मौजूद है और अद्वितीय है तो इस तत्व को कहा जाता हैthe का सबसे बड़ा तत्व

S

. शब्दावलीthe कम से कम तत्व

S

इसी तरह परिभाषित किया गया है।

यदि $(P,\leq )$ सबसे बड़ा तत्व है (सबसे कम तत्व के रूप में) तो इस तत्व को भी कहा जाता है a top (प्रति. a bottom) का $(P,\leq ).$

ऊपरी/निचली सीमा से संबंध

महानतम तत्व ऊपरी सीमा से निकटता से संबंधित हैं।

होने देना $(P,\leq )$ एक पूर्व-आदेशित सेट बनें और जाने दें $S\subseteq P.$ एकupper bound of $S$ in $(P,\leq )$ एक तत्व है $u$ ऐसा है कि $u\in P$ तथा $s\leq u$ सभी के लिए $s\in S.$ महत्वपूर्ण रूप से, की एक ऊपरी सीमा $S$ में $P$ है not का अंग होना आवश्यक है $S.$ यदि $g\in P$ फिर $g$ का सबसे बड़ा तत्व है $S$ अगर और केवल अगर $g$ की ऊपरी सीमा है $S$ में $(P,\leq )$ and $g\in S.$ विशेष रूप से, का कोई भी सबसे बड़ा तत्व $S$ की ऊपरी सीमा भी है $S$ (में $P$ ) लेकिन की एक ऊपरी सीमा $S$ में $P$ का सबसे बड़ा तत्व है $S$ अगर और केवल अगर यह belongs प्रति $S.$ विशेष मामले में जहां $P=S,$ की परिभाषा $u$ की ऊपरी सीमा है $S$ in $S$ बन जाता है: $u$ ऐसा तत्व है $u\in S$ तथा $s\leq u$ सभी के लिए $s\in S,$ जो है completely identical पहले दिए गए सबसे बड़े तत्व की परिभाषा के लिए। इस प्रकार $g$ का सबसे बड़ा तत्व है $S$ अगर और केवल अगर $g$ की ऊपरी सीमा है $S$ in $S$ .

यदि $u$ की ऊपरी सीमा है $S$ in $P$ यह की ऊपरी सीमा नहीं है $S$ in $S$ (जो हो सकता है अगर और केवल अगर $u\not \in S$ ) फिर $u$ कर सकते हैं not का सबसे बड़ा तत्व हो $S$ (हालांकि, यह संभव हो सकता है कि कोई अन्य तत्व is का सबसे बड़ा तत्व है $S$ ). विशेष रूप से इसके लिए संभव है $S$ एक साथ not सबसे बड़ा तत्व है and वहाँ के लिए कुछ ऊपरी सीमा मौजूद है $S$ in $P$ .

यहां तक कि अगर एक सेट में कुछ ऊपरी सीमाएं हैं, तो यह आवश्यक नहीं है कि इसमें सबसे बड़ा तत्व हो, जैसा कि नकारात्मक वास्तविक संख्याओं के उदाहरण द्वारा दिखाया गया है। यह उदाहरण यह भी प्रदर्शित करता है कि कम से कम ऊपरी सीमा (इस मामले में संख्या 0) का अस्तित्व किसी महानतम तत्व के अस्तित्व को भी नहीं दर्शाता है।

अधिकतम तत्वों के विपरीत और स्थानीय/पूर्ण अधिकतम

किसी पूर्ववर्ती सेट के सबसेट के सबसे बड़े तत्व को सेट के अधिकतम तत्व के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो ऐसे तत्व हैं जो सेट में किसी भी अन्य तत्व से सख्ती से छोटे नहीं हैं।

होने देना $(P,\leq )$ एक पूर्व-आदेशित सेट बनें और जाने दें $S\subseteq P.$ एक तत्व $m\in S$ ए कहा जाता हैmaximal element of $S$ यदि निम्न स्थिति संतुष्ट है:

जब भी

s\in S

संतुष्ट

m\leq s,

फिर अनिवार्य रूप से

s\leq m.

यदि

(P,\leq )

एक आंशिक रूप से आदेशित सेट है

m\in S

का अधिकतम तत्व है

S

अगर और केवल अगर वहाँ करता है not कोई मौजूद है

s\in S

ऐसा है कि

m\leq s

तथा

s\neq m.

ए maximal element of $(P,\leq )$ को उपसमुच्चय के अधिकतम तत्व के रूप में परिभाषित किया गया है

S:=P.

एक सेट में अधिकतम तत्व के बिना कई अधिकतम तत्व हो सकते हैं।

ऊपरी सीमा और अधिकतम तत्वों की तरह, सबसे बड़े तत्व मौजूद नहीं हो सकते हैं।

कुल क्रम में अधिकतम तत्व और सबसे बड़ा तत्व मेल खाते हैं; और इसे अधिकतम भी कहा जाता है; स्थानीय अधिकतम के साथ भ्रम से बचने के लिए फ़ंक्शन मानों के मामले में इसे पूर्ण अधिकतम भी कहा जाता है।^[1] दोहरी शर्तें न्यूनतम और पूर्ण न्यूनतम हैं। साथ में उन्हें चरम मूल्य कहा जाता है। इसी तरह के निष्कर्ष कम से कम तत्वों के लिए मान्य हैं।

अधिकतम बनाम अधिकतम तत्वों को अलग करने में तुलनात्मकता की भूमिका

एक महानतम तत्व के बीच सबसे महत्वपूर्ण अंतरों में से एक $g$ और एक अधिकतम तत्व $m$ एक पूर्व-आदेशित सेट का $(P,\leq )$ यह उन तत्वों के साथ करना है जिनकी वे तुलना कर रहे हैं। दो तत्व $x,y\in P$ कहा जाता है comparable यदि $x\leq y$ या $y\leq x$ ; वे कहते हैं incomparable अगर वे तुलनीय नहीं हैं। क्योंकि प्रीऑर्डर रिफ्लेक्सिव रिलेशन हैं (जिसका मतलब है कि $x\leq x$ सभी तत्वों के लिए सत्य है $x$ ), हर तत्व $x$ सदैव अपने से तुलनीय होता है। नतीजतन, तत्वों का एकमात्र जोड़ा जो संभवतः अतुलनीय हो सकता है distinct जोड़े। सामान्य तौर पर, हालांकि, पहले से ऑर्डर किए गए सेट (और यहां तक कि निर्देशित सेट आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट) में ऐसे तत्व हो सकते हैं जो अतुलनीय हों।

परिभाषा के अनुसार, एक तत्व $g\in P$ का सबसे बड़ा तत्व है $(P,\leq )$ यदि $s\leq g,$ हरएक के लिए $s\in P$ ; इसलिए इसकी परिभाषा के अनुसार, का सबसे बड़ा तत्व $(P,\leq )$ विशेष रूप से तुलनीय होना चाहिए every में तत्व $P.$ यह अधिकतम तत्वों की आवश्यकता नहीं है। के अधिकतम तत्व $(P,\leq )$ हैं not में हर तत्व के लिए तुलनीय होना आवश्यक है $P.$ ऐसा इसलिए है क्योंकि सबसे बड़े तत्व की परिभाषा के विपरीत, अधिकतम तत्व की परिभाषा में एक महत्वपूर्ण शामिल है if बयान। के लिए परिभाषित शर्त $m\in P$ का अधिकतम तत्व होना $(P,\leq )$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है:

सभी के लिए

s\in P,

IF

m\leq s

(इसलिए ऐसे तत्व जो अतुलनीय हैं

m

अनदेखा किया जाता है) फिर

s\leq m.

उदाहरण जहां सभी तत्व अधिकतम हैं लेकिन कोई भी महानतम नहीं है

मान लो कि $S$ युक्त एक सेट है at least two (अलग) तत्व और एक आंशिक क्रम को परिभाषित करते हैं $\,\leq \,$ पर $S$ यह घोषित करके $i\leq j$ अगर और केवल अगर $i=j.$ यदि $i\neq j$ के संबंधित $S$ फिर न तो $i\leq j$ न $j\leq i$ धारण करता है, जो दर्शाता है कि विशिष्ट (अर्थात् गैर-बराबर) तत्वों के सभी युग्मों में $S$ हैं inतुलनीय। फलस्वरूप, $(S,\leq )$ संभवतः सबसे बड़ा तत्व नहीं हो सकता (क्योंकि का सबसे बड़ा तत्व $S$ से विशेष रूप से तुलना करनी होगी every का तत्व $S$ लेकिन $S$ ऐसा कोई तत्व नहीं है)। हालांकि, every तत्व $m\in S$ का अधिकतम तत्व है $(S,\leq )$ क्योंकि इसमें ठीक एक तत्व है $S$ जो दोनों से तुलनीय है $m$ तथा $\geq m,$ वह तत्व है $m$ खुद (जो निश्चित रूप से है $\leq m$ ).^{[note 1]} इसके विपरीत, यदि एक पूर्वनिर्धारित सेट $(P,\leq )$ एक महानतम तत्व होता है $g$ फिर $g$ का अधिकतम तत्व होगा $(P,\leq )$ और इसके अलावा, सबसे बड़े तत्व के परिणामस्वरूप $g$ से तुलनीय होना every का तत्व $P,$ यदि $(P,\leq )$ भी आंशिक रूप से आदेशित है तो यह निष्कर्ष निकालना संभव है $g$ है only का अधिकतम तत्व $(P,\leq ).$ हालाँकि, यदि पहले से सेट किया गया है तो विशिष्टता निष्कर्ष की गारंटी नहीं है $(P,\leq )$ है not आंशिक रूप से आदेश भी दिया। उदाहरण के लिए, मान लीजिए $R$ एक गैर-खाली सेट है और एक प्रीऑर्डर परिभाषित करता है $\,\leq \,$ पर $R$ यह घोषित करके $i\leq j$ always सभी के लिए रखता है $i,j\in R.$ निर्देशित सेट पूर्व-आदेशित सेट $(R,\leq )$ आंशिक रूप से आदेश दिया जाता है अगर और केवल अगर $R$ ठीक एक तत्व है। से तत्वों के सभी जोड़े $R$ तुलनीय हैं और every का तत्व $R$ का सबसे बड़ा तत्व है (और इस प्रकार एक अधिकतम तत्व भी)। $(R,\leq ).$ तो विशेष रूप से अगर $R$ तब कम से कम दो तत्व होते हैं $(R,\leq )$ एकाधिक है distinct महानतम तत्व।

गुण

भर में, चलो $(P,\leq )$ आंशिक रूप से आदेशित सेट बनें और दें $S\subseteq P.$ * एक सेट $S$ अधिक से अधिक हो सकता है one सबसे बड़ा तत्व।^{[note 2]} इस प्रकार यदि किसी समुच्चय में सबसे बड़ा अवयव है तो वह आवश्यक रूप से अद्वितीय है।

यदि यह अस्तित्व में है, तो इसका सबसे बड़ा तत्व $S$ $S$ की ऊपरी सीमा है $S$ $S$ उसमें भी निहित है $S.$ $S.$ * यदि $g$ $g$ का सबसे बड़ा तत्व है $S$ $S$ फिर $g$ $g$ का भी एक चरम तत्व है $S$ $S$ ^{[note 3]} और इसके अलावा, का कोई अन्य अधिकतम तत्व $S$ $S$ के बराबर होगा $g.$ $g.$ ^{[note 4]}
- इस प्रकार यदि एक सेट $S$ कई अधिकतम तत्व हैं तो इसमें सबसे बड़ा तत्व नहीं हो सकता है।
यदि $P$ आरोही श्रृंखला की स्थिति, एक सबसेट को संतुष्ट करता है $S$ का $P$ सबसे बड़ा तत्व है अगर, और केवल अगर, इसमें एक अधिकतम तत्व है।^{[note 5]}
जब का प्रतिबंध $\,\leq \,$ प्रति $S$ कुल आदेश है ( $S=\{1,2,4\}$ सबसे ऊपरी तस्वीर में एक उदाहरण है), तो अधिकतम तत्व और सबसे बड़ा तत्व मेल खाता है।^{[note 6]} ** हालांकि, जब भी हो, यह कोई जरूरी शर्त नहीं है $S$ सबसे बड़ा तत्व है, जैसा कि ऊपर कहा गया है, धारणाएं भी मेल खाती हैं।
यदि अधिकतम तत्व और सबसे बड़ा तत्व की धारणा प्रत्येक दो-तत्व उपसमुच्चय पर मेल खाती है $S$ का $P,$ फिर $\,\leq \,$ पर कुल आदेश है $P.$ ^{[note 7]}

पर्याप्त शर्तें

एक परिमित श्रृंखला (आदेश सिद्धांत) में हमेशा सबसे बड़ा और सबसे कम तत्व होता है।

ऊपर और नीचे

पूरे आंशिक रूप से आदेशित सेट का सबसे छोटा और सबसे बड़ा तत्व एक विशेष भूमिका निभाता है और इसे क्रमशः नीचे (⊥) और शीर्ष (⊤), या शून्य (0) और इकाई (1) भी कहा जाता है। यदि दोनों मौजूद हैं, तो पोसेट को परिबद्ध पोसेट कहा जाता है। 0 और 1 के अंकन का उपयोग अधिमानतः तब किया जाता है जब पोसेट एक पूरक जाली है, और जब कोई भ्रम की संभावना नहीं होती है, यानी जब कोई संख्याओं के आंशिक क्रम के बारे में बात नहीं कर रहा है जिसमें पहले से ही तत्व 0 और 1 नीचे और ऊपर से भिन्न होते हैं। कम से कम और सबसे बड़े तत्वों का अस्तित्व आंशिक क्रम की एक विशेष पूर्णता (आदेश सिद्धांत) है।

आगे की परिचयात्मक जानकारी ऑर्डर थ्योरी पर लेख में पाई जाती है।

उदाहरण

उदाहरण 2 का हसे आरेख

* पूर्णांकों के उपसमुच्चय का समुच्चय में कोई ऊपरी परिबंध नहीं होता है $\mathbb {R}$ वास्तविक संख्याओं का।

संबंध रहने दो $\,\leq \,$ पर $\{a,b,c,d\}$ द्वारा दिया जाएगा $a\leq c,$ $a\leq d,$ $b\leq c,$ $b\leq d.$ सेट $\{a,b\}$ ऊपरी सीमाएँ हैं $c$ तथा $d,$ लेकिन कम से कम ऊपरी सीमा नहीं, और कोई सबसे बड़ा तत्व नहीं (cf. चित्र)।
परिमेय संख्याओं में, 2 से कम वर्ग वाले संख्याओं के समुच्चय की ऊपरी सीमा होती है लेकिन कोई सबसे बड़ा तत्व नहीं होता है और कोई ऊपरी सीमा नहीं होती है।
में $\mathbb {R} ,$ 1 से कम संख्या के सेट में सबसे कम ऊपरी सीमा होती है, जैसे। 1, लेकिन कोई सबसे बड़ा तत्व नहीं।
में $\mathbb {R} ,$ 1 से कम या उसके बराबर संख्याओं के सेट में सबसे बड़ा तत्व है, अर्थात। 1, जो इसकी सबसे कम ऊपरी सीमा भी है।
में $\mathbb {R} ^{2}$ उत्पाद क्रम के साथ, जोड़े का सेट $(x,y)$ साथ $0<x<1$ कोई ऊपरी सीमा नहीं है।
में $\mathbb {R} ^{2}$ शब्दकोषीय क्रम के साथ, इस सेट की ऊपरी सीमाएं हैं, उदा। $(1,0).$ इसकी कोई कम से कम ऊपरी सीमा नहीं है।

यह भी देखें

एसेंशियल सुप्रीमम और एसेंशियल इनफिमम
प्रारंभिक और अंतिम वस्तुएं
अधिकतम और न्यूनतम तत्व
श्रेष्ठता को सीमित करें और निम्न को सीमित करें (न्यूनतम सीमा)
ऊपरी और निचली सीमाएं

↑ Of course, in this particular example, there exists only one element in $S$ that is comparable to $m,$ which is necessarily $m$ itself, so the second condition "and $\geq m,$ " was redundant.
↑ If $g_{1}$ and $g_{2}$ are both greatest, then $g_{1}\leq g_{2}$ and $g_{2}\leq g_{1},$ and hence $g_{1}=g_{2}$ by antisymmetry.
↑ If $g$ is the greatest element of $S$ and $s\in S,$ then $s\leq g.$ By antisymmetry, this renders ( $g\leq s$ and $g\neq s$ ) impossible.
↑ If $M$ is a maximal element, then $M\leq g$ since $g$ is greatest, hence $M=g$ since $M$ is maximal.
↑ Only if: see above. — If: Assume for contradiction that $S$ has just one maximal element, $m,$ but no greatest element. Since $m$ is not greatest, some $s_{1}\in S$ must exist that is incomparable to $m.$ Hence $s_{1}\in S$ cannot be maximal, that is, $s_{1}<s_{2}$ must hold for some $s_{2}\in S.$ The latter must be incomparable to $m,$ too, since $m<s_{2}$ contradicts $m$ 's maximality while $s_{2}\leq m$ contradicts the incomparability of $m$ and $s_{1}.$ Repeating this argument, an infinite ascending chain $s_{1}<s_{2}<\cdots <s_{n}<\cdots$ can be found (such that each $s_{i}$ is incomparable to $m$ and not maximal). This contradicts the ascending chain condition.
↑ Let $m\in S$ be a maximal element, for any $s\in S$ either $s\leq m$ or $m\leq s.$ In the second case, the definition of maximal element requires that $m=s,$ so it follows that $s\leq m.$ In other words, $m$ is a greatest element.
↑ If $a,b\in P$ were incomparable, then $S=\{a,b\}$ would have two maximal, but no greatest element, contradicting the coincidence.