डिरिचलेट L-फलन

गणित में, डिरिचलेट एल-सीरीज़ फॉर्म का एक फ़ंक्शन है

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.$

कहाँ $\chi$ एक डिरिचलेट चरित्र है और यह एक जटिल चर है जिसका वास्तविक भाग 1 से अधिक है। यह डिरिचलेट श्रृंखला का एक विशेष मामला है। विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा, इसे पूरे जटिल विमान पर एक मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन तक बढ़ाया जा सकता है, और फिर इसे 'डिरिचलेट एल-फ़ंक्शन' कहा जाता है और इसे एल (एस, χ) भी दर्शाया जाता है।

इन कार्यों का नाम पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट के नाम पर रखा गया है जिन्होंने इन्हें पेश किया था (Dirichlet 1837) अंकगणितीय प्रगति पर डिरिक्लेट के प्रमेय को सिद्ध करने के लिए जिस पर उनका नाम भी अंकित है। सबूत के दौरान, डिरिचलेट यह दर्शाता है L(s, χ) s = 1 पर गैर-शून्य है। इसके अलावा, यदि χ प्रिंसिपल है, तो संबंधित डिरिचलेट एल-फ़ंक्शन में s = 1 पर एक सरल ध्रुव है। अन्यथा, एल-फ़ंक्शन संपूर्ण फ़ंक्शन है।

यूलर उत्पाद

चूंकि डिरिचलेट वर्ण χ पूरी तरह से गुणक है, इसलिए इसके एल-फ़ंक्शन को पूर्ण अभिसरण के आधे-तल में यूलर उत्पाद के रूप में भी लिखा जा सकता है:

$L(s,\chi )=\prod _{p}\left(1-\chi (p)p^{-s}\right)^{-1}{\text{ for }}{\text{Re}}(s)>1,$

जहां उत्पाद सभी अभाज्य संख्याओं से अधिक है।

आदिम वर्ण

एल-फ़ंक्शन के बारे में परिणाम अक्सर अधिक सरलता से बताए जाते हैं यदि चरित्र को आदिम माना जाता है, हालांकि परिणाम आमतौर पर छोटी जटिलताओं के साथ अप्रभावी वर्णों तक बढ़ाए जा सकते हैं। यह एक आदिम चरित्र के बीच संबंध के कारण है $\chi$ और आदिम चरित्र $\chi ^{\star }$ जो इसे प्रेरित करता है:

$\chi (n)={\begin{cases}\chi ^{\star }(n),&\mathrm {if} \gcd(n,q)=1\\0,&\mathrm {if} \gcd(n,q)\neq 1\end{cases}}$

(यहाँ, q χ का मापांक है।) यूलर उत्पाद का एक अनुप्रयोग संबंधित एल-फ़ंक्शन के बीच एक सरल संबंध देता है:

$L(s,\chi )=L(s,\chi ^{\star })\prod _{p\,|\,q}\left(1-{\frac {\chi ^{\star }(p)}{p^{s}}}\right)$

(यह सूत्र विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा सभी s के लिए मान्य है, भले ही यूलर उत्पाद केवल तभी मान्य है जब Re(s) > 1.) सूत्र से पता चलता है कि χ का L-फ़ंक्शन आदिम चरित्र के L-फ़ंक्शन के बराबर है जो χ को प्रेरित करता है, जो केवल कारकों की एक सीमित संख्या से गुणा होता है। एक विशेष मामले के रूप में, मुख्य चरित्र का एल-फ़ंक्शन $\chi _{0}$ मॉड्यूलो क्यू को रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

$L(s,\chi _{0})=\zeta (s)\prod _{p\,|\,q}(1-p^{-s})$

कार्यात्मक समीकरण

डिरिचलेट एल-फ़ंक्शन एक कार्यात्मक समीकरण को संतुष्ट करते हैं, जो उन्हें पूरे जटिल विमान में विश्लेषणात्मक रूप से जारी रखने का एक तरीका प्रदान करता है। कार्यात्मक समीकरण के मान से संबंधित है $L(s,\chi )$ के मूल्य के लिए $L(1-s,{\overline {\chi }})$. मान लीजिए कि χ एक आदिम वर्ण मॉड्यूलो q है, जहां q > 1. कार्यात्मक समीकरण को व्यक्त करने का एक तरीका यह है::$L(s,\chi )=\varepsilon (\chi )2^{s}\pi ^{s-1}q^{1/2-s}\sin \left({\frac {\pi }{2}}(s+a)\right)\Gamma (1-s)L(1-s,{\overline {\chi }}).$ इस समीकरण में, Γ गामा फ़ंक्शन को दर्शाता है; यदि χ(−1) = 1 है तो a 0 है, या यदि χ(−1) = −1 है तो 1 है; और

$\varepsilon (\chi )={\frac {\tau (\chi )}{i^{a}{\sqrt {q}}}}$

जहां τ ( χ) एक गॉस योग है:

$$