सघन सम्मुच्य

टोपोलॉजी और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, एक टोपोलॉजिकल स्पेस X के एक A उपसमुच्चय के X में को 'घना' कहा जाता है। यदि X का प्रत्येक बिंदु $A$ से संबंधित है या फिर अनगिनत रूप से $A$ के सदस्य के पास है। उदाहरण के लिए, परिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का सघन उपसमुच्चय होती हैं क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या एक परिमेय संख्या होती है या उसके पास एक परिमेय संख्या होती है। (डायोफैंटाइन सन्निकटन देखें)।

औपचारिक रूप से एक टोपोलॉजिकल स्पेस X का घनत्व के सघन उपसमुच्चय X की सबसे कम कार्डिनैलिटी है।

परिभाषा

टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ का उपसमुच्चय $A$ को $X$ का सघन उपसमुच्चय कहा जाता है। यदि निम्नलिखित समकक्ष नियमों में से कोई भी संतुष्ट है:

1. $X$ का सबसे छोटा विवृत समुच्चय स्वयं $X$ है, जो $A$ से युक्त है।
2. $X$ में $A$ का क्लोजर (टोपोलॉजी) $X$ के बराबर है। जो कि $\operatorname {cl} _{X}A=X.$ है।
3. $A$ के पूरक (सेट सिद्धांत) का आंतरिक भाग (टोपोलॉजी) रिक्त है। जो कि $\operatorname {int} _{X}(X\setminus A)=\varnothing .$ है।
4. $X$ में प्रत्येक बिंदु या तो $A$ से संबंधित होता है या $A.$ का एक लिमिट प्वॉइंट है।
5. प्रत्येक $x\in X,$ के लिए, $x$ का प्रत्येक निकटतम (गणित) $U$, $A;$ को प्रतिच्छेदित है। जो कि $U\cap A\neq \varnothing .$ है।
6. X का प्रत्येक गैर-रिक्त संवृत उपसमुच्चय $A$ को प्रतिच्छेदित है और यदि ${\mathcal {B}}$ टोपोलॉजी के लिए $X$ पर संवृत समुच्चयों का आधार (टोपोलॉजी) है। जिससे इस सूची को सम्मिलित करने के लिए बढ़ाया जा सकता है।
7. प्रत्येक $x\in X,$ के लिए, $x$ का प्रत्येकआधार निकटतम (गणित) $B\in {\mathcal {B}}$ को $A.$ प्रतिच्छेदित करती है। का चौराहा (सेट सिद्धांत) </ली> <ली>$A$ हर गैर-खाली को काटता है $B\in {\mathcal {B}}.$</ली> </ अल>

मीट्रिक रिक्त स्थान में घनत्व

मीट्रिक रिक्त स्थान के मामले में सघन सेट की एक वैकल्पिक परिभाषा निम्नलिखित है। जब की टोपोलॉजी (संरचना)। $X$ एक मीट्रिक (गणित), टोपोलॉजिकल क्लोजर द्वारा दिया जाता है ${\overline {A}}$ का $A$ में $X$ का संघ (सेट सिद्धांत) है $A$ और एक अनुक्रम की सभी सीमा का सेट # तत्वों के सामयिक स्थान $A$ (इसकी सीमा अंक),

$${\overline {A}}=A\cup \left\{\lim _{n\to \infty }a_{n}:a_{n}\in A{\text{ for all }}n\in \mathbb {N} \right\}$$

तब $A$ में घना है $X$ अगर

$${\overline {A}}=X.$$

अगर $\left\{U_{n}\right\}$ एक पूर्ण मीट्रिक स्थान में सघन खुला सेट सेट का एक क्रम है, $X,$ तब $$