सघन सम्मुच्य

टोपोलॉजी और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स के एक उपसमुच्चय को एक्स में 'घना' कहा जाता है यदि एक्स का प्रत्येक बिंदु या तो ए से संबंधित है या फिर मनमाने ढंग से ए के सदस्य के करीब है - उदाहरण के लिए, तर्कसंगत संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का सघन उपसमुच्चय होती हैं क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या या तो एक परिमेय संख्या होती है या इसके पास एक परिमेय संख्या होती है (डायोफैंटाइन सन्निकटन देखें)। औपचारिक रूप से, $A$ में घना है $X$ यदि सबसे छोटा बंद सेट $X$ युक्त $A$ है $X$ अपने आप। density एक टोपोलॉजिकल स्पेस का $X$ के सघन उपसमुच्चय की कम से कम प्रमुखता है $X.$

परिभाषा

उपसमुच्चय $A$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस का $X$ ए कहा जाता हैdense subset का $X$यदि निम्नलिखित समकक्ष शर्तों में से कोई भी संतुष्ट है: <ओल>

का सबसे छोटा बंद सेट $X$ युक्त $A$ है $X$ खुद।

का क्लोजर (टोपोलॉजी)। $A$ में $X$ के बराबर है $X.$ वह है, $\operatorname {cl} _{X}A=X.$</ली>

के पूरक (सेट सिद्धांत) का आंतरिक (टोपोलॉजी)। $A$ खाली है। वह है, $\operatorname {int} _{X}(X\setminus A)=\varnothing .$</ली>

हर बिंदु में $X$ या तो का है $A$ या का एक सीमा बिंदु है $A.$</ली>

प्रत्येक के लिए $x\in X,$ हर पड़ोस (गणित) $U$ का $x$ चौराहा (सेट सिद्धांत) $A;$ वह है, $U\cap A\neq \varnothing .$</ली> <ली>$A$ के प्रत्येक गैर-रिक्त खुले उपसमुच्चय को प्रतिच्छेद करता है $X.$</ली> <ली></ली> </ओल> और अगर ${\mathcal {B}}$ टोपोलॉजी के लिए खुले सेटों का आधार (टोपोलॉजी) है $X$ तो इस सूची को शामिल करने के लिए बढ़ाया जा सकता है: <ओल प्रारंभ = 7>

प्रत्येक के लिए $x\in X,$ प्रत्येक basic पड़ोस (गणित) $B\in {\mathcal {B}}$ का $x$ चौराहा (सेट सिद्धांत) $A.$</ली> <ली>$A$ हर गैर-खाली को काटता है $B\in {\mathcal {B}}.$</ली> </ अल>

मीट्रिक रिक्त स्थान में घनत्व

मीट्रिक रिक्त स्थान के मामले में सघन सेट की एक वैकल्पिक परिभाषा निम्नलिखित है। जब की टोपोलॉजी (संरचना)। $X$ एक मीट्रिक (गणित), टोपोलॉजिकल क्लोजर द्वारा दिया जाता है ${\overline {A}}$ का $A$ में $X$ का संघ (सेट सिद्धांत) है $A$ और एक अनुक्रम की सभी सीमा का सेट # तत्वों के सामयिक स्थान $A$ (इसकी सीमा अंक),

$$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}=A\cup <!--\; \cup \; -->\{$$