मॉड्यूलर रूप

"मॉडुलर फलन" redirects here. इस शब्द का एक विशिष्ट उपयोग Haar measure.

गणित में, मॉड्यूलर रूप, एक जटिल विश्लेषणात्मक फलन है जो मॉड्यूलर समूह के समूह क्रिया के संबंध में एक निश्चित प्रकार के कार्यात्मक समीकरण तथा विकास की स्थिति को संतुष्ट करता है। इसीलिए मॉड्यूलर रूपों का सिद्धांत जटिल विश्लेषण से संबंधित है परंतु इस सिद्धांत का मुख्य महत्व परंपरागत रूप से संख्या सिद्धांत के साथ इसके संबंध में रहा है। अन्य क्षेत्रों जैसे कि बीजगणितीय सांस्थिति, गोलाकार गतिकी और स्ट्रिंग सिद्धांत में भी मॉड्यूलर रूप दिखाई देते हैं।

मॉड्यूलर फलन एक ऐसा फलन है जो मॉड्यूलर समूह के संबंध में अपरिवर्तनीय है, परंतु बिना किसी शर्त के f (z) उच्च अर्ध-समष्टि में पूर्णसममितिक फलन रूप को संतुष्ट करना चाहिए। इसके अतिरिक्त, मॉड्यूलर फलन मेरोमॉर्फिक फलन हैं अर्थात, वे पृथक बिंदुओं के एक समुच्चय के पूरक पर पूर्णसममितिक हैं, जो इसी फलन के ध्रुव हैं।

मॉड्यूलर रूप सिद्धांत स्वचालित रूप के अधिक सामान्य सिद्धांत की एक विशेष परिस्थिति है। ये लाइ समूहों पर परिभाषित फलन हैं जो कुछ असतत उपसमूहों की कार्रवाई के संबंध में उपयुक्त रूप से रूपांतरित होते हैं तथा मॉड्यूलर समूह $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ के उदाहरण को समान्यीकृत करते हैं। .

मॉड्यूलर रूपों की सामान्य परिभाषा

सामान्य रूप में, एक उपसमूह $\Gamma \subset {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ परिमित सूचकांक दिया गया है, जिसे अंकगणितीय समूह कहा जाता है। इस स्तर का मॉड्यूलर रूप $\Gamma$ और भार $k$ एक पूर्णसममितिक फलन $f:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C}$ है। उच्च अर्ध-समष्टि से इस प्रकार रूपांतरित होती है कि निम्नलिखित दो शर्तें पूरी होती हैं:

1. (ऑटोमॉर्फी शर्त) किसी $\gamma \in \Gamma$ के लिए $f(\gamma (z))=(cz+d)^{k}f(z)$ समानता है

2. (वृद्धि की स्थिति) किसी $\gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ के लिए फलन $(cz+d)^{-k}f(\gamma (z))$, ${\text{im}}(z)\to \infty$ के लिए बाध्य है

जहां ${\textstyle \gamma (z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$ और फलन ${\textstyle \gamma }$ आव्यूह ${\textstyle \gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} ).\,}$ से इस प्रकार पहचाना जाता है की आव्यूहों के साथ ऐसे फलनों की पहचान आव्यूह गुणन के अनुरूप ऐसे फलन की संरचना का कारण बनती है। इसके अतिरिक्त, इसे एक कस्प रूप कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित वृद्धि की स्थिति को संतुष्ट करता है:

3. (कस्पिडल शर्त) किसी $\gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ के लिए, फलन $(cz+d)^{-k}f(\gamma (z))\to 0$ इस प्रकार ${\text{im}}(z)\to \infty$

एक लाइन बंडल के अनुभागों के रूप में

मॉड्यूलर रूपों को मॉड्यूलर वक्र पर एक विशिष्ट लाइन बंडल के अनुभागों के रूप में भी व्याख्या किया जा सकता है। $\Gamma \subset {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ के लिए स्तर का एक मॉड्यूलर रूप $\Gamma$ और भार $k$ के तत्व के रूप में परिभाषित किया जा सकता है$f\in H^{0}(X_{\Gamma },\omega ^{\otimes k})=M_{k}(\Gamma )$

जहाँ $\omega$ मॉड्यूलर वक्र पर एक विहित लाइन बंडल है$X_{\Gamma }=\Gamma \backslash ({\mathcal {H}}\cup \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {Q} ))$ मॉड्यूलर रूपों के इन स्थानों के आयामों की गणना रीमैन-रोच प्रमेय का उपयोग करके की जा सकती है। पारंपरिक मॉड्यूलर रूपों के लिए $\Gamma ={\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ अण्डाकार वक्रों के मोडुली स्टैक पर लाइन बंडल का खंड हैं।

एसएल (2, जेड) के लिए मॉड्यूलर रूप

मानक परिभाषा

भार का एक मॉड्यूलर रूप k मॉड्यूलर समूह के लिए