घातीय वृद्धि

ग्राफ दिखाता है कि कैसे घातीय वृद्धि (हरा) रैखिक (लाल) और घन (नीला) विकास दोनों से आगे निकल जाती है।

  Linear growth

  Cubic growth

  Exponential growth

घातीय वृद्धि वह प्रक्रिया है जो समय के साथ मात्रा में वृद्धि करती है। यह तब होता है जब समय के संबंध में किसी मात्रा का तात्कालिक दर (गणित) या परिवर्तन (अर्थात, व्युत्पन्न) मात्रा के लिए आनुपातिक (गणित) होता है। फलन (गणित) के रूप में वर्णित, घातीय वृद्धि से निकलने वाली मात्रा समय का घातीय कार्य है, अर्थात, समय का प्रतिनिधित्व करने वाला चर घातांक है (अन्य प्रकार के विकास के विपरीत, जैसे कि द्विघात वृद्धि)।

यदि आनुपातिकता का स्थिरांक ऋणात्मक है, जिससे समय के साथ मात्रा घट जाती है, और कहा जाता है कि इसके अतिरिक्त घातीय क्षय हो रहा है। समान अंतराल के साथ परिभाषा के फलन के असतत डोमेन के मामले में, इसे ज्यामितीय वृद्धि या ज्यामितीय क्षय भी कहा जाता है क्योंकि फलन मान ज्यामितीय प्रगति बनाते हैं।

किसी चर की चरघातांकी वृद्धि का सूत्र x विकास दर पर r, समय के अनुसार t असतत अंतराल में चलता है (यानी, पूर्णांक गुणा 0, 1, 2, 3, ... पर), है

$$x_{t}=x_{0}(1+r)^{t}$$

कहाँ पे x₀ का मूल्य है x समय पर 0. जीवाणु कालोनी (जीव विज्ञान) का विकास अक्सर इसे चित्रित करने के लिए प्रयोग किया जाता है। जीवाणु खुद को दो में विभाजित करता है, जिनमें से प्रत्येक खुद को चार में विभाजित करता है, फिर आठ, 16, 32, और इसी तरह। वृद्धि की मात्रा बढ़ती रहती है क्योंकि यह जीवाणुओं की बढ़ती संख्या के समानुपाती होती है। इस तरह की वृद्धि वास्तविक जीवन की गतिविधि या घटनाओं में देखी जाती है, जैसे कि वायरस संक्रमण का प्रसार, चक्रवृद्धि ब्याज के कारण ऋण में वृद्धि और वायरल वीडियो का प्रसार। वास्तविक मामलों में, प्रारंभिक घातीय वृद्धि अक्सर हमेशा के लिए नहीं रहती है, इसके अतिरिक्त अंततः बाहरी कारकों की वजह से ऊपरी सीमा के कारण धीमा हो जाता है और रसद वक्र में बदल जाता है।

घातीय वृद्धि जैसी शर्तों को कभी-कभी गलत तरीके से तीव्र वृद्धि के रूप में व्याख्या की जाती है। वास्तव में, जो कुछ तेजी से बढ़ता है वह वास्तव में पहले धीरे-धीरे बढ़ सकता है।

उदाहरण

File:E.coli-colony-growth.gif

बैक्टीरिया इष्टतम परिस्थितियों में घातीय वृद्धि प्रदर्शित करता है।

जीव विज्ञान

• सूक्ष्मजीवविज्ञानी संस्कृति में सूक्ष्मजीवों की संख्या तेजी से बढ़ेगी जब तक कि आवश्यक पोषक तत्व समाप्त नहीं हो जाता है, इसलिए अधिक जीवों के विकास के लिए उस पोषक तत्व की अधिक मात्रा नहीं होती है। विशिष्ट रूप से पहला जीव कोशिका दो संतति जीवों में विभाजित होता है, जो तब विभाजित होकर चार बनते हैं, जो विभाजित होकर आठ बनते हैं, इत्यादि। क्योंकि घातीय वृद्धि निरंतर वृद्धि दर को इंगित करती है, यह अक्सर माना जाता है कि घातीय रूप से बढ़ने वाली कोशिकाएं स्थिर-अवस्था में हैं। हालांकि, कोशिकाएं अपने चयापचय और जीन अभिव्यक्ति को फिर से तैयार करते हुए स्थिर दर पर तेजी से बढ़ सकती हैं। * यदि कोई कृत्रिम टीकाकरण उपलब्ध नहीं है, तो वायरस (उदाहरण के लिए COVID-19, या चेचक) आमतौर पर सबसे पहले तेजी से फैलेगा। प्रत्येक संक्रमित व्यक्ति कई नए लोगों को संक्रमित कर सकता है।

भौतिकी

• ढांकता हुआ पदार्थ के भीतर हिमस्खलन टूटना। मुक्त इलेक्ट्रॉन बाहरी रूप से लागू विद्युत क्षेत्र द्वारा पर्याप्त रूप से त्वरित हो जाता है कि यह अतिरिक्त इलेक्ट्रॉनों को मुक्त कर देता है क्योंकि यह ढांकता हुआ मीडिया के परमाणुओं या अणुओं से टकराता है। ये द्वितीयक इलेक्ट्रॉन भी त्वरित होते हैं, जिससे बड़ी संख्या में मुक्त इलेक्ट्रॉन बनते हैं। इलेक्ट्रॉनों और आयनों के परिणामस्वरूप घातीय वृद्धि तेजी से सामग्री के पूर्ण ढांकता हुआ टूटने का कारण बन सकती है।
• परमाणु श्रृंखला प्रतिक्रिया (परमाणु रिएक्टरों और परमाणु हथियारों के पीछे की अवधारणा)। प्रत्येक यूरेनियम परमाणु नाभिक जो परमाणु विखंडन से गुजरता है, कई न्यूट्रॉन पैदा करता है, जिनमें से प्रत्येक आसन्न यूरेनियम परमाणुओं द्वारा अवशोषण (रसायन विज्ञान) हो सकता है, जिससे वे बदले में विखंडन कर सकते हैं। यदि न्यूट्रॉन अवशोषण की संभावना न्यूट्रॉन पलायन (यूरेनियम के आकार और द्रव्यमान का कार्य (गणित)) की संभावना से अधिक हो जाती है, तो अनियंत्रित प्रतिक्रिया में न्यूट्रॉन और प्रेरित यूरेनियम विखंडन की उत्पादन दर तेजी से बढ़ जाती है। वृद्धि की घातीय दर के कारण, श्रृंखला अभिक्रिया के किसी भी बिंदु पर पिछली 4.6 पीढ़ियों में 99% ऊर्जा मुक्त हो चुकी होगी। पहली 53 पीढ़ियों को वास्तविक विस्फोट तक ले जाने वाली विलंबता अवधि के रूप में सोचना उचित अनुमान है, जिसमें केवल 3-4 पीढ़ियाँ लगती हैं।
• विद्युत या इलेक्ट्रोअकॉस्टिक एम्पलीफायर की रैखिक सीमा के भीतर सकारात्मक प्रतिक्रिया के परिणामस्वरूप प्रवर्धित सिग्नल की घातीय वृद्धि हो सकती है, हालांकि अनुनाद प्रभाव दूसरों पर सिग्नल की कुछ घटक आवृत्ति का पक्ष ले सकता है।

अर्थशास्त्र

• आर्थिक विकास को प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है, जिसका अर्थ घातीय वृद्धि है।

वित्त

• स्थिर ब्याज दर पर चक्रवृद्धि ब्याज पूंजी की घातीय वृद्धि प्रदान करता है। 72 का नियम भी देखें।
• पिरामिड योजनाएं या पोंजी योजनाएं भी इस प्रकार की वृद्धि दिखाती हैं जिसके परिणामस्वरूप कुछ शुरुआती निवेशकों को अधिक मुनाफा होता है और बड़ी संख्या में निवेशकों को नुकसान होता है।

कंप्यूटर विज्ञान

• कंप्यूटर की घड़ी दर। मूर का नियम और तकनीकी विलक्षणता भी देखें। (घातीय वृद्धि के तहत, कोई विलक्षणता नहीं है। यहां विलक्षणता रूपक है, जो अकल्पनीय भविष्य को व्यक्त करने के लिए है। घातीय वृद्धि के साथ इस काल्पनिक अवधारणा का लिंक सबसे मुखर रूप से भविष्यवादी रेमंड कुर्ज़वील द्वारा बनाया गया है।)
• कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत में, घातीय जटिलता के कंप्यूटर एल्गोरिदम को समस्या के आकार में लगातार वृद्धि के लिए संसाधनों की घातीय रूप से बढ़ती मात्रा (जैसे समय, कंप्यूटर मेमोरी) की आवश्यकता होती है। तो समय जटिलता के एल्गोरिदम के लिए 2^x, अगर आकार की समस्या है x = 10 पूरा करने के लिए 10 सेकंड की आवश्यकता है, और आकार की समस्या है x = 11 20 सेकंड की आवश्यकता है, फिर आकार की समस्या x = 12 40 सेकंड की आवश्यकता होगी। इस तरह का एल्गोरिथ्म आमतौर पर बहुत छोटी समस्या के आकार में अनुपयोगी हो जाता है, अक्सर 30 और 100 वस्तुओं के बीच (अधिकांश कंप्यूटर एल्गोरिदम को उचित समय में हजारों या यहां तक ​​कि लाखों वस्तुओं तक बड़ी समस्याओं को हल करने में सक्षम होने की आवश्यकता होती है। घातीय एल्गोरिथम के साथ शारीरिक रूप से असंभव हो)। इसके अलावा, मूर के नियम के प्रभाव से स्थिति को बहुत मदद नहीं मिलती है क्योंकि प्रोसेसर की गति को दोगुना करने से आप समस्या का आकार लगातार बढ़ा सकते हैं। उदा. अगर धीमा प्रोसेसर आकार की समस्याओं को हल कर सकता है x समय के भीतर t, तब दुगुनी तेजी से प्रोसेसर केवल आकार की समस्याओं को हल कर सकता था x + constant एक ही समय में t. इसलिए घातीय रूप से जटिल एल्गोरिदम अक्सर अव्यावहारिक होते हैं, और अधिक कुशल एल्गोरिदम की खोज आज कंप्यूटर विज्ञान के केंद्रीय लक्ष्यों में से एक है।

इंटरनेट घटनाएं

• इंटरनेट सामग्री, जैसे कि इंटरनेट मेम्स या वायरल वीडियो, घातीय तरीके से फैल सकते हैं, अक्सर वायरल घटना को वायरस के प्रसार के सादृश्य के रूप में कहा जाता है। सामाजिक नेटवर्क जैसे मीडिया के साथ, व्यक्ति एक ही सामग्री को कई लोगों को एक साथ अग्रेषित कर सकता है, जो इसे और भी अधिक लोगों तक फैला सकते हैं, और इसी तरह तेजी से फैलते हैं। उदाहरण के लिए, वीडियो गंगनम स्टाइल 15 जुलाई 2012 को YouTube पर अपलोड किया गया था, पहले दिन सैकड़ों हजारों दर्शकों तक पहुंचा, बीसवें दिन लाखों, और दो महीने से भी कम समय में संचयी रूप से लाखों लोगों द्वारा देखा गया।

मूल सूत्र

File:Exponentielles wachstum2.svg

घातीय वृद्धि:
${\begin{aligned}a&=3\\b&=2\\r&=5\end{aligned}}$

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घातीय वृद्धि:
${\begin{aligned}a&=24\\b&={\frac {1}{2}}\\r&=5\end{aligned}}$

मात्रा x समय पर चरघातांकी रूप से निर्भर करता है t यदि

$$x(t)=a\cdot b^{t/\tau }$$

जहां निरंतर a का प्रारंभिक मूल्य है x,

$$x(0)=a\,,$$

अटल b सकारात्मक विकास कारक है, और τ समय स्थिर है - के लिए आवश्यक समय x के कारक से वृद्धि करना b:

$$x(t+\tau )=a\cdot b^{\frac {t+\tau }{\tau }}=a\cdot b^{\frac {t}{\tau }}\cdot b^{\frac {\tau }{\tau }}=x(t)\cdot b\,.$$

यदि τ > 0 तथा b > 1, फिर x घातीय वृद्धि है। यदि τ < 0 तथा b > 1, या τ > 0 तथा 0 < b < 1, फिर x घातीय क्षय है।

उदाहरण: यदि बैक्टीरिया की प्रजाति हर दस मिनट में दोगुनी हो जाती है, केवल जीवाणु से शुरू होकर, घंटे के बाद कितने बैक्टीरिया मौजूद होंगे? प्रश्न का तात्पर्य है a = 1, b = 2 तथा τ = 10 min.

$$x(t)=a\cdot b^{t/\tau }=1\cdot 2^{t/(10{\text{ min}})}$$

$$x(1{\text{ hr}})=1\cdot 2^{(60{\text{ min}})/(10{\text{ min}})}=1\cdot 2^{6}=64.$$

घंटे या छह दस मिनट के अंतराल के बाद चौंसठ बैक्टीरिया होंगे।

कई जोड़े (b, τ) आयाम रहित गैर-ऋणात्मक संख्या का b और समय की राशि τ ( भौतिक मात्रा जिसे कई इकाइयों और समय की इकाई के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है) समान वृद्धि दर का प्रतिनिधित्व करती है, τ आनुपातिक log b. किसी निश्चित के लिए b 1 के बराबर नहीं (जैसे ई (गणितीय स्थिरांक) या 2), विकास दर गैर-शून्य समय द्वारा दी गई है τ. किसी भी गैर-शून्य समय के लिए τ विकास दर आयाम रहित सकारात्मक संख्या द्वारा दी गई हैb.

इस प्रकार चरघातांकी वृद्धि के नियम को अलग-अलग घातांकों का उपयोग करके भिन्न-भिन्न लेकिन गणितीय रूप से समतुल्य रूपों में लिखा जा सकता है। सबसे आम रूप निम्नलिखित हैं:

$$x(t)=x_0\cdot <!--\; \cdot \; -->e^{kt}=x_0\cdot <!--\; \cdot \; -->e^{t/\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}=x_0\cdot <!--\; \cdot \; -->2^{}$$