नम्यता पद्धति

संरचनात्मक अभियांत्रिकी में, नम्यता पद्धति, जिसे लगातार विरूपण की विधि भी कहा जाता है, संरचनात्मक प्रणालियों में सदस्य बल और विस्थापन की गणना के लिए पारंपरिक विधि है। सदस्यों के लचीलेपन मैट्रिक्स के संदर्भ में तैयार किए गए इसके आधुनिक संस्करण को प्राथमिक अज्ञात के रूप में सदस्य बलों के उपयोग के कारण मैट्रिक्स बल विधि का नाम भी दिया गया है।

सदस्य लचीलापन

लचीलापन कठोरता का विलोम है। उदाहरण के लिए, एक संख्या पर विचार करें जिसमें Q और q क्रमशः इसकी ऊर्जा और विरूपण है:

• संख्या की कठोरता का संबंध Q = k q है जहां k संख्या की कठोरता है।
• इसका लचीलापन संबंध q = f Q है, जहाँ f संख्या का लचीलापन है।
• इसलिए, f = 1/k। है।

एक विशिष्ट सदस्य लचीलेपन के संबंध में निम्नलिखित सामान्य रूप है:

$\mathbf {q} ^{m}=\mathbf {f} ^{m}\mathbf {Q} ^{m}+\mathbf {q} ^{om}$

(1)

जहाँ

m = सदस्य संख्या m है।

$\mathbf {q} ^{m}$ = सदस्य की विशिष्ट विकृतियों का वेक्टर है।

$\mathbf {f} ^{m}$ = सदस्य लचीलापन मैट्रिक्स जो बल के अनुसार विकृत होने के लिए सदस्य की संवेदनशीलता को दर्शाता है।

$\mathbf {Q} ^{m}$ = सदस्य की स्वतंत्र चारित्रिक ऊर्जायों का सदिश, जो अज्ञात आंतरिक बल है। ये स्वतंत्र बल सदस्य संतुलन द्वारा सभी सदस्य-अंत बलों को उत्पन्न करते है।

$\mathbf {q} ^{om}$ = बाहरी प्रभाव के कारण सदस्यों की विशेषता विकृति पृथक, डिस्कनेक्ट किए गए सदस्य पर लागू होती है $\mathbf {Q} ^{m}=0$).

नोड्स नामक बिंदुओं पर परस्पर जुड़े कई सदस्यों से बनी एक प्रणाली के लिए, सदस्यों के लचीलेपन संबंधों को एक एकल मैट्रिक्स समीकरण में एक साथ रखा जा सकता है, सुपरस्क्रिप्ट m को छोड़ कर:

$\mathbf {q} _{M\times 1}=\mathbf {f} _{M\times M}\mathbf {Q} _{M\times 1}+\mathbf {q} _{M\times 1}^{o}$

(2)

जहां M प्रणाली में सदस्यों की विशेषता विकृतियों या बलों की कुल संख्या होती है।

मैट्रिक्स कठोरता विधि के विपरीत, जहां सदस्यों की कठोरता संबंधों को नोडल संतुलन और अनुकूलता स्थितियों के माध्यम से आसानी से एकीकृत किया जा सकता है, समीकरण का वर्तमान लचीलापन रूप (2) गंभीर कठिनाई उत्पन्न करता है। सदस्य बलों के साथ $\mathbf {Q} _{M\times 1}$ प्राथमिक अज्ञात के रूप में, नोडल संतुलन समीकरणों की संख्या समाधान के लिए अपर्याप्त होती है, सामान्यतः - जब तक कि प्रणाली स्थिर रूप से निर्धारित नहीं होती है।

नोडल संतुलन समीकरण

इस कठिनाई को हल करने के लिए, स्वतंत्र अज्ञात सदस्य बलों की संख्या को कम करने के लिए पहले हम नोडल संतुलन समीकरणों का उपयोग करते है। प्रणाली के लिए नोडल संतुलन समीकरण का रूप है:

$\mathbf {R} _{N\times 1}=\mathbf {b} _{N\times M}\mathbf {Q} _{M\times 1}+\mathbf {W} _{N\times 1}$

(3)

जहाँ

$\mathbf {R} _{N\times 1}$: प्रणाली की स्वतंत्रता (अभियांत्रिकी) की सभी एन डिग्री पर नोडल बलों का वेक्टर है।

$\mathbf {b} _{N\times M}$: परिणामी नोडल संतुलन मैट्रिक्स है।

$\mathbf {W} _{N\times 1}$: सदस्यों पर भार डालने से उत्पन्न होने वाली ऊर्जा का सदिश है।

निर्धारित प्रणालियों के स्थिति में, मैट्रिक्स B वर्ग है और q के लिए समाधान तुरंत पाया जा सकता है (3)।

प्राथमिक प्रणाली

सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित प्रणालियों के लिए, एम> एन, और इसलिए, हम फॉर्म के I = एम-एन समीकरणों के साथ (3) बढ़ा सकते है:

$X_{i}=\alpha Q_{j}+\beta Q_{k}+\cdots \qquad i=1,2,\ldots ,I$

(4)

वेक्टर X अतिरेक बलों का तथाकथित वेक्टर है और I प्रणाली की स्थैतिक अनिश्चितता की डिग्री है। हम सामान्यतः जे, के, ... चुनते है। $\alpha$, और $\beta$ ऐसा है कि $X_{i}$ एक समर्थन प्रतिक्रिया या एक आंतरिक सदस्य-अंत बल है। निरर्थक बलों के उपयुक्त विकल्पों के साथ, समीकरण प्रणाली (3) द्वारा संवर्धित (4) अब प्राप्त करने के लिए हल किया जा सकता है:

$\mathbf {Q} _{M\times 1}=\mathbf {B} _{R}\mathbf {R} _{N\times 1}+\mathbf {B} _{X}\mathbf {X} _{I\times 1}+\mathbf {Q} _{v\cdot M\times 1}$

(5)

में प्रतिस्थापन (2) देता है:

$\mathbf {q} _{M\times 1}=\mathbf {f} _{M\times M}{\Big (}\mathbf {B} _{R}\mathbf {R} _{N\times 1}+\mathbf {B} _{X}\mathbf {X} _{I\times 1}+\mathbf {Q} _{v\cdot M\times 1}{\Big )}+\mathbf {q} _{M\times 1}^{o}$

(6)

समीकरण (5) और (6) प्राथमिक प्रणाली के लिए समाधान है जो मूल प्रणाली है जिसे अनावश्यक बलों को स्थिर रूप से निर्धारित किया गया है $\mathbf {X}$. समीकरण (5) अज्ञात बलों के सेट को प्रभावी ढंग से कम कर देता है $\mathbf {X}$.

संगतता समीकरण और समाधान

अगला, हमें $I$ खोजने के लिए संगतता समीकरण सेट अप करने की आवश्यकता है $\mathbf {X}$ अनुकूलता समीकरण सापेक्ष विस्थापन $\mathbf {r} _{X}$ को शून्य पर सापेक्ष विस्थापन X सेट करके कटे हुए वर्गों पर आवश्यक निरंतरता को बहाल करते है। अर्थात्, इकाई डमी बल विधि का उपयोग करना:

${\mathbf{r}}_X={\mathbf{B}}_X^T\mathbf{q}={\mathbf{B}}_X^{}$