आव्यूह अपघटन

रेखीय बीजगणित के गणितीय विद्याशाखा में, आव्यूह अपघटन या आव्यूह गुणनखंड आव्यूह के गुणनफल में एक आव्यूह का गुणनखंडन है। समस्याओं के एक विशेष वर्ग के मध्य अनेक भिन्न-भिन्न आव्यूह अपघटन होते हैं, जिनमें से प्रत्येक का उपयोग होता है।

उदाहरण

संख्यात्मक विश्लेषण में, कुशल आव्यूह कलन विधि को प्रयुक्त करने के लिए विभिन्न अपघटन का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए, रैखिक समीकरणों की प्रणाली $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ को हल करते समय, आव्यूह A को एलयू अपघटन के माध्यम से वियोजित किया जा सकता है। एलयू अपघटन एक आव्यूह को निम्न त्रिकोणीय आव्यूह L और एक ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह U में गुणनखंड करता है। प्रणाली $L(U\mathbf {x} )=\mathbf {b}$ तथा $U\mathbf {x} =L^{-1}\mathbf {b}$ मूल प्रणाली $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ , की तुलना में हल करने के लिए निम्न योग और गुणा की आवश्यकता होती है, यद्यपि अयथार्थ अंकगणित जैसे फ्लोटिंग पॉइंट में अर्थपूर्णता से अधिक अंकों की आवश्यकता हो सकती है ।

इसी तरह, क्यूआर अपघटन A को QR के रूप में Q लांबिक आव्यूह और R ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह के रूप में व्यक्त करता है। प्रणाली Q(Rx) = b को Rx = Q^Tb = c द्वारा हल किया जाता है और प्रणाली Rx = c को 'पुनः प्रतिस्थापन' द्वारा हल किया जाता है। LU सॉल्वर (समाधानकर्ता) का उपयोग करने के लिए आवश्यक योग और गुणा की संख्या प्रायः दोगुनी है, किन्तु अयथार्थ अंकगणित में अधिक अंकों की आवश्यकता नहीं है क्योंकि क्यूआर अपघटन संख्यात्मक रूप से स्थिर है।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के समाधान से संबंधित अपघटन

एलयू अपघटन

परंपरागत रूप से प्रयोज्य: वर्ग आव्यूह A, यद्यपि आयताकार आव्यूह प्रयुक्त हो सकते हैं।^[1]^{[nb 1]}
अपघटन: $A=LU$ , जहां L निम्नतर त्रिकोणीय आव्यूह तथा U उच्चतर त्रिकोणीय आव्यूह है।
संबंधित: एलडीयू अपघटन $A=LDU$ है, जहाँ L विकर्ण निम्नतर त्रिकोणीय आव्यूह हैं, U विकर्ण पर उच्चतर त्रिकोणीय आव्यूह और D एक विकर्ण आव्यूह है।
संबंधित: एलयूपी अपघटन $PA=LU$ है, जहां L निम्नतर त्रिकोणीय, U ऊपरी त्रिकोणीय तथा P क्रमचय आव्यूह है।
अस्तित्व: किसी भी वर्ग आव्यूह A के लिए एक एलयूपी अपघटन उपस्थित है। जब P तत्समक आव्यूह है, तो एलयूपी अपघटन एलयू अपघटन में न्यूनीकृत हो जाता है।
टिप्पणियां:एलयूपी और एलयू अपघटन रैखिक समीकरणों $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ . की एन-बाय-एन प्रणाली को हल करने में उपयोगी होते हैं। ये अपघटन आव्यूह के रूप में गाऊसी उन्मूलन की प्रक्रिया को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं। आव्यूह पी गाऊसी उन्मूलन की प्रक्रिया में किए गए किसी भी पंक्ति विनिमय का प्रतिनिधित्व करता है। यदि गाऊसी उन्मूलन किसी भी पंक्ति विनिमय की आवश्यकता के बिना पंक्ति सोपानक रूप का उत्पादन करता है, तो P = I होता है, इसलिए LU अपघटन उपस्थित होती है।

एलयू न्यूनीकरण

ब्लॉक एलयू अपघटन

श्रेणी गुणनखंडन

इसके लिए प्रयोज्य: श्रेणी r के एम-बाय-एन आव्यूह A पर प्रयुक्त
अपघटन: $A=CF$ है जहां C एम-बाय-आर पूर्ण स्तंभ श्रेणी आव्यूह और F आर-बाय-एन पूर्ण पंक्ति श्रेणी आव्यूह है
टिप्पणी: श्रेणी गुणनखंडन का उपयोग A के मूर-पेनरोज़ छद्मविपरीत की गणना करने के लिए किया जा सकता है,^[2] जो रैखिक प्रणाली $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ के सभी समाधानों को प्राप्त करने के लिए प्रयुक्त किया जा सकता है।

चोल्स्की अपघटन

इसके लिए प्रयोज्य: वर्ग आव्यूह, सममित आव्यूह, सकारात्मक-निश्चित आव्यूह $A$
अपघटन: $A=U^{*}U$ , जहाँ $U$ वास्तविक सकारात्मक विकर्ण प्रविष्टियों के साथ ऊपरी त्रिकोणीय है
टिप्पणी: यदि आव्यूह $A$ हर्मिटियन और सकारात्मक अर्ध-निश्चित है, तो इसमें $A=U^{*}U$ के रूप में अपघटन होता है यदि $U$ की विकर्ण प्रविष्टियों को शून्य होने की अनुमति है
विशिष्टता: सकारात्मक निश्चित आव्यूहों के लिए चोल्स्की अपघटन अद्वितीय है। यद्यपि, घनात्मक अर्ध-निश्चित स्थितियों में यह अद्वितीय नहीं है।
टिप्पणी: यदि $A$ वास्तविक और सममित है, $U$ में सभी वास्तविक तत्व हैं।
टिप्पणी: एक विकल्प एलडीएल अपघटन अपघटन है, जो वर्गमूल निष्कर्षण से परिवर्जन कर सकता है।

क्यूआर अपघटन

इसके लिए प्रयोज्य: रैखिक रूप से स्वतंत्र कॉलम के साथ एम-बाय-एन आव्यूह $A$
अपघटन: $A=QR$ जहाँ $Q$ एम-बाय-एम आकार का एक एकात्मक आव्यूह है, और $R$ एम-बाय-एन आकार का ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह है
विशिष्टता: सामान्यतः यह अद्वितीय नहीं है, किन्तु यदि $A$ पूर्ण आव्यूह श्रेणी का है, तो वहाँ एकल $R$ उपस्थित है जिसमें सभी धनात्मक विकर्ण तत्व है। यदि $A$ वर्गाकार है, तो $Q$ भी अद्वितीय है।
टिप्पणी: क्यूआर अपघटन समीकरण $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ . की प्रणाली को हल करने का एक प्रभावी तरीका प्रदान करता है। यह तथ्य कि $Q$ लांबिक है इसका अर्थ है कि $Q^{\mathrm {T} }Q=I$ है जिससे कि $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ , $R\mathbf {x} =Q^{\mathsf {T}}\mathbf {b}$ , के समान है, जिसे हल करना अधिक सरल है क्योंकि $R$ त्रिकोणीय आव्यूह है।

आरआरक्यूआर कारककरण

इंटरपोलेटिव अपघटन

ईगेनवैल्यू और संबंधित अवधारणाओं के आधार पर अपघटन

ईगेन अपघटन

मानावलीय अपघटन भी कहा जाता है।
इसके लिए प्रयोज्य: रैखिक रूप से स्वतंत्र ईगेनवेक्टर (अनिवार्य रूप से नहीं कि पृथक ईगेनवैल्यू हो) के साथ वर्ग आव्यूह A ।
अपघटन: $A=VDV^{-1}$ , जहां D, A के eigenvalues से बना एक विकर्ण आव्यूह है, और V के कॉलम A के संगत ईगेनवेक्टर हैं।
अस्तित्व: एन-बाय-एन आव्यूह A में सदैव n (सम्मिश्र) ईगेनवैल्यू होते हैं, जिन्हें एन-बाय-एन विकर्ण आव्यूह D बनाने के लिए (एक से अधिक तरीकों से) आदेश दिया जा सकता है और शून्यहीन क्रमभंग V का समरूपी आव्यूह जो ईगेनवैल्यू समीकरण $AV=VD$ . $V$ को संतुष्ट करता है जो कि व्युत्क्रमणीय है यदि केवल n ईगेनवेक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं(अर्थात, प्रत्येक ईजेनवेल्यू में इसकी बीजगणितीय बहुलता के समान ज्यामितीय बहुलता है)। इसके लिए एक पर्याप्त (लेकिन आवश्यक नहीं) स्थिति यह है कि सभी ईगेनवैल्यू विभिन्न हैं (इस स्थिति में ज्यामितीय और बीजगणितीय बहुलता 1 के समान हैं)।
टिप्पणी: ईगेनवेक्टरों को एकल में लंबाई होने के लिए सदैव सामान्य किया जा सकता है (ईगेनवैल्यू समीकरण की परिभाषा देखें)
टिप्पणी: प्रत्येक सामान्य आव्यूह A (अर्थात, आव्यूह जिसके लिए $A A^{*} = A^{*}$

[1]

[nb 1]

[2]

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