क्यूआर अपघटन

रैखिक बीजगणित में, एक QR अपघटन, जिसे QR कारककरण या Q कारककरण के रूप में भी जाना जाता है, एक आव्यूह A का एक ऑर्थोनॉर्मल आव्यूह Q के उत्पाद (A = QR) और ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह R , QR अपघटन का एक अपघटन होता है। अधिकांशतः उपयोग किया जाता है रैखिक न्यूनतम वर्गों की समस्या को हल करने के लिए और एक विशेष आइगेनवैल्यू एल्गोरिथम, QR एल्गोरिदम का आधार है।

स्थिति और परिभाषाएँ

वर्ग आव्यूह

कोई भी वास्तविक वर्ग आव्यूह A को इस रूप में विघटित किया जा सकता है

$A=QR,$

जहां Q एक ओर्थोगोनल आव्यूह है (इसके स्तम्भ ऑर्थोगोनल इकाई सदिश हैं अर्थ $Q^{\textsf {T}}=Q^{-1}$) और R एक ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह है (जिसे सही त्रिकोणीय आव्यूह भी कहा जाता है)। यदि A व्युत्क्रमणीय आव्यूह है, तो गुणनखंड अद्वितीय है यदि हमें R के विकर्ण तत्वों को सकारात्मक होने की आवश्यकता है।

यदि इसके अतिरिक्त A एक जटिल वर्ग आव्यूह है, तो एक अपघटन A = QR है जहां Q एक एकात्मक आव्यूह है (इसलिए $Q^{*}=Q^{-1}$).

यदि A में A रैखिक रूप से स्वतंत्र स्तम्भ हैं, तो Q के पहले n स्तम्भ A के स्तंभ स्थान के लिए ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाते हैं। अधिक सामान्यतः Q के पहले के स्तम्भ A के पहले के स्तम्भ की अवधि के लिए एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाते हैं। कोई भी 1 ≤ k ≤ n तथ्य यह है कि A का कोई भी स्तंभ k केवल Q के पहले k स्तंभों पर निर्भर करता है, जो R के त्रिकोणीय रूप से मेल खाता है।

आयताकारआव्यूह

अधिक सामान्यतः हम m ≥ n के साथ एक जटिल m×n आव्यूह ए को कारक कर सकते हैं, m×m एकात्मक आव्यूह Q और एक m×n ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह R के उत्पाद के रूप में नीचे (m−n) पंक्तियों के रूप में एक m×n ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह में पूरी तरह से शून्य होते हैं, यह अधिकांशतः विभाजन R, या R और Q दोनों के लिए उपयोगी होता है:

$A=QR=Q{\begin{bmatrix}R_{1}\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Q_{1}&Q_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}R_{1}\\0\end{bmatrix}}=Q_{1}R_{1},$

जहां R₁ एक n×n ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह है, 0 एक है (m − n)×n शून्यआव्यूह, Q₁ m×n, Q₂ है m×(m − n), और Q₁ और Q₂ दोनों में ऑर्थोगोनल स्तम्भ हैं।

Golub & Van Loan (1996, §5.2) Q₁R₁ को A का पतला QR गुणनखंड कहते हैं; ट्रेफेथेन और बाउ इसे घटी हुई QR गुणनखंडन कहते हैं। यदि A पूर्ण पद n का है और हमें आवश्यकता है कि R₁ के विकर्ण तत्व सकारात्मक हैं तो R₁ और Q₁ अद्वितीय हैं, किन्तु सामान्यतः Q₂ नहीं है। R₁ तब A* A (= A^TA यदि A वास्तविक है) के चोल्स्की अपघटन के ऊपरी त्रिकोणीय कारक के समान है।

क्यूएल, आरक्यू और एलक्यू अपघटन

अनुरूप रूप से, हम QL, RQ और LQ अपघटन को परिभाषित कर सकते हैं, जिसमें L एक निचला त्रिकोणीय आव्यूह है।

QR अपघटन की गणना

वास्तव में क्यूआर अपघटन की गणना करने के लिए कई विधि हैं, जैसे कि ग्राम-श्मिट प्रक्रिया हाउसहोल्डर रूपांतरण या गिवेंस घूर्णन के माध्यम से प्रत्येक के कई लाभ और हानि हैं।

ग्राम-श्मिट प्रक्रिया का उपयोग

Further information: ग्राम-श्मिट या संख्यात्मक स्थिरता

पूर्ण स्तंभ पद आव्यूह के स्तंभों पर प्रयुक्त ग्राम-श्मिट प्रक्रिया पर विचार करें $A={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{bmatrix}}$, आंतरिक उत्पाद के साथ $\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {w}$ (या $\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\mathbf {v} ^{*}\mathbf {w}$ जटिल स्थिति के लिए)।

सदिश प्रक्षेपण को परिभाषित करें:

$\operatorname {proj} _{\mathbf {u} }\mathbf {a} ={\frac {\left\langle \mathbf {u} ,\mathbf {a} \right\rangle }{\left\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \right\rangle }}{\mathbf {u} }$

तब:

${\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&=\mathbf {a} _{1},&\mathbf {e} _{1}&={\frac {\mathbf {u} _{1}}{\|\mathbf {u} _{1}\|}}\\\mathbf {u} _{2}&=\mathbf {a} _{2}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{1}}\mathbf {a} _{2},&\mathbf {e} _{2}&={\frac {\mathbf {u} _{2}}{\|\mathbf {u} _{2}\|}}\\\mathbf {u} _{3}&=\mathbf {a} _{3}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{1}}\mathbf {a} _{3}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{2}}\mathbf {a} _{3},&\mathbf {e} _{3}&={\frac {\mathbf {u} _{3}}{\|\mathbf {u} _{3}\|}}\\&\;\;\vdots &&\;\;\vdots \\\mathbf {u} _{k}&=\mathbf {a} _{k}-\sum _{j=1}^{k-1}\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{j}}\mathbf {a} _{k},&\mathbf {e} _{k}&={\frac {\mathbf {u} _{k}}{\|\mathbf {u} _{k}\|}}\end{aligned}}$

अब हम $\mathbf {a} _{i}$ को हमारे नए संगणित ऑर्थोनॉर्मल आधार पर अभिव्यक्त कर सकते हैं:

$$