जैकोबी विधि

Not to be confused with Jacobi eigenvalue algorithm.

संख्यात्मक रैखिक बीजगणित में जैकोबी विधि रैखिक समीकरणों के विकर्ण प्रभावी प्रणाली के समाधान को निर्धारण करने के लिए एक पुनरावृत्ति एल्गोरिथ्म है, जो प्रत्येक विकर्ण अवयव के लिए हल किया जाता है, और अनुमानित मान को रखा जाता है। यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कि यह अभिसरित न हो जाए। यह एल्गोरिथम आव्यूह विकर्णन के जैकोबी परिवर्तन बिधि का एक स्ट्रिप्ड-डाउन संस्करण है। इस विधि का नाम कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी के नाम पर रखा गया है।

विवरण

चलो $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$, n रैखिक समीकरणों की एक वर्ग प्रणाली हो, जहाँ:

$$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}.$$

जब $A$ और $\mathbf {b}$ ज्ञात हैं, और $\mathbf {x}$ अज्ञात है, हम अनुमानित $\mathbf {x}$ के लिए जैकोबी विधि का उपयोग कर सकते हैं। सदिश $\mathbf {x} ^{(0)}$ के लिए हमारे प्रारंभिक अनुमान $\mathbf {x}$ को दर्शाता है (अक्सर $\mathbf {x} _{i}^{(0)}=0$ के लिए $i=1,2,...,n$) के रूप में निरूपित करते हैं $\mathbf {x} ^{(k)}$को $\mathbf {x}$ के k-वें सन्निकटन या पुनरावृत्ति के रूप में निरुपित करते है, और $\mathbf {x} ^{(k+1)}$ का अगला पुनरावृत्ति ( k+1) है .

मैट्रिक्स आधारित सूत्र

तब A को एक विकर्ण घटक D, एक निचला त्रिकोणीय भाग L और एक ऊपरी त्रिकोणीय भाग U में विघटित किया जा सकता है:

$$A=D+L+U\qquad {\text{where}}\qquad D={\begin{bmatrix}a_{11}&0&\cdots &0\\0&a_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}{\text{ and }}L+U={\begin{bmatrix}0&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&0&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &0\end{bmatrix}}.$$

इसके बाद समाधान को पुनरावृत्त रूप से प्राप्त किया जाता है

$\mathbf {x} ^{(k+1)}=D^{-1}(\mathbf {b} -(L+U)\mathbf {x} ^{(k)}).$

तत्व-आधारित सूत्र

प्रत्येक पंक्ति के लिए तत्व-आधारित सूत्र $i$ इस प्रकार है:

$$x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left(b_i-<!--\; -\; -->\underset{j\ne <!--\; \ne \; -->i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{a}_{ij}{x}_j^{(k)}\right)$$