जैकोबी विधि

Not to be confused with Jacobi eigenvalue algorithm.

संख्यात्मक रैखिक बीजगणित में, जैकोबी विधि (उर्फ जैकोबी पुनरावृति विधि) रैखिक समीकरणों के विकर्ण रूप से प्रभावी मैट्रिक्स प्रणाली के समाधान का निर्धारण करने के लिए एक पुनरावृत्त एल्गोरिथम है। प्रत्येक विकर्ण तत्व के लिए हल किया जाता है, और एक अनुमानित मान प्लग इन किया जाता है। प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कि यह अभिसरण न हो जाए। यह एल्गोरिथम जैकोबी ईजेनवेल्यू एल्गोरिथम का एक स्ट्रिप्ड-डाउन संस्करण है। विधि का नाम कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी के नाम पर रखा गया है।

विवरण

होने देना $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ n रैखिक समीकरणों की एक वर्ग प्रणाली हो, जहाँ:

$$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}.$$

कब $A$ और $\mathbf {b}$ जाने जाते हैं, और $\mathbf {x}$ अज्ञात है, हम अनुमान लगाने के लिए जैकोबी पद्धति का उपयोग कर सकते हैं $\mathbf {x}$. सदिश $\mathbf {x} ^{(0)}$ के लिए हमारे प्रारंभिक अनुमान को दर्शाता है $\mathbf {x}$ (अक्सर $\mathbf {x} _{i}^{(0)}=0$ के लिए $i=1,2,...,n$). हम निरूपित करते हैं $\mathbf {x} ^{(k)}$ के-वें सन्निकटन या पुनरावृत्ति के रूप में $\mathbf {x}$, और $\mathbf {x} ^{(k+1)}$ का अगला (या k+1) पुनरावृत्ति है $\mathbf {x}$.

मैट्रिक्स आधारित सूत्र

तब A को एक विकर्ण मैट्रिक्स घटक D, एक निचला त्रिकोणीय भाग L और एक ऊपरी त्रिकोणीय भाग U में विघटित किया जा सकता है:

$$A=D+L+U\qquad {\text{where}}\qquad D={\begin{bmatrix}a_{11}&0&\cdots &0\\0&a_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}{\text{ and }}L+U={\begin{bmatrix}0&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&0&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &0\end{bmatrix}}.$$

इसके बाद समाधान को पुनरावृत्त रूप से प्राप्त किया जाता है

$\mathbf {x} ^{(k+1)}=D^{-1}(\mathbf {b} -(L+U)\mathbf {x} ^{(k)}).$

तत्व-आधारित सूत्र

प्रत्येक पंक्ति के लिए तत्व-आधारित सूत्र $i$ इस प्रकार है:

$$x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}(b_i-<!--\; -\; -->\underset{j\ne <!--\; \ne \; -->i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{a}_{ij}{}_{}^{}$$